精品解析：福建省福州市九校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 满分150分 时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列二次根式中,最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 5. 四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 7. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 乙用16分钟追上甲 B. 乙的速度是60米/分钟 C. 乙到达终点时，甲离终点还有800米 D. 当乙出发40分钟时，甲、乙两人的距离最远 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则_________． 13. 如图，在菱形中， ，对角线 ，则菱形的面积为________． 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，点，，，，…都在直线l上；点，，，，…都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的底边________． 16. 如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 18. 已知一次函数的图象过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． 19. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度，使它过点，请求出a的值． 21. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 22. 已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图1，点E，F分别在，上，，请在上画点O，使点O为的中点； （2）如图2，若，点E为上一点，请在上找点G，使． 23. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线交直线于点C，点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向点A匀速运动． （1）求点C的坐标； （2）当点P在线段（不含点O和点A）上运动，且的面积为12时，求点P的坐标； （3）若为等腰三角形，求点P的运动时间． 24. 根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务1 甲车经过段的速度为__________； 任务2 在下图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图像； 任务3 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，计红绿灯2由绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点A需要y秒，求y关于x的解析式； 任务4 丙车在段从开始等待至离开点A至少需要多少秒钟？ 25. 如图1，在正方形中，点M是对角线上一点，将直角三角的直角顶点放在点M处，使直角边经过点A，另一条直角边与交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点N，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点P时，若正方形边长为4，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 满分150分 时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列二次根式中,最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】A．是最简二次根式，本选项正确． B．，故不是最简二次根式，本选项错误； C．，故不是最简二次根式，本选项错误； A．，故不是最简二次根式，本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及加减运算，除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用二次根式的化简及加减运算法则，除法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； D．，能作为直角三角形三边长度，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 5. 四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； B、由，，不可以判断四边形是平行四边形，故选项符合题意； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可判断四边形是平行四边形， 故选项不符合题意； D、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判断四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：B． 6. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意； B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； C、∵y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误，符合题意； D、∵正比例函数， ∴当时，；故本选项正确，不符合题意； 故选：C 7. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又， ∴． 故选：D． 8. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 9. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 乙用16分钟追上甲 B. 乙的速度是60米/分钟 C. 乙到达终点时，甲离终点还有800米 D. 当乙出发40分钟时，甲、乙两人的距离最远 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 甲步行的速度为：米/分， 乙追上甲用的时间为：（分钟），故A选项错误； 设乙速度为x米/分， 由题意得：， 解得：． ∴乙的速度为80米/分．故B选项错误； ∴乙走完全程的时间为（分）， 乙到达终点时，甲走了分钟， 甲离终点距离是：米，故C选项错误； 由图可知，乙到达终点时，甲乙两人之间的距离最远，最远距离是560米，故D选项正确； 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，涉及平行四边形对角线相互平分，熟练掌握三角形中位线的定义及性质是解决问题的关键．由平行四边形性质，结合三角形中位线的定义及性质求解即可得到答案． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中， ，对角线 ，则菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．由菱形的性质得出， ，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据菱形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图，设的交点为点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，点，，，，…都在直线l上；点，，，，…都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的底边________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可． 【详解】解：在函数中，令，则；令，则， ，， 是等腰直角三角形，则， ∴， 过点作轴，则也是等腰直角三角形， 设， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点C、Q、F在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴的最小值为线段的长， 即的最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段最短问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可. 【详解】解： ； 18. 已知一次函数的图象过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． 【答案】（1） （2） 描点连线，画出该一次函数的图象如下： 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，以及画一次函数的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及画函数图象的一般步骤是解本题的关键． （1）直接将点代入一次函数中，即可得出函数解析式； （2）直接根据画函数图象的一般步骤列表，描点，连线即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 列表： 4 2 19. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形， ． 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，要证四边形是平行四边形，只需证即可，利用E，F分别是，的中点可以得证． 【详解】略 20. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度，使它过点，请求出a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由y与成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把代入即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把时，代入得：，即， 则y与x函数关系式为，即； 【小问2详解】 解：将（1）中所得函数的图象向上平移a（）个单位长度， 平移后的解析式为， 把点代入得：，即． 21. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 22. 已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图1，点E，F分别在，上，，请在上画点O，使点O为的中点； （2）如图2，若，点E为上一点，请在上找点G，使． 【答案】（1） 如图，连接交于，则即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴O为的中点； （2） 如图，连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）连接交于，则即为所求； （2）如图，连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线交直线于点C，点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向点A匀速运动． （1）求点C的坐标； （2）当点P在线段（不含点O和点A）上运动，且的面积为12时，求点P的坐标； （3）若为等腰三角形，求点P的运动时间． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 （3）当等腰三角形时，点P的运动时间为秒或8秒或4秒． 【解析】 【分析】（）联立一次函数解析式，解方程组可求出点坐标； （）把，分别代入一次函数可求出点坐标，由可得，进而求出点坐标； （）由一次函数及点坐标可得，，再分、、三种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得， ； 【小问2详解】 解：把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 的面积为12， ， ， ∴， ∵点P在线段（不含点O和点A）， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵直线交直线于点C，点C的坐标为， ，， ①当时，如图， 则， ∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动， ∴点P的运动时间为秒； ②当时，过点C作轴于点M，如图， 则， ∴点P的运动时间为秒； ③当时，如图， ， ， ， 即轴， ， ∴点P的运动时间为秒； 综上，当等腰三角形时，点P的运动时间为秒或8秒或4秒． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰三角形的定义及性质，勾股定理，掌握一次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务1 甲车经过段的速度为__________； 任务2 在下图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图像； 任务3 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，计红绿灯2由绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点A需要y秒，求y关于x的解析式； 任务4 丙车在段从开始等待至离开点A至少需要多少秒钟？ 【答案】任务1：； 任务2：补全函数图象如图． 任务3：； 任务4：47秒； 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； 任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； 任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可； 任务4、根据一次函数的增减性即可作答． 【详解】解：任务1：段的路程为：（米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：； 故答案为：8； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图4中可得乙车经过段的时间：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为：， ∴乙车经过段的时间为：， 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， 任务4：∵， ∴随x的增大而减小，， ∴当时，y取得最小值，最小值为（秒）， 即丙车在段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟． 25. 如图1，在正方形中，点M是对角线上一点，将直角三角的直角顶点放在点M处，使直角边经过点A，另一条直角边与交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点N，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点P时，若正方形边长为4，，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，结合，可得，进一步即可求证； （2）由（1）得：，可得，，证明，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形； （3）如图，过点M作于点G，设交于点H，证明，为等腰直角三角形，证明，结合，可得，结合是等腰直角三角形，可得，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点M作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 同理可得：，为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $