精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2025年春高2023级期中学习质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：150分钟 命题教师：蒲燕 审题教师：薛成林） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 5. 已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 6. 若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 8. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处有极大值 C. 若在上不单调，则 D. 若在区间 上有最小值，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知数列的前n项和．则该数列的通项公式为． B. 若数列是等差数列，则为等差数列 C. 已知数列是等比数列，，，令，则 D. 若数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线方程为_______． 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 16. 在数列中，已知. （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面，且. （1）求证：平面； （2）与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2025年春高2023级期中学习质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：150分钟 命题教师：蒲燕 审题教师：薛成林） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可得解. 【详解】因为数列为等差数列，又， 所以，则，所以. 故选：B. 2. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 3. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由的正负性可以确定函数的单调性以及极值点，可判断B C；但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定. 【详解】由图象可知，或时，，时，， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则当时取极小值，当时取极大值，故B错误，C正确， 由图只能确定函数的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故A D无法确定. 故选：C 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 5. 已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合分类讨论求得，经验证符合题意. 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 6. 若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值与导数的关系，列出不等式，即可得到a的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 若函数有极值点，则方程有两个不等的实数根， 且至少有一个正根，设其根为，且，则， 所以，且， 所以，，解得. 故选：D 7. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，，可推出，再利用等差数列的求和公式以及数列的单调性逐项分析，可得合适的选项. 【详解】因为，则，因为，则， 所以，，所以，，A错； ，B对； ，C错； 因为，所以数列为递减数列， 当且时，；当且时，， 所以，中最大项为，D错. 故选：B. 8. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【详解】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处有极大值 C. 若在上不单调，则 D. 若在区间 上有最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性，然后画出函数图象，即可判断ABCD四项是否正确. 【详解】， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A项正确，B项错误. 根据单调性可得，若在上不单调，则，C项正确. 对于D项，当时，在区间上单调递减，无最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有最小值； 当时，在区间 上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，要使有最小值，则； 综上可得，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知数列的前n项和．则该数列的通项公式为． B. 若数列是等差数列，则为等差数列 C. 已知数列是等比数列，，，令，则 D. 若数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由与的关系，代入计算，即可求得数列的通项公式，可判断A；设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列定义可判断B；设等比数列的公比为，根据题意求得，且当时，得到数列是以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，计算即可判断C；先列出前2项比较大小，然后根据最大列出不等式方程组计算即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 因为①， 则当时，②， ①-②得， 当时，，故A错误； 对于B，设等差数列的首项为，公差为，则， 所以， 因为，所以为等差数列，故B正确； 对于C，设等比数列的公比为， 因为，，可得，解得， 则，解得，所以 又由当时，， 所以数列表示首项为，以为公比的等比数列， 所以，故C正确； 对于D，设时，最大，因为，， 所以，所以 即，故 ， ， 即，所以， 故当取最大值时，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导函数求得函数单调性及最值，可判断A；构造函数，利用导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值比较函数值的大小，再结合函数的单调性可判断C；利用选项C的结论可判断B；结合图象，利用根与系数的关系可求解并判断D. 【详解】由题意，函数，定义域为，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 对于A，在处取得最大值，故A正确； 对于C，由题意，，且，则. 设， 设， 则， 因为，所以，则当且仅当即时等号成立，故， 又因为，则， 所以，则函数在上单调递增，故，即. 因此，，又，则， 因为在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于B，由上述分析可知，设，则，即. 因为，在上单调递减， 所以，故B正确； 对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根， 则关于的方程有两个不相等的实数根， 由可得或， 且，则或， 当时，则，解得与矛盾，故舍去； 当时，如图， 则，且，整理得， 因为，所以，，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导函数得切线斜率，即可求得切线方程. 【详解】， ，即函数的图象在点处的切线斜率为1， 所以切线方程为：. 故答案为： 【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求函数在某点处的切线方程，关键在于准确求出导函数. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式计算即可； （2）利用裂项相消法来求和，再用放缩法，不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意可知， 等差数列的公差为， 所以， 又所以； 【小问2详解】 因为， 所以, 即. 16. 在数列中，已知. （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）采用分组求和法求数列的前项的和. 【小问1详解】 因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：. 所以， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面，且. （1）求证：平面； （2）与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，最后与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则有，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有： 令，则，所以， 设与平面所成角为，则 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导并解不等式、即可. （2）分离参数可得，恒成立，令，运用导数求的最大值即可. （3）取，由（2）知，设，进而可得，整理可得，结合累加法证明即可. 【小问1详解】 当时，， 则． 由，得． 令，解得；令，解得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，恒成立，所以恒成立． 令，则． 令，则恒成立， 即在区间上单调递减， 又，所以，即． 所以时，， 所以在区间上单调递减，故，所以， 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 证明：由（2）知，取，当时，，所以． 设，则满足， 所以， 即， 所以， 所以， 即． 【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法： 方法1：分离参数法求最值 (1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔. 方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $