4.5 三角形的中位线 同步练习 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

4.5 三角形的中位线 同步练习 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．3 2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（　　） A．32° B．38° C．64° D．30° 3．如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．4 4．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（　　） A．18米 B．24米 C．28米 D．30米 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则AB的长为（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 7．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2. A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB•AC ④ ，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共计18分） 11．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点， ，则AD的长是　 　. 12．如图所示，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，BH⊥AC，垂足为H，DE=8cm，则FH的长为　 　cm. 13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为　 　。 14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点。若AC+BD=24cm，△OAB的周长是20cm，则EF=　 　cm。 15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是　 　。 16．如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论： ①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=S△ABC，其中正确结论的序号为　 　。 三、解答题（8题共计52分） 17．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，若AB=10，求EF的长。 18．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。 19．如图所示，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。 求证：AB=2OF。 20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。 21．如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC. （1）求证：四边形BDEF是平行四边形. （2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论. 22．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB， BC，AC的中点，连结DF，EF，BF。 （1）求证：四边形BEFD是平行四边形； （2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长。 23．如图，在▱ABCD中，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H。 （1）若AD=8cm，则在此运动过程中，线段GH的长始终等于　 　cm； （2）当E，F分别运动到AD，BC的中点时，求证：EF与GH互相平分。 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒. （1） 则AC＝　 　cm； （2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值； （3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG， ∵E是AC的中点， ∴EG是△ABC的中位线， ∴EG=AB=4， 设CD=x，则EF=BC=2x， ∴BG=CG=x， ∴EF=2x=DG， ∴EF∥CD， ∴四边形EGDF是平行四边形， ∴DF=EG=4. 故答案为：B. 【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答. 2．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线， ∴GF=AD，GF∥AD，GE=BC，GE∥BC. 又∵AD=BC， ∴GF=GE，∴∠EFG=∠FEG，∠FGC=∠DAC=20°， ∠AGE=∠ACB=84°， ∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°-84°）=116°， ∠FEG=（180°-∠FGE）=32°。 故答案为：A. 【分析】利用已知可证得 GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，利用三角形的中位线定理去证明GF=GE，GF∥AD，GE∥BC；再利用等边对等角可求出∠FGC，∠AGE的度数，同时可证得∠EFG=∠FEG；再求出∠FGE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠FEG的度数. 3．【答案】B 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，DB=BC=3； ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠BFD， ∵ BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠DBF， ∴∠DBF=∠BFD， ∴BD=DF=3. 故答案为：B. 【分析】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长. 4．【答案】C 【知识点】三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接AB， ∵点D和点E是OA，OB的中点， ∴DE是△ABO的中位线， ∴DE=AB， ∴AB=2DE=28. 故答案为：C. 【分析】连接AB，易证DE是△ABO的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长. 5．【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD， ∴OA=OC， ∵点E是BC的中点， OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB， ∴AB=2OE=2×3=6cm. 故答案为：B. 【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长. 6．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°， ∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-60°-50°=70°. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，由此可证得DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数. 7．【答案】A 【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接BD，DN， 在Rt△ABD中， ； ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△MDN的中位线， ∴EF=DN， 当点N和点B重合时，DN的长最大， 此时EF的长最大， ∴EF的最大值为BD=3. 故答案为：A. 【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF=DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值. 8．【答案】B 【知识点】三角形的面积；线段的中点；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∵E是BC的中点， ∴BE＝BC， ∴DF＝BE， ∴S△BDE=S△FDE（等底等高的三角形面积相等） 同理S△DAF=S△EFC=S△FED， ∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）. 故答案为：B. 【分析】由题意可得DF为△ABC的中位线，则DF∥BC，DF＝BC，根据线段中点的概念可得BE＝BC，则DF＝BE，根据等底等高的三角形面积相等可得S△BDE=S△FDE，同理S△DAF=S△EFC=S△FED，则可推出S△DEF＝S△ABC，据此解答. 9．【答案】D 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①符合题意； ②∵BE=EC，OA=OC， ∴OE=AB=，OE∥AB， ∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°， Rt△OCD中，OD==， ∴BD=2OD=， 故②符合题意； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③符合题意； ④由②知：OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB， ∵AB=BC， ∴OE=BC=AD， 故④符合题意； 正确的有：①②③④， 故答案为：D． 【分析】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。 10．【答案】B 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H， ∵MF为△BCD的中位线， ∴MF∥BC，MF=BC=1， ∵OM为△ABD的中位线， ∴OM∥AB，OM=AB， ∴∠OMF=∠ABD=120°， ∴∠FMH=60°，∠MFH=30°， ∴FH=，MH=， ∴OH===， ∴OM=OH-MH=， ∴AB=2OM= . 故答案为：B . 【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长. 11．【答案】4 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO， ∵点E是CD的中点， ∴OE为△ACD的中位线， ∴AD=2OE=4. 故答案为：4. 【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，从而得出OE为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理可得AD=2OE，从而得解. 12．【答案】8 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵BH⊥AC， EF为斜边BC上的中线， ∴EF=BC， ∴EF=DE=8cm. 故答案为：8. 【分析】根据三角形中位线的性质得出DE=BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=BC，从而得出EF=DE，即可解答. 13．【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连结DE，CD. ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴DE∥CF. ∵CF=BC，∴DE=CF， 四边形DCFE是平行四边形， ∴EF=CD 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3， CD===， ∴EF=CD= 故答案为：. 【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长. 14．【答案】4 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD， AO=AC，BO=OB， ∵AC+BD=24， ∴AO+BO=12； ∵△AOB的周长为20， ∴AB+AO+BO=20， ∴AB=8； ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△AOB的中位线， ∴EF=AB=×8=4. 故答案为：4. 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出AO+BO的值；再利用△OAB的周长为20，可求出AB的长；然后利用三角形的中位线定理可求出EF的长. 15．【答案】18° 【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线， ∴PF=BC，PE=AD， ∵AD=BC， ∴PF=PE， ∴∠PEF=∠PFE=18°. 故答案为：18°. 【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数. 16．【答案】①②③ 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴ED∥BC，DE=BC，故①正确； ∵ED∥BC，点D是AB的中点， ∴O是AF的中点， ∴DO是△ABF的中位线，AO=FO，故③正确； ∴DO=DF=BC，故②正确； ∵AF是△ABC的中线， ∴S△ABF=S△ABC； ∵DO是△ABF的中线， ∴△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2， ∴S△ADO=S△ABF， ∴S△ADO=S△ABC=.S△ABC，故④错误. ∴正确结论的序号为①②③. 故答案为：①②③. 【分析】利用三角形的中位线定理可证得D∥BC，DE=BC，可对①作出判断；同时可证得O是AF的中点，利用线段中点的定义可证得AO=FO，可对③作出判断；再证明DO是△ABF的中位线，利用中位线定理可证得OD与BC之间的数量关系，可对②作出判断；利用三角形的中线可知S△ABF=S△ABC；再证明△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2；由此可证得S△ADO=S△ABF，由此可推出S△ADO=.S△ABC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. 17．【答案】解：如图，连结CD， ∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=10， ∴CD=AB=5. 又∵E是AC的中点， DE∥BC，DE=BC. ∵CF=BC，DE∥CF，DE=CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF=CD=5. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长，利用三角形的中位线定理去证明DE∥CF，DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边相等可求出EF的长. 18．【答案】证明：如图，连结BN，CM. AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN， ∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB， 即∠MAC=∠BAN. △MAC≌△BAN（SAS）. MC=BN. 又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点， DE=MC，EF=BN， DE=EF. 