精品解析：北京市第五十七中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

2024—2025北京市第五十七中学初二下期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，用2B铅笔和黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，在中，已知，垂足为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 6. 如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（ ） A. 40m B. 45m C. 30m D. 35m 7. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 8. 如图，在矩形中，，，，，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 10. 小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN// l.已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的运动时间为x，M'N'的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为（ ） A. A→B→C→D→A B. B→C→D→A→B C. B→C→A→D→B D. D→A→B→C→D 二、填空题（共16题，每题2分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接EC．若的周长为5，则的周长为______． 13. 若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为________． 14. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 15. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为_________． 16. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 17. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 18. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法序号是_____． 三、解答题（共54分，第19题6分，每小题3分，第20小题4分，第21-24题，每题5分，第25-28题每题6分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. （1）计算：； （2）已知：，求的值． 20. 已知：，求作平行四边形． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，交于点； ③连接； ④以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点； ⑤连接、． 四边形即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵① ，② ， ∴四边形是平行四边形（③ ）．（填推理的依据） 21. 如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：． 23. 在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． （1）如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． （2）如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 24. 如图，在菱形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）； 第二步：如图2，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分； 第三步：如图3，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，再与三角形纸片拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （1）请你在图3中画出拼接成的四边形； （2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为 ，最大值为 ． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求和长度． 26. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 27. 正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN． （1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度数是 ． （2）如图2，当点M在BC的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，．给出如下定义：若一个矩形的边均与某条坐标轴平行，且是它的一条对角线，则称这个矩形是的“非常矩形”，如图1，点和点，它们的“非常矩形”是矩形． （1）在点，，中，与O构成的“非常矩形”的周长是6的点是________； （2）若在第一象限有一点与点O构成的“非常矩形”，且它的周长是8，求x，y满足的数量关系； （3）如图2，等边的边在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点G的坐标为，若在的边上存在一点H，使得点G，H的“非常矩形”为正方形，请直接写出这些正方形周长的最小值和a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025北京市第五十七中学初二下期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，用2B铅笔和黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理对选项进行判断即可． 详解】解：A、∵， ∴， ∴可以组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴可以组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴可以组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴不可以组成三角形，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解本题的关键． 2. 如图，在中，已知，垂足为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和三角形外角的性质等知识点．由平行四边形对边平行得出，再由知，根据可得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ， 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，结合平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，已知，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平行四边形中，根据平行四边形的对角线互相平分，得出，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，在中， ． 故选：C． 5. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 6. 如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（ ） A. 40m B. 45m C. 30m D. 35m 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向， ∴∠AOB=90°， 又∵OA=24m，OB=18m， ∴30m． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 7. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，，，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明为等边三角形是解题的关键．由矩形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形矩形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝6，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO＝＝＝8， ∴BD＝16， ∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD， ∴DE＝＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 10. 小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN// l.已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的运动时间为x，M'N'的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为（ ） A. A→B→C→D→A B. B→C→D→A→B C. B→C→A→D→B D. D→A→B→C→D 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可得，当K在点A处时，y最大，在C处时，y最小，点K匀速运动，由图2可知，点K从开始运动到第一次到达的位置一定为点C，第三次到达的位置一定为点A，故选项B符合，从B→C，y随x的增大而减小，从C→D，y随x的增大而增大，从D→A，y随x的增大而增大，A→B，y随x的增大而减小．故选B． 点睛：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 二、填空题（共16题，每题2分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接EC．若的周长为5，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】由平行四边形对角线互相平分和OE⊥AC可知OE为AC边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解． 【详解】解：∵在中，对角线AC，BD交于点O， ∴， 又∵OE⊥AC， ∴OE为AC边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出OE为AC边的垂直平分线是解题的关键． 13. 若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可，解题的关键是掌握二次根式的化简． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出∠BAC=30°，∠DAO=90°，得到AB=2，勾股定理求出OA，即可得到点D的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴OB=1， 在菱形中，，∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠ABC=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAC=30°，∠DAO=90°， ∴AB=2OB=2， ∴， ∵AD=AB=2， ∴点的坐标为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 16. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长 【详解】解：在正方形中，∠BAD=∠D =， ∴∠BAM+∠FAM= 在Rt中， ∵由折叠性质可得 ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG ∴BF垂直平分AG， ∴AM=MG，∠AMB= ∴∠BAM+∠ABM= ∴∠ABM=∠FAM ∴ ∴ ，∴ ∴AM=, ∴AG= ∴GE=13- 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 17. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 18. