《2.4一元二次方程根与系数的关系》同步自主提升训练题2024-2025学年浙教版数学八年级下册

2024-2025学年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数的关系》 同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．已知方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A． B．2 C．3 D． 2．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 3．若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，是方程的两个根，则的值为（） A． B． C．5 D． 7．若直角三角形的两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ． 10．设、是方程的两个实数根，则 ． 11．已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 12．已知，且，则的值为 ． 13．关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 ． 14．已知关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍，则的值为 ． 15．若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为 ，另一个根为 ． 16．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ． 三、解答题 17．已知：关于的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求值． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 19．已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 21．在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 22．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B B C D B D 1．解： 的两根分别为和，， 故选：A 2．解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 3．解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 4．解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 5．解： ，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 6．解：是方程的两个根， 故选：D． 7．解：设是方程的两根， 由根和系数的关系得，， ∴该直角三角形的面积是， 故选：． 8．解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 9．解：∵和是一元二次方程的两个的实数根， ∴， 故答案为：． 10．解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12．解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 13．解：设的两个根为， 则：， ∵关于的方程的两实数根互为倒数， ∴， ∴， 当时，，此方程无解，不符合题意； 当时，， ∴； 故答案为：． 14．解：设是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两根之和等于两根之积的2倍， ∴， 解得， 故答案为：1． 15．解：把代入， 得 ， 解得， 设方程另一个根为a， 则， 解得，． 故答案为：2；2． 16．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得 ， 两式相加得， 即， 所以或 解得或 又因为 所以；或者， 故或29． 故答案为-3或29 17．（1）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，，解得：， 则原方程为：， ，， ． 18．（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 19．解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 20．（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 21．（1）解：，即， 解得：和， ，即， 解得：和， 故一元二次方程和是“倍根方程”，且或． （2）解：，即， 解得：和， ∵根倍数为3， ∴倍根方程的两个根分别为：和或和， 当两个根为和时， ∴方程为， 当两个根为和时， ∴方程为，即； （3）解：设一元二次方程两个根分别为， ∴， ∴一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或； 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 综上：一元二次方程的倍根方程为或. 22．（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为, , ； （3）解：实数满足,且， 是一元二次方程的两个实数根， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$