【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理 【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论. 19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC， ∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF 又∵CE=DC，∴AB=EC 在△ABF和△ECF中， ∵ ∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF 又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF 【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理 【解析】【分析】利用平行线的性质可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利用ASA证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等可证得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论. 20．【答案】解：四边形ADEF是平行四边形. 证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点， DE∥AB，DE=AB. 又AF=AB，∴DE=AF， 四边形ADEF是平行四边形。 【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理 【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论. 21．【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G. ， 在 和 中， ， 为 的中位线， ∴四边形BDEF是平行四边形 （2）解： 证明如下： 四边形BDEF是平行四边形， . 分别是BC，GC的中点， . ， . 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理 【解析】【分析】(1) 延长CE交AB于点G，利用ASA证明△AGE≌△ACE，得出GE=EC，结合BD=CD，得出DE为△CGE为中位线，则知DE∥AB，从而证得四边形BDEF是平行四边形； (2)根据平行四边形的性质得出BF=DE，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出BF=BG，由△AGE≌△ACE得出AG=AC，最后根据线段间的和差关系，即可求出结果. 22．【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DF∥BC，EF∥AB， ∴DF∥BE，EF∥BD， ∴四边形BEFD是平行四边形. （2）解：∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6， ∴DF=DB=DA=AB=3 ∴DB=DF=BE=EF=3， ∴四边形BEFD的周长为12. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义可证得DF，DE，EF是△ABC中位线，利用三角形的中位线定理可证得F∥BE，EF∥BD，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论. （3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF，DB的长；然后求出平行四边形BEFD的周长. 23．【答案】（1）4 （2）证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点， ∴AE=+AD，CF=BC. 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AE∥CF，AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE. 同理可证BE∥DF ∴四边形GFHE是平行四边形， ∴EF与GH互相平分。 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：（1）连接EF ∵平行四边形ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止）， ∴AE=BF， ∴DE=CF， ∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形， ∴AG=FG，FH=DH， ∴GH是△ADF的中位线， ∴GH=AD=×8=4cm. 故答案为：4. 【分析】（1）连接EF，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用点E，F的运动方向和运动速度，可证得AE=BF，可推出DE=CF；由此可证得四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可推出GH是△ADF的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出GH的长. （2）利用线段中点的定义及平行四边形的性质可证得四边形AFCE是平行四边形，可得到AF∥CE，同理可证得BE∥DF；再证明四边形GFHE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论. 24．【答案】（1）4 （2）解：作PE⊥AB于E， 在△BPE和△BPC中， ， ∴△BPE≌△BPC（AAS） ∴BE＝BC＝3，PE＝PC， ∴AE＝5﹣BE＝2，AP＝4﹣PC， 在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（4﹣PC）2＝22+PC2， 解得，PC＝ ， 当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t＝ ÷2＝ 秒； （3）解：如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形， 若点P在CA上，则2t＝3， 解得t＝ （s）； 如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形， ∴AP＝AB﹣BP＝2， ∴t＝（4+2）÷2＝3（s）； 如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝ ， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝ ， ∴PB＝2BD＝ ∴CA+AP＝4+5﹣ ＝5.4， 此时t＝5.4÷2＝2.7（s）； 如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH， ∴PH为△ABC的中位线， ∴AP＝BP＝ AB＝ ， ∴t＝（4+ ）÷2＝ （s）； 综上所述，t为 s或 s或3s或 s时，△BCP为等腰三角形； 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得，AC＝ ＝4（cm）. 故答案为：4； 【分析】（1）直接根据勾股定理就可求出AC； （2）作PE⊥AB于E，证明△BPE≌△BPC，得到BE＝BC＝3，PE＝PC，进而求出AE、AP，在Rt△AEP中，由勾股定理可得PC，据此不难求出t； （3）当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t＝3，求解可得t；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，此时AP＝AB-BP＝2，据此可得t；若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式可得CD，在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BD，进而得到PB、CA+AP，据此可得t；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，PH为△ABC的中位线，求出AP，进而可得t的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$