2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 3．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（　　） A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0 4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7 6．已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） A．-7 B．7 C．-2 D．2 7．设 是一元二次方程 的两根，则 （　　） A．-2 B．2 C．3 D．-3 8．方程2x2+（k+1）x－6=0的两根和是－2，则k的值是（　　） A．k=3 B．k=－ 3 C．k=0 D．k=1 9．设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1 10．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 二、填空题（每题2分，共计14分） 11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是　 　． 12．已知a，b是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b＋2017＝　 　． 13．设a、b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　 　. 14．一元二次方程有一根为，则另一个根为　 　. 15．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　 　． 16．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 　 　． 17．已知 是方程 的两根，则 的值为　 　． 三、综合题（9题共计56分） 18．关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2. （1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2. （2）若x1＝3x2，试求k值. 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根x1，x2， （1）求k的取值范围. （2）若x1x2与x1+x2互为相反数，试求k的值. 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值． 21．关于x的方程 有两个实数根 ． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为5，求m的值及方程的另一个根． 22．已知：关于x的方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根. （2）设方程的两个根为 如果 ，求k的取值范围. 23．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2－1＝0有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2－17＝0，求m的值. 24．已知关于x的一元二次方程x2+ x + m - 2＝0. （1）当m＝0时，求方程两实数根的和、积； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 25．已知△ABC的两边AB、AC （AB＜AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的两个实数根，第三边长为5 （1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长. 26．阅读理解： 材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，. 材料二：已知实数，满足，，且，求的值. 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，， ∴. 解决问题： （1）已知实数，满足，，且，求的值； （2）已知实数，满足，，且，求的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根， ∴x1+x2=7．x1·x2=5， ， =5-7+1， =-1． 故答案为：B． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=7．x1·x2=5，再代入计算即可。 2．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根， ∴a+b=3. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案. 3．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根， 则有x1+x2＜0，x1x2＞0， ∵x1+x2=-p，x1x2=q ∴-p＜0，q＞0 ∴p＞0，q＞0. 故答案为：A. 【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断. 4．【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ，解得： . 故答案为：B. 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=k+1，然后根据x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=24就可得到k的值. 5．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为：B． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将其代入m+n﹣mn计算即可。 6．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴m＋n＝4，mn＝-3， ∴ ， 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再将变形为，最后将m＋n＝4，mn＝-3代入计算即可。 7．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为：A． 【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。 8．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设方程 的两根分别为 ， ， ∵方程 的两根之和是-2， ∴ ， ∴ ， 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再计算即可。 9．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣ . 故答案为：A. 【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，据此解答. 10．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆与圆的位置关系 【解析】【分析】由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 【解答】∵x2-4x+3=0， ∴（x-3）（x-1）=0， 解得：x=3或x=1， ∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根， ∴r1+r2=4， ∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切． 故选B． 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键 11．【答案】-2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：把代入，得： 解得：， ∴方程为， ∴x1x2==-2． 故答案为：-2 【分析】先将x=1代入方程可得m的值，再利用根与系数的关系可得x1x2==-2． 12．【答案】2021 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴a2+a＝3，a+b＝﹣1， 则a2﹣b+2017＝a2+a﹣（a+b）+2017＝3+1+2017＝2021． 故答案为：2021． 【分析】先求出a2+a＝3，a+b＝﹣1，再代入计算求解即可。 13．【答案】-2018 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x−2020=0的两个实数根， ∴a+b=−1，ab=−2020， ∴(a−1)(b−1)=ab−a−b+1=ab−(a+b)+1=−2020−(−1)+1=−2018. 故答案为：−2018. 