第15课 三角形的中位线-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第15课 三角形的中位线 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解三角形的中位线的概念. 2.了解三角形的中位线的性质. 3.探索三角形的中位线的性质的一些简单应用. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形的中位线 1.三角形的中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ( 能力拓展 )考点01 三角形的中位线 【典例1】如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OE＝EC； （2）若OD＝2，求AB的长． 【即学即练1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD．若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（　　） A．20° B．22° C．32° D．34° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为点E，D是AC上一点，连接BD，F是BD的中点，当EF＝1时，AD的长为（　　） A． B．2 C．1 D． 3．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为（　　） A．6.5cm B．34cm C．26cm D．52cm 4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 5．如图，△DEF的三个顶点D，E，F分别为△ABC三边AB，AC，BC的中点，若△DEF的面积S△DEF＝6，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．20 C．24 D．30 6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图1，2的两种作辅助线的作法： 作法一： 延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 作法二： 过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以 C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以 8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　） A． B． C．5 D．4 9．已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点E、F分别是AB、AC的中点，则EF＝　 　 ． 10．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝　 　 °． 11．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，CD的中点，BD＝4，则EF的长为 　 　 ． 12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　 ． 13．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若OF＝3，求CD的长． 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F． （1）证明：BF＝DE； （2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长． 15．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F． （1）求∠AEF的度数； （2）若G是BC的中点，连接FG，求FG的长． 题组B 能力提升练 16．如图，△ABC中，AB＝8，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF＝1，则边AC的长度等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝16，AD＝CD＝10，点M，N分别为BC，AB上的动点（含端点），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最小值是（　　） A．4.5 B．4 C．5.5 D．6.5 18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　 　 ． 19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ． 20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点． （1）求证：PQ⊥MN； （2）判定△OEF的形状． 题组C 培优拔尖练 21．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 22．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　） A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16 23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　　 ． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　 　 ． 25．【问题初探】 （1）全省数学教研活动示范课中，张老师给出如下问题： 如图①所示，四边形ABCD，点M和点N分别是边DC和边AB上的中点，点P是对角线BD的中点，AD＝BC．求证：∠PMN＝∠PNM． 结合图①，写出完整的证明过程． 【问题再探】 （2）张老师又给出如下问题： 如图②所示，如果在一个四边形ABCD中，点P和点Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A+∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ两点的距离． 26．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15课 三角形的中位线 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解三角形的中位线的概念. 2.了解三角形的中位线的性质. 3.探索三角形的中位线的性质的一些简单应用. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形的中位线 1.三角形的中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ( 能力拓展 )考点01 三角形的中位线 【典例1】如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OE＝EC； （2）若OD＝2，求AB的长． 【思路点拨】（1）证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论； （2）证明DF是△ABC的中位线即可求解． 【解析】（1）证明：∵ED，EF是中位线， ∴ED∥FC，EF∥DC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∵对角线CE和DF相交于点O， ∴OE＝； （2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2， ∴DF＝2OD＝4， ∵ED，EF是△ABC的中位线， ∴点D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF＝， ∴AB＝2DF＝8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【即学即练1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【思路点拨】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可． 【解析】（1）证明：连接EF，AE． ∵点E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AB，EF＝AB． 又∵AD＝AB， ∴EF＝AD． 又∵EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AF与DE互相平分， ∴AP＝FP； （2）解：在Rt△ABC中， ∵E为BC的中点，BC＝10， ∴AE＝BC＝5． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD．若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（　　） A．20° B．22° C．32° D．34° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的三线合一求出∠DCB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质解答即可． 【解析】解：在△ABC中，AC＝BC，∠B＝68°， ∴∠A＝∠B＝68°， ∴∠ACB＝180°﹣68°×2＝44°， ∵AC＝BC，AD＝DB， ∴∠DCB＝∠ACB＝22°， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB＝22°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为点E，D是AC上一点，连接BD，F是BD的中点，当EF＝1时，AD的长为（　　） A． B．2 C．1 D． 【思路点拨】由等腰三角形的性质证得AE＝CE，根据三角形中位线定理得到CD＝2，即可求得答案． 【解析】解：∵AB＝AC＝3，AE⊥BC， ∴AE＝CE， ∵F是BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴EF＝CD， ∵EF＝1， ∴CD＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解决问题的关键． 3．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为（　　） A．6.5cm B．34cm C．26cm D．52cm 【思路点拨】根据三角形中位线定理分别求出三边长，根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】解：∵三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm， ∴三角形的三边长分别为6cm，8cm，12cm， ∴原三角形的周长为：6+8+12＝26（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长． 【解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABC． ∵BF平分∠ABC， ∴∠EDC＝2∠FBD． 在△BDF中，∠EDC＝∠FBD+∠BFD， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴FD＝BD＝BC＝×6＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 5．如图，△DEF的三个顶点D，E，F分别为△ABC三边AB，AC，BC的中点，若△DEF的面积S△DEF＝6，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．20 C．24 D．30 【思路点拨】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝BF，得到四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的性质计算即可． 【解析】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC＝BF， ∴四边形DBFE为平行四边形， ∴S△DBF＝S△DEF＝6， 同理可得：S△ECF＝S△ADE＝S△DEF＝6， ∴S△ABC＝6×4＝24， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：由题意可得：S△ABD＝S△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 7．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图1，2的两种作辅助线的作法： 作法一： 延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 作法二： 过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以 C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以 【思路点拨】根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法一；证明△AEF≌△CEG，根据全等三角形的性质得到AF＝CG，EF＝EG，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法二． 【解析】解：作法二：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF， 在△AEF和△CEG中， ， ∴△AEF≌△CEG（AAS）， ∴AF＝CG，EF＝EG， ∵AF∥BG，AB∥FG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝FG， ∵BD＝AB，GE＝FG， ∴BD＝EG，AF＝BG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE是平行四边形， ∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG， ∴DE∥BC，DE＝BC； 作法一：∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CF，AD∥CF， ∵AD＝BD， ∴BD＝CF，BD∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，DE＝DF＝BC； ∴作法一和作法二都可以， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【思路点拨】根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【解析】解：∵点D，E分别为AB，BC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵AG⊥BC，点F为AC边的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理和，关键是根据三角形中位线定理求出AC． 9．已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点E、F分别是AB、AC的中点，则EF＝　6.5　 ． 【思路点拨】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解析】解：在Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12， 由勾股定理得：BC＝＝＝13， ∵点E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC＝6.5， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝　60　 °． 【思路点拨】根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形中位线定理计算即可． 【解析】解：在Rt△ACD中， ∵点O是AC中点， ∴OD＝AO， ∴∠ADO＝∠CAD＝20°， ∴∠DOC＝40°， ∵E为BC的中点，点O是AC中点， ∴OE∥AB， ∴∠COE＝∠CAB＝20°， ∴∠DOE＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 11．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，CD的中点，BD＝4，则EF的长为 　2　 ． 【思路点拨】先利用中位线性质求得，再由中线知AD＝BD，即可解答； 【解析】解：∵E，F分别是AC，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EF＝AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD＝4， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　1　 ． 【思路点拨】根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝3，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝2，计算即可． 【解析】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝AB＝2， ∴DE＝BC＝3，DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 13．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若OF＝3，求CD的长． 【思路点拨】（1）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再证明AF＝CE，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，则可判断OF为△ACD的中位线，然后根据三角形中位线定理求解． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为线段BC、AD的中点， ∴AF＝AD，CE＝BC， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：∵四边形AECF为平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AF＝DF， ∴OF为△ACD的中位线， ∴CD＝2OF＝2×3＝6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行四边形的判定与性质． 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F． （1）证明：BF＝DE； （2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长． 【思路点拨】（1）根据点D，E分别是AC，BC的中点，得出DE是△ABC的中位线，从而证明四边形BDEF是平行四边形，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得出．AC＝10．根据三角形的中位线定理得出AB＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴． 又∵EF∥DB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE． （2）解：∵点D是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴． 又∵BD＝5， ∴AC＝10． ∵DE＝3， ∴AB＝6． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 15．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F． （1）求∠AEF的度数； （2）若G是BC的中点，连接FG，求FG的长． 【思路点拨】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得∠EAC＝∠AEF，进而解答即可． （2）由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ACD＝∠FEC，即可证明EF＝CF，再利用直角三角形的性质可证明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位线，进而可证明结论． 【解析】解：（1）∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠FEC＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠FEC， ∴EF＝CF， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°， ∴∠EAC＝∠AEF， ∵∠BAC＝80°，AB＝AC＝4， ∴∠ACB＝∠ABC＝50°， ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝50°， ∴∠AEF＝∠EAC＝65°； （2）∵∠EAC＝∠AEF， ∴AF＝EF， ∴AF＝CF， ∵G是BC的中点， ∴GF是△ABC的中位线， ∴FG＝AB＝＝2． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用，证明GF是△ABC的中位线是解题的关键． 题组B 能力提升练 16．如图，△ABC中，AB＝8，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF＝1，则边AC的长度等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】判定△AGC是等腰三角形，推出FG＝FC，得到EF是△CBG的中位线，推出BG＝2EF＝2，求出AG＝6，即可得到AC的长． 【解析】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CG⊥AD， ∴∠AFG＝∠AFC， ∴∠AGC＝∠ACG， ∴AG＝AC， ∵AD⊥CG， ∴FG＝FC， ∵AD是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴EF是△CBG的中位线， ∴BG＝2EF＝2， ∴AG＝AB﹣BG＝8﹣2＝6， ∴AC＝AG＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是判定△AGC是等腰三角形，由等腰三角形的性质推出CF＝FG，判定EF是△CBG的中位线． 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝16，AD＝CD＝10，点M，N分别为BC，AB上的动点（含端点），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最小值是（　　） A．4.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【思路点拨】作DH⊥AB于H，连接DN，得到BH＝CD＝5，得到AH＝3，根据勾股定理求出DH，根据三角形中位线定理解答． 【解析】解：作DH⊥AB于H，连接DN， 则四边形DHBC为矩形， ∴BH＝CD＝10， ∴AH＝6， ∵E、F分别为DM、MN的中点， ∴EF＝DN， 在Rt△ADH中，DH＝＝8， 当点N与点H重合，DN最小，此时EF最小， ∴EF长度的最小值＝DN＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　8　 ． 【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理解答即可． 【解析】解：∵FB⊥FC， ∴∠BFC＝90°， ∵E是边BC的中点，BC＝6， ∴EF＝BC＝3， ∴DE＝DF+EF＝4， ∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴AC＝2DE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ． 【思路点拨】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MN＝DE＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点． （1）求证：PQ⊥MN； （2）判定△OEF的形状． 【思路点拨】（1）连接PM，PN，由三角形中位线定理可证明△PMN是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明PQ⊥MN； （2）△OEF的形状是等腰三角形，由（1）中的条件可证明∠PMN＝∠EFO，∠OEF＝∠FNP，又因为∠PMN＝∠PNM，所以∠EFO＝∠OEF，所以△OEF是等腰三角形． 