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 【答案】②④． 【解析】 【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图2， 四边形AECF不是矩形，故选项②错误． ③如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确． ④如 图4 ， 如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 三、解答题（共54分，第19题6分，每小题3分，第20小题4分，第21-24题，每题5分，第25-28题每题6分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. （1）计算：； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式恒等变形，再由二次根式乘除法计算，最后利用有理数减法运算求解即可得到答案； （2）先对代数式利用配方法恒等变形得到，再将代入，由二次根式性质结合有理数加法运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， 原式． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及平方差公式运用、二次根式性质、二次根式乘除运算、有理数加减运算及代数式求值等知识．熟练掌握二次根式相关运算法则是解决问题的关键． 20. 已知：，求作平行四边形． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，交于点； ③连接； ④以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点； ⑤连接、． 四边形即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵① ，② ， ∴四边形是平行四边形（③ ）．（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）；；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，作线段，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作图步骤即可作出图形； （2）根据平行四边形的判定解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：；；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 21. 如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．由四边形是平行四边形，可得，，又由平分，平分，可证得，即可证得，则可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质；先证明是直角三角形，可得，根据已知可得，则，进而根据中位线的性质可得，即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴ ∴是直角三角形， 又∵是的中点 ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴． 23. 在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． （1）如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． （2）如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）点是的勾股点时，的长为或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角，勾股点的定义，勾股定理， （1）延长交于，根据三角形的外角得，即可得，即可得； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图1所示，延长交于， 是的外角， ∴， ∴， ∴点是的一个勾股点； 【小问2详解】 解：在中，，，， 则， ∴； ①如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ②如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ③如图，当时，点为的中点， ， ， 综上所述，点是的勾股点时，的长为或或． 24. 如图，在菱形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）； 第二步：如图2，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分； 第三步：如图3，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，再与三角形纸片拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （1）请你在图3中画出拼接成的四边形； （2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键． （1）根据题目要求补图即可； （2）首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于的大小．然后在矩形中探究的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求， ； 【小问2详解】 解：由拼图知：， （三角形中位线定理）， ， ∴四边形是一个平行四边形， 其周长为． ∵在菱形纸片中，， ∴为定值， ∴四边形的周长取决于的大小， 如图，过B作于P，过E作于Q， 在菱形纸片中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，不妨设M在上，则N和Q重合，连接， ∵G是中点，， ∴， ∵是中位线， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， ∴四边形的周长最小值为； 如图，当E和A重合，M和G重合，N和C重合时，最大，过G作于K， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最大值为， ∴四边形的周长最大值为； 故答案为：；． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求和的长度． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质，平行四边形的性质，以及等腰直角三角形的性质，先求得，进而勾股定理求得，根据，求得，进而根据直角三角形斜边中线可得：，利用勾股定理计算的长，可得结论． 【小问1详解】 证明四边形是平行四边形 ，． ， ， 即． 点、在直线上 ，． 四边形是平行四边形 又，垂足是， ． 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，． ，， ． ， ． ． 在中，． ， ． ∴ 在中， ∴； 在中，． ． 点是平行四边形对角线的交点， 为中点 在中，．为中点． ． 26. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）6， （2） （3）60米 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 27. 正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN． （1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度数是 ． （2）如图2，当点M在BC的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）①见解析；②，见解析. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出∠MBN=∠CDM=25°即可； （2）①由题意补全图形即可； ②当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，证明△CDN≌△CBE得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=NC，即可得出结论； 当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，同理得：△CDN≌△CBE，得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，证出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，证出NE=NC，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DCM=∠BCD=90°， ∵BN⊥DM， ∴∠DNB=90°=∠BCD， ∵∠BMN=∠DMC， ∴∠MBN=∠CDM=25°； 故答案为25°； （2）①由题意补全图形如图2、图4所示； ②线段NB，NC和ND之间的数量关系为：NB=ND+NC，或NC=NB+ND． 理由如下： 当N在DM上时，在NB上截取BE=ND， ∵∠MCD=∠BNM=90°， ∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°， ∴∠CDN=∠CBE， 在△CDN和△CBE中， ， ∴△CDN≌△CBE（SAS）， ∴NC=EC，∠DCN=∠BCE， ∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°， ∴△NCE是等腰直角三角形， ∴NE=NC， ∴NB=BE+NE=ND+NC； 当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND， 同理得：△CDN≌△CBE， ∴NC=EC，∠DCN=∠BCE， ∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°， ∴△NCE是等腰直角三角形， ∴NE=NC， ∵NE=NB+BE， ∴NC=NB+ND． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，．给出如下定义：若一个矩形的边均与某条坐标轴平行，且是它的一条对角线，则称这个矩形是的“非常矩形”，如图1，点和点，它们的“非常矩形”是矩形． （1）在点，，中，与O构成的“非常矩形”的周长是6的点是________； （2）若在第一象限有一点与点O构成的“非常矩形”，且它的周长是8，求x，y满足的数量关系； （3）如图2，等边的边在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点G的坐标为，若在的边上存在一点H，使得点G，H的“非常矩形”为正方形，请直接写出这些正方形周长的最小值和a的取值范围． 【答案】（1）A （2）x+y=4 （3）正方形周长的最小值为； 【解析】 【分析】（1）根据“非常矩形”的定义，即可求解； （2）根据“非常矩形”的定义，即可求解； （3）根据等边三角形的性质可得DF=EF=2，可得当点H与点F重合时，正方形的周长最小；当H与点E重合，点G位于G1的位置时，a取最小值；当H与点D重合，点G位于G2的位置时，a取最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点， ∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（1+2）=6，符合题意； ∵点， ∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（1+1）=4，不符合题意； ∵点， ∴∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（2+2）=8，不符合题意； 故答案为：A 【小问2详解】 解： ∵在第一象限有一点与点O构成的“非常矩形”，且它的周长是8， ∴2（x+y）=8， ∴x+y=4； 【小问3详解】 解：∵△DEF是等边三角形， ∴DE=DF=EF， ∵OF⊥DE， ∴OD=OE， ∵点D的坐标为， ∴DE=2OD=2， ∴DF=EF=2， ∴， ∵点G的坐标为， ∴点G在平行于x轴的直线上， 设该直线交y轴于点K， ∴， ∴， 如图，当点H与点F重合时，正方形的周长最小， 此时， ∴正方形周长的最小值为； 如图，当H与点E重合，点G位于G1的位置时，a取最小值，此时正方形的边长为2， ∴G1K=2+1=3，即a=-3； 当H与点D重合，点G位于G2的位置时，a取最大值，此时正方形的边长为2， ∴G2K=2+1=3，即a=3； ∴a的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形和正方形的性质，理解“非常矩形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 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