精品解析：贵州省黄平民族中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

贵州省黄平民族中学2023-2024学年高二下学期期末考试 高二数学 试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解 【详解】由， 解得， 由且， 解得， 故，充分性不成立； ，必要性成立 故是成立的必要不充分条件 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得. 【详解】由有意义，可得，解得且. 故选：D. 4. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 5. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限. 故选：B. 6. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案. 【详解】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 故选：B. 7. 某公司对员工工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断. 【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变， 中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变， 极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与 最小值并未改变，所以极差一定不变， 众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变. 故选：C 8. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项，由，， 可知，故A正确； 对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误； 对于C选项，由，， 故当时才有，故C错误； 对于D选项，若要成立，需要， 即成立的条件为是两个独立事件，故D错误. 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC 10. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数列的基本性质可得出，，求出的取值范围，可判断AB选项；利用等比数列的性质可判断CD选项. 【详解】因为数列等比数列的公比为且，则， 所以，，， 又因为，则，所以，，从而， 故对任意的，，由可得，A对B错； ，，即，C对D错. 故选：AC. 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 面积的最大值为12 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B，由椭圆定义可判断；对于C、D，由椭圆图形的结构特征和性质可得. 【详解】对于A，由椭圆方程得，所以， 所以离心率为，故A对； 对于B，由椭圆定义可知，故B错； 对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时， 面积取得最大，最大值为，故C对； 对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形为，再把看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于的不等关系，再利用不等关系表达所求式，并求其范围探究最值即可. 【详解】由，可得. 令，则在上单调递增，所以， 由对恒成立， 所以，则，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3. 故答案为：. 13. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件构造函数，再由函数的导数倒推函数的解析式，再求解不等式. 【详解】令，， 则，又，∴， ∴， 所以，即， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则an＝____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用项和公式求解即可. 【详解】由题得， 两式相减得，即， n=1时，， 所以数列{an}从第2项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 故答案为 【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的单调性分析可得答案； （2）由，可得抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论. 【小问1详解】 当时，，则在上单调递增，满足条件； 当时，的对称轴为，要使在上单调递增， 则，解得：， 综上，若在上单调递增，则的取值范围为 【小问2详解】 当时，的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，，， 当时，即时，； 当时，即，， 当时，即，， 综上，， 所以当时， 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 17. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）11袋 【解析】 【分析】（1）根据数据求出得出回归直线即可； （2）应用回归直线估计判断即可. 【小问1详解】 由数据，得，， ， ， 由公式，求得，，y关于x的线性回归方程为． 【小问2详解】 由，得，而， 所以该店应至少再补充原材料11袋． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点， 所以， 因为平面平面ABCD， 平面平面， 平面PAD， 所以平面ABCD． 因为平面ABCD， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，平面ABCD． 取BC中点F，连结EF, 因为底面ABCD为矩形，E为AD中点， 所以, 所以EA，EF，EP两两垂直． 分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAC的法向量， 由，得， 令，得，， 所以， 平面ABCD的法向量可取． 设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角， 则， 所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组求解的值，即得答案； （2）设的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合化简求值，可得t的值，即可证明结论. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c，由题意得， 解得， 故C的方程为. 小问2详解】 证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意； 设的方程为（），代入， 得， 由，得， 设，，则，， 所以， ， 直线AM的方程为，令，得，故， 同理可求， 所以，， 由，得， 即，所以， 所以，解得，（舍）， 所以直线MN的方程为，故直线MN过定点. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省黄平民族中学2023-2024学年高二下学期期末考试 高二数学 试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 7. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 8. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为1 10. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B C. 面积的最大值为12 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 13. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 14. 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则an＝____________. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，设函数在区间上最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 17. 某大型商品交易会展馆附近的一家特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近4次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下数据： 第一次 第二次 第三次 第四次 参会人数x（万人） 8 9 10 11 原材料y（袋） 20 23 25 28 （1）请根据所给四组数据，求出y关于x的线性回归方程； （2）若该店现有原材料20袋，据悉本次交易会大约有12万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点． （1）求证：； （2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值． 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$