2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习题 2024-2025学年浙教版八年级数学下册

2024-2025学年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数的关系》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 3．关于方程的一个根是，则另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．方程和方程的所有实数根之积为（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知关于x的方程的两个根为，，且满足，则m的值为（    ） A．或2 B．1或 C．1 D．2 7．若，为方程的两根，则的值是（　　）． A．1 B． C． D．4043 8．已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（    ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．若，是一元二次方程的两个根，则 ， ， ． 10．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为 ． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 12．设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 13．若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是 ． 14．已知方程的两个根是，，则 ． 15．若实数a，b满足，且，则的值为 ． 16．若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程的两个根，则m的值为 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求m的值． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求k的值． 20．关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根是，求m的值； (2)在中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； (3)若方程有两个相等实根，求实数的值及此时方程的根． 22．阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：__________，__________． (2)类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． (3)思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 23．综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B B C B D 1．解：由题意，得：， ∴； 故选C． 2．解：∵方程的两根为，， ∴， ∴， 故选：A 3．解：∵关于方程的一个根是，设另一个根为， ∴ ∴， 故选：C． 4．解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．解：∵方程，， ∴， ∴该方程没有实数根， ∵方程，， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 设方程的两个实数根分别是，， ∴， 故选：B． 6．解：∵，是方程的两个根， ∴，． ∵，即， ∴，． ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 7．解：∵，为方程的两根， ∴，，， ∴ ． 故选B． 8．D解：当时，， ∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为和2， ∴，即，正确，故②符合要求； ∵c是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴， ∴，正确，故③符合要求； 故选：D． 9．解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：2，，10． 10．解：设方程的另一个根为m， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得，即则方程的另一个根为 故答案为： 11．解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 故答案为：且 ． 12．解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 13．解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，． ∴， 解得， 则点， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14．解：，是方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 15．解：设，， 则，即， ， ， ， m和n是的两个根， ， ， ， 故答案为：． 16．解：分两种情况： 当底边长为5时， 则腰长为方程的两个根， 两根相等， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：， ， 、、5满足三角形三边之间的关系； 当腰长为5时， 则是方程的一个根， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：，， ， 、5、2满足三角形三边之间的关系； 综上所述，或10， 故答案为：或10． 17．（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 18．解：（1）∵ ， ∴方程总有两个实数根． （2）根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 即m的值为或6． 19．（1）解：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 20．解：（1）把代入方程得， 解得， ∴m的值为1； （2）∵两直角边的长a，b恰好是方程的两根， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得舍去，， 的值为 21．（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2） 解：因为方程有两个不等的实数根， 所以， 即， 解得； （3）解：因为方程有两个相等的实数根， 所以， 即， 解得， 故方程为， 解得． 22．（1）解：由题意得，m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵实数a，b满足：，且， ∴实数a，b是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）（4）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）∵关于x的方程的两根是，， ∴方程的“友好方程”，即的两根为，， 设 ∴，即可化为： ， ∴，， ∴或， 解得：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$