【分析】根据根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2020，将待求式变形为ab-(a+b)+1，据此计算. 14．【答案】x=1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：设是关于x的一元二次方程的两个根. 由韦达定理，得，即， 解得，， 即方程的另一个根为1. 故答案为：1. 【分析】设x1、x2是关于x的一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得-2+x2=-1，求解即可. 15．【答案】-2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2， 所以原式= =-2． 故答案为：-2． 【分析】先根据根与系数的关系得出m+n=4，mn=-2，再利用整体代入的方法计算即可。 16．【答案】-3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】∵ 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ， ∵ ，即 ， ∴ ． 【分析】先求出 ， ，再求出，最后计算求解即可。 17．【答案】13 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得 + =3， =-2， 所以 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13． 故答案为：13． 【分析】利用根与系数的关系得出 + =3， =-2，再利用完全平方公式得出 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13．再利用整体代入的方法计算即可。 18．【答案】（1）解：∵方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1， ∴x1＋x2＋x1x2＝4﹣1＝3. （2）解：∵x1＋x2＝4，x1＝3x2，x1x2＝k﹣3 ∴x1＝3，x2＝1， ∴k＝x1x2＋3＝6. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==-1，代入所求代数式计算可求解； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==k-3，把x1＝3x2代入两个等式计算即可求解. 19．【答案】（1）解：根据题意得： △＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1） ＝﹣4k﹣3≥0， 解得：k≤， 即k的取值范围为：k≤； （2）解：x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k﹣1， 根据题意得： k2+1+2k﹣1＝0， 解得：k1＝0，k2＝﹣2， ∵k≤， ∴k＝﹣2， 即k的值为﹣2. 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解可得k的范围； （2）由根与系数的关系可得x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k-1，根据题意得：k2+1+2k-1＝0，求出k的值，然后根据k的范围进行取舍. 20．【答案】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m， ∵x1+x2-x1x2=4， ∴m+2-2m=4． 解得m=-2． 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）先求出 Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， 再求解即可； （2）先求出 x1+x2=m+2，x1x2=2m， 再求出 m+2-2m=4 ，最后求解即可。 21．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根 ∴b2-4ac≥0， ∴1-4m≥0， ∴m≤ （2）解：把x=5代入方程 得 25-5+m=0 ∴m=-20 解 得 x1=5，x2= - 4， 所以m=-20，另一个根为 - 4 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】(1)一元二次方程有两个实数根的条件是△=b2-4ac≥0，据此列出不等式求解即可； (2)把x=5代入方程求出m的值，再把m代入方程，利用因式分解法解一元二次方程即可. 22．【答案】（1）证明：∵关于x的方程 中，Δ=（-k）2-4×（k-2）= ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=k，x1•x2=k-2， 代入不等式2（x1+x2）＞x1x2，得 2k＞k-2， k＞-2. 答：k的取值范围是k＞-2. 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）此题只需要证明根的判别式的值恒大于0即可； （2）若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=- ，x1x2= ，据此可得x1+x2=k，x1•x2=k-2，然后代入2(x1+x2)＞x1x2中就可求出k的范围. 23．【答案】（1）解： ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5，因为原方程有两个不相等的实数根， 所以4m+5>0，m> ； （2）解：由根与系数的关系，x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1， 所以原方程可化为(x1+x2)2－x1x2－17＝0， 即(2m+1)2－(m2－1)－17＝0， 解之，得m1＝ ，m2＝－3， 因为m> ，所以m＝ 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）先求出 ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5 ，再求解即可； （2）先求出 x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1， 再求出 m1＝ ，m2＝－3， 最后求解即可。 24．【答案】（1）解：当m＝0时，方程为x2+x﹣2＝0. ， ； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即12﹣4×1×（m﹣2） ＝1﹣4m+8 ＝9﹣4m＞0， ∴ . 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）当m＝0时，方程为x2+x-2＝0，然后根据根与系数的关系，，可得答案； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得关于字母m的不等式，求解可得m的范围. 25．【答案】（1）解：∵AB、AC （AB<AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个实数根， ∴AB+AC＝2k+1，AB•AC＝k2+k， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝（2k+1）2﹣2（k2+k）＝4k2+4k+1﹣2k2﹣2k ＝2k2+2k+1， 若△ABC是以BC＝5为斜边的直角三角形， ∴AB2+AC2＝52即2k2+2k+1＝25 ∴k2+k﹣12＝0 ∴k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去） 即当k＝3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）解：因为x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， 即（x﹣k﹣1）（x﹣k）＝0 ， ∴x1＝k+1，x2＝k 若k＝5，所以k+1＝6，此时C△ABC＝5+5+6＝16， 若k+1＝5，所以k＝4，此时C△ABC＝5+5+4＝14. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得AB+AC＝2k+1，AB·AC＝k2+k，则AB2+AC2＝(AB+AC)2-2AB·AC＝2k2+2k+1，由勾股定理可得AB2+AC2＝52，即2k2+2k+1＝25，求解即可； （2）利用因式分解法可得方程的解为x1＝k+1，x2＝k，然后分k=5、k+1=5两种情况求出另一边的长，进而可得周长. 26．【答案】（1）解：∵s、t满足，， ∴s、t可看作方程的两实数解， ∴s+t=1，st=， ∴==×1=； （2）解：设t=2q，代入，化简为， 则p与t（即2q）为方程的两实数解， ∴p+2q=3，p•2q=-2， ∴= =13. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算； （2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p•2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$