江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试（二模）数学试卷

试卷第 1页，共 4页 中华中学 2024-2025学年度第二学期校内模拟考试(二模)试卷 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分 150分 命题人：胡祥志 邓飞 审核人：李雅洁 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知复数 z＝ 2－i 1＋3i （其中 i为虚数单位），则|z|＝（ ） A． 5 5 B． 2 2 C． 2 D． 5 2．在平行四边形 ABCD中，E是对角线 AC上靠近点 C的三等分点，则（ ） A．BE → ＝－1 3 AB → ＋2 3 AD → B．BE → ＝2 3 AB → －1 3 AD → C．BE → ＝1 3 AB → －2 3 AD → D．BE → ＝－2 3 AB → ＋1 3 AD → 3．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a3＋a5＝20，则 S7＝（ ） A．70 B．80 C．120 D．140 4．若(2x2－1 x )n展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含 x4项的系数为（ ） A．－80 B．－40 C．80 D．40 5．在下列关于直线 l，m与平面α，β的命题中，真命题是（ ） A．若 lβ，且α⊥β，则 l⊥α B．若 l⊥β，且α∥β，则 l⊥α C．若α∥β，lα，mβ，则 l∥m D．若 l⊥β，且α⊥β，则 l∥α 6．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝π 2 ，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点 D是棱 AC的中点， 点 E在棱 BB1上运动，则点 D到直 线 C1E的距离的最小值为（ ） A．5 5 4 B．4 5 5 C． 5 D．3 5 5 7．若圆 x2＋y2＝4上总存在两个点到点(a，1)的距离为 3，则实数 a的取值范围是（ ） A．(－1，1) B．(－2 6，2 6) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－2 6，0)∪(0，2 6) 试卷第 2页，共 4页 8．过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F的直线与双曲线右支交于 A，B两点，弦 AB的垂直 平分线交 x轴于点 P，若 AB＝PF，则该双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0分． 9．已知如图是函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)，（ω＞0，－π 2 ＜φ＜0）的部分图象，则（ ） A．f(x)的图象关于(3π 2 ，0)中心对称 B．f(x)在(－1，2)单调递增 C．若 f(x)在[0,θ]上的值域为[1,2],则θ的最大值为4π 3 D．f(x)的图象向左平移2π 3 个单位长度后为偶函数的图象 10．已知函数 f(x)＝1 3 x3－ax2＋x(a∈R)，则下列说法正确的有（ ） A．若 f(x)是 R上的增函数，则 a∈[－1，1] B．当 a＞1时，函数 f(x)有两个极值 C．当 a＞1时，函数 f(x)有三个零点 D．若关于 x的方程 f(x)＝t恰有两个非零的实数根 x1和 x2( x1＜x2)，则 x1＋2x2＝3a 11．设数列{an}是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意 n∈N＋，均有 n k na a  ，则称{an}是间隔 递增数列，k是{an}的间隔数．则下列说法正确的是（ ） A．公比大于 1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知 an＝n＋4 n ，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是 4 C．已知 an＝2n＋(－1)n，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是 3 D．已知 an＝n2－tn＋2021，若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 4≤t＜5 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，点 P在 C上且位于第一象限，过点 P作直线垂直于 C的准 线，垂足为 A，若直线 AF的倾斜角为5π 6 ，则 PF＝ ． 13．已知正四棱台 ABCD－A1B1C1D1的上，下底面边长分别为 1和 2，且 BB1⊥DD1，则该棱台的体 积为 . 14．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买 16个饺子，其中有 X个为香菇肉馅，其余为玉米肉 馅，且 P(X＝i)＝ 1 17 ，i＝0，1，…，16．在小蒋吃到的前 13 个饺子均为玉米肉馅的条件下，这 16 个饺子全部为玉米肉馅的概率为 . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 13分) 中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联 网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了 10名网红直播的 观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示： 观看人次 x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量 y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：     10 102 2 1 1 600, 768, 80i i i i x x y y x         ． （1）已知观看人次 x与销售量 y线性相关，且计算得相关系数 11 2 16 r  ，求回归直线方程  y bx a  ； （2）规定：观看人次大于等于 80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于 90（百件） 为优秀，小于 90（百件）为不优秀，对优秀赋分 2，对不优秀赋分 1．从金牌主㨨中随机抽取 3 名，若用 X 表示这 3名主播赋分的和，求随机变量 X 的分布列和数学期望． （附：      1 2 1 , n i i i n i i x x y y a y bx x x b             ，相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ） 16．(本小题满分 15分) 已知函数 f(x)＝1 2 x2－(a＋2)x＋2alnx(a∈R). （1）当 a＝－3时，求函数 f(x)在 x＝1处的切线； （2）讨论函数 f(x)的单调性. 试卷第 4页，共 4页 17．(本小题满分 15分) 在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，cosA cosC ＝－ 3a 2b＋ 3c ，点 D是边 BC上的一 点，且sin∠BAD b ＋sin∠CAD c ＝ 3 2a ． （1）求证：AD＝a 3 ； （2）若 CD＝2BD，求 cos∠ADC． 18．(本小题满分 17分) 如图，已知四棱锥 P－ABCE中，PA⊥平面 ABCE，平面 PAB⊥平面 PBC，且 AB＝1， BC＝2，BE＝2 2，点 A在平面 PCE内的射影恰为△PCE的重心 G （1）证明：BC⊥AB； （2）求线段 PA长； （3）求直线 CG与平面 PBC所成角的正弦值. 19．(本小题满分 17分) 已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，上下顶点分别为 B1、B2，△B1F1F2是面 积为 3的正三角形，过右焦点的直线交椭圆于 P，Q两点（P，Q分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点 M(0，m)，m＞0，求椭圆Γ上的动点 R到点 M的最大距离； （3）求四边形 B1B2QP面积的取值范围.