【解析】（1）证明： ∵M，P分别是边AB，BC的中点， ∴AM＝BM，BP＝CP， ∴PM＝AC ∵DN＝CN，BP＝CP， ∴PN＝BD． 又∵AC＝BD， ∴PM＝PN， ∴P在MN的中垂线上， ∵MQ＝NQ， ∴PQ⊥MN； （2）△OEF的形状是等腰三角形， 理由如下： ∵PM∥AC， ∴∠PMN＝∠EFO， ∵PN∥BD， ∴∠OEF＝∠FNP， 又∵∠PMN＝∠PNM， ∴∠EFO＝∠OEF， ∴△OEF的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用三角形中位线定理证明PM＝PN． 题组C 培优拔尖练 21．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 【思路点拨】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可． 【解析】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点， ∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB， ∴△A1B1C1的周长＝a， 同理，△A2B2C2的周长＝a＝a， …… 则△AnBn∁n的周长＝a， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键． 22．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　） A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16 【思路点拨】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【解析】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB＝6，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×6＝3． ∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝10， ∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×10＝5， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即5﹣3＜MN＜5+3， ∴2＜MN＜8， 当MN＝MG+NG，即MN＝8时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是2＜MN≤8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　　 ． 【思路点拨】延长AC，BE，相交于点F，证明△ABE≌△AFE，得出BE＝EF，AB＝AF，然后利用三角形中位线定理求解即可． 【解析】解：延长AC，BE，相交于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 又AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE＝EF，AB＝AF， ∵AB＝8，AC＝5， ∴CF＝AF﹣AC＝AB﹣AC＝3， ∵D是BC的中点，BE＝EF， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE＝CF＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，正确进行计算是解题关键． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　2　 ． 【思路点拨】延长AC至F，使得CF＝BC，根据勾股定理求出AF，根据题意得到E是BF的中点，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解析】解：延长AC至F，使得CF＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°， 在Rt△BCF中，BF＝＝BC， ∵D是AB边中点，DE平分△ABC的周长， ∴BC+CE＝AE， ∴EF＝EA，即E是AF的中点， ∵D为AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DE＝BF，即BF＝2DE＝4， ∴BF＝BC＝4， ∴BC＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的运用，掌握三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25．【问题初探】 （1）全省数学教研活动示范课中，张老师给出如下问题： 如图①所示，四边形ABCD，点M和点N分别是边DC和边AB上的中点，点P是对角线BD的中点，AD＝BC．求证：∠PMN＝∠PNM． 结合图①，写出完整的证明过程． 【问题再探】 （2）张老师又给出如下问题： 如图②所示，如果在一个四边形ABCD中，点P和点Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A+∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ两点的距离． 【思路点拨】（1）如图①，利用中位线定理得到，，由AD＝BC得到PM＝PN，即可得到结论； （2）如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，由三角形中位线定理得到PG＝5，QG＝4，PG∥AD，则∠BPG＝∠A，∠DGQ＝∠DBC，进一步得到∠PGQ＝90°，根据勾股定理即可得到． 【解析】（1）证明：∵点P，N分别是BD，AB的中点， ∴PN是△ABD的中位线， ∴， ∵点P，M分别是BD，CD的中点， ∴PM是△BCD的中位线， ∴， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）解：如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG， ∵点P，G分别是AB，BD的中点， ∴PG是△ABD的中位线， ∴， 同理：QG是△BCD的中位线， ∴， ∵PG是△ABD的中位线， ∴PG∥AD， ∴∠BPG＝∠A， ∵QG是△BCD的中位线， ∴QG∥BC， ∴∠DGQ＝∠DBC， ∴∠PGQ＝∠PGD+∠DGQ＝∠BPG+∠ABD+∠DBC＝∠BPG+∠ABC＝∠A+∠ABC， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠PGQ＝90°， 根据勾股定理得，． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 26．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE． 【思路点拨】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状． （2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理得到EH∥AB，EH＝AB，根据平行线的性质证明． 【解析】解：（1）△OMN是等腰三角形，理由如下： 如图，取BD的中点H，连接HE，HF， ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴HF∥AB，HE∥CD，，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HFE＝∠HEF， ∵HF∥AB，HE∥CD， ∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴OM＝ON， ∴△OMN是等腰三角形． （2）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF， ∴HF∥CN，HE∥BM，，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∵HF∥CN，HE∥BM， ∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE， ∴∠BME＝∠CNE． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$