精品解析：山东省临沂市蒙阴县2024—2025学年下学期一轮复习模拟考试九年级数学试题

九年级一轮复习验收考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 数轴上点、点表示的有理数分别为、，点在线段上，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 6. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 7. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则______． 13. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么______． 14. 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从1.2吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克．请列出方程组_____． 15. 在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是_____（写出一个满足题意的点即可） 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 18. 如图，、两点在函数的图象上． （1）求的值及直线AB的解析式； （2）从图上观察，当时直接写出时的取值范围； （3）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数的图象与直线围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标． 19. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 20. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 21. 如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点． （1）求出点到的距离（结果精确到）； （2）农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，） 22. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，如果抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 23. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． （2）【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． （3）【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级一轮复习验收考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 数轴上点、点表示的有理数分别为、，点在线段上，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的位置关系是解题关键．根据数轴上点P的位置在和之间，再由选项中的数据可得点P表示的数． 【详解】解：因为点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上， 所以点表示的数大于等于且小于等于， 只有选项B符合要求． 故选：B． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，算术平方根的计算，掌握以上知识及计算法则是关键． 根据整式的混合运算法则，算术平方根的计算方法判定即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意，； 故选：D ． 6. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 7. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 故选：B． 8. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了 12 分钟，即可列出关于的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2倍，且乘公交车平均每小时走千米， ∴电动汽车的平均速度是千米／小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据的直径平分弦（不是直径），得，再结合，得，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得，即可作答． 【详解】解：∵的直径平分弦（不是直径）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，正切的定义，解题关键是熟练掌握折叠的性质和勾股定理． 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 先根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，即，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ，， 在中， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得，， ， ． 故答案为：． 14. 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从1.2吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克．请列出方程组_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克，从5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从1.2吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等，列出方程组即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，提炼出白银y克，根据题意得： ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，若，均为整数，对于点，规定：当为奇数时，将其减1后除以作为点的横坐标，当为偶数时，将其除以2作为点的横坐标；同时对进行和同样的处理作为点的纵坐标．由点A到点这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为，，，中的一个．当，均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为的是_____（写出一个满足题意的点即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，理解“归一变换”的定义是解题的关键． 根据“归一变换”的定义从满足条件的较大整数点出发，逐步按照规则进行变换，直至得到最终变换为的点．本题只需找出一个符合要求的点即可． 【详解】∵，， ∴选取点． 第一次：点 “归一变换点，得点． 第二次：点归一变换点得到． 第三次：点 “归一变换得到点． 第四次：点 “归一变换得到点． 第五次：点 “归一变换得到点． ∴经过数次“归一变换”后最终变换为为的是可以是 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是熟练掌握各个运算法则． （1）利用负整数指数幂、绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1） 证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，、两点在函数的图象上． （1）求的值及直线AB的解析式； （2）从图上观察，当时直接写出时的取值范围； （3）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数的图象与直线围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． （1）把点代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把，分别代入表达式，即可求得直线的解析式； （2）由图象即可求得； （3）根据图象及解析式即可求得． 【小问1详解】 解：由图可知反比例函数过点， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点，分别代入表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：当或时，； 【小问3详解】 解：格点的横坐标x的取值范围为且x为整数 当时，，，此时在区域内的格点的坐标为 当时，，，此时在区域内的格点的坐标为 当时，，，此时没有格点； 综上，所含格点的坐标为， 19. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径，如图，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 20. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 21. 如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点． （1）求出点到的距离（结果精确到）； （2）农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）如解图，过点作于点，在中，，即可求解； （2）过点作于点，可得，根据等腰三角形的内角和定理得到，在中，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如解图，过点作于点， ∵，，且， ∴在中，， ∴点到的距离约等于； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 答：此时农夫所在的处到地面的高度约为． 22. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，如果抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解； （2）依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解； （3）依据题意，当时，抛物线为，从而表示出为，抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线与轴有交点，故，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，， 又， ， ， 或． 【小问2详解】 解：由题意，， ， ∴当时，函数有最大值为， 又此时点是抛物线上一点，时，都有， ， ． 【小问3详解】 解：由题意，当时，抛物线为， ∴把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线为， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，且， 又若当时，， ， ∵开口向下， ， 又 ∵抛物线与轴有交点， ， ， ． 23. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． （1）【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． （2）【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． （3）【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 【答案】（1）相等，垂直，相等 （2） 证明：如图，四边形是正方形， ， ∵点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ． （3）图形如下： 【解析】 【分析】（1）如图1，根据正方形和等腰直角三角形的性质和判定求解即可；如图2，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图3，由，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图4，证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：如图1，， 理由如下：如图1，根据题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等； 如图2，；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：垂直，相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转角为的图形如图， ∵， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ， ， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含 30 度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $