精品解析：广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

广州市第65中学2024-2025学年第一学期 期末考试 高二数学 一单选题：本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点的距离为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 如图，在三棱锥 中，点满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 的顶点， 边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求 边所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知是圆的一条弦，且， 是的中点，当弦在圆 上运动时，直线上存在两点 ，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 A. B. C. D. 二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知有限集为随机试验的样本空间，事件 为的子集，则事件 相互独立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，， 的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为 ，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 13. 已知直线，，若，则 的值为____________. 14. 设，是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，点 是 右支上一点，若的内切圆的圆心为 ，半径为，且，使得，则 的离心率为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率； （2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率. 16. 如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． （1）求点O到平面的距离； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值． 17. 已知 的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1， 被直线l：截得的弦长为2. （1）求 的方程； （2）设点D在 上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图1，在平行四边形 中，，将沿 折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥 ，如图2． （1）证明：平面平面 ； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面 的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，点 ， 分别是椭圆 ：的右顶点，上顶点，若 的离心率为，且 到直线的距离为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点的直线与椭圆 交于 ，两点，其中点 在第一象限，点在 轴下方且不在 轴上，设直线， 的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与 轴交于点，求 的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第65中学2024-2025学年第一学期 期末考试 高二数学 一单选题：本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得. 【详解】直线l的一个方向向量为，则直线 斜率为， 所以直线 的倾斜角为. 故选：C 2. 已知抛物线上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点的距离为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，将点 到抛物线焦点的距离转化为点 到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点 到抛物线焦点的距离即点 到准线的距离， 即. 故选：B. 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为 ． 故选：D． 4. 如图，在三棱锥 中，点 满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【详解】， 所以，故． 故选：C. 5. 已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的方程设双曲线方程然后根据双曲线的点即得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为， 将点代入得，， 该双曲线标准方程为，即 ． 故选：A. 6. 的顶点， 边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求 边所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由求出点的坐标为，再利用对称关系求出点关于直线的对称点，而在直线 上，从而可得直线 的方程，设点 的坐标为，则，可求出点 的坐标为，进而可求得直线 的方程 【详解】解：由，得， 所以点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 因为点在直线 上， 所以直线 的方程为，即， 设点 的坐标为，则 的中点坐标为， 所以，解得， 所以点 的坐标为， 所以， 所以 边所在直线的方程为，即， 故选：B 【点睛】此题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，考查点关于线的对称点的求法，考查计算能力，属于中档题 7. 已知是圆的一条弦，且， 是的中点，当弦在圆 上运动时，直线上存在两点 ，使得恒成立，则线段 长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出点 的轨迹方程，然后将问题转化为“以 为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线 的距离结合点 的轨迹所表示圆的半径可求解出 的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又， 是的中点，所以， 所以点 的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点 ，使得恒成立， 则以 为直径的圆要包括圆， 点到直线 的距离为， 所以 长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点 轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点 轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以 为直径的圆包括 的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析 的最小值. 8. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：由数据1，2，3，4，x（0<x<5）的平均数， 可得2+=x，所以x=，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种，这2个数字之积大于5的结果有： ，共5种， 所以所求概率为. 本题选择B选项. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知有限集为随机试验 的样本空间，事件 为的子集，则事件 相互独立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义逐一分析判断即可. 【详解】对于A，由 ，得若 发生，则一定发生， 所以事件 不相互独立，故A错误； 对于B，由，可得 ，所以， 所以事件 相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件相互独立， 所以事件 相互独立，故C正确； 对于D，由，结合， 得， 所以事件 相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的右焦点为 ，抛物线以 为焦点，过 的直线 交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线 的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线 的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线 的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线 的斜率为，倾斜角不为 或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为 ，过点 作垂直于直线 于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作 垂直于直线 于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，， 的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为 ，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值. 【详解】A选项，以 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故. 设平面的法向量为， 则， 令 得，，故， 因为，故平面，A正确； B选项，取的中点，连接， 因为M，N，P分别是棱，， 的中点， 所以，又， 所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形， 其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为 ， 又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点Q的轨迹， 其中，由对称性可知，， 故半径， 故点Q的轨迹长度为，C错误； D选项，因为M，N，P分别是棱，， 的中点， 所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称， 不妨求能放入含有顶点 的空间几何体的球的半径最大值， 该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切， 由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为 ， ，故，即，解得， 故球的半径的最大值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据和概率基本性质计算即可. 【详解】设学生爱好篮球为事件A，学生爱好音乐为事件B，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件 , , 又因为, 所以. 故答案为：. 13. 已知直线，，若，则 的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或 ， 由得，因此 . 故答案为：2. 14. 设，是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，点 是 右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则 的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设 在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出 ，得到离心率. 【详解】不妨设 在第一象限，则点也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故， ， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， 又 ， 又，故，故， 又，故，，故， 将代入 中，得， 解得 ，所以 的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率； （2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 设“甲第轮猜对”为事件，“乙第轮猜对”为事件， 则， 记“经过两轮活动，两人共猜对2个成语”为事件C， 则事件 有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对， 所以. 【小问2详解】 记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件D， 则事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对， 所以， 所以 16. 如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． （1）求点O到平面的距离； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，交于点，连接，以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接 ，由题意，点 为的交点， 连接交于点，连接，则平面 ， 因为四边形 为菱形，则 ， 如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系， 在中，，则为等边三角形，则， 则， 故， 设平面的法向量为，则有，可取， 则点O到平面的距离为； 【小问2详解】 ，故， 则， 即直线AB与平面所成角的正弦值为． 17. 已知 的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1， 被直线l：截得的弦长为2. （1）求 的方程； （2）设点D在 上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为 . ①求曲线 的方程； ②过点的直线与曲线 交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【小问1详解】 由题意可设圆 的圆心 的坐标为，圆 的圆心 在直线上， ，解得： ，即圆心为， 圆心到直线 的距离为，设圆 的半径为r，弦长为， 由已知 所以，所以圆 的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 由得：，所以 D在圆 上运动， 整理可得点T的轨迹方程 为： 当直线 轴时，轴平分， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式， 设，，， 若轴平分，则，所以， 又，， 所以， 所以， 所以 所以 解得， 当时，能使轴平分. 18. 如图1，在平行四边形 中，，将沿 折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥 ，如图2． （1）证明：平面平面 ； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面 的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点，、、的方向分别为、、 轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，因为四边形 为平行四边形，，则， 因为 ，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则 ，同理可证， 翻折后，则有 ，， 因为，， 、平面， 所以，平面， 因为 平面，则， 因为， 、平面 ，所以，平面 ， 所以平面平面 . 【小问2详解】 因为平面 ， ，以点 为坐标原点， 、、的方向分别为、、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取 ，则，，所以，， 平面 的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 19. 在平面直角坐标系 中，点 ，分别是椭圆 ：的右顶点，上顶点，若 的离心率为，且 到直线 的距离为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点的直线 与椭圆 交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线， 的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求 的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）设直线 的方程为，其中，且 ，即 ， 设直线 与椭圆 交于点， 联立方程组整理得 ， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出 ，即可得解； （2）（i）设直线 的方程为，其中，且 ，设直线 与椭圆 交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； （ii）法一：直线的方程为 ，设直线 与轴交于点，直线 的方程为 ，分别求出 的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解. 法二：直线的方程为 ，设直线 与轴交于点，直线 的方程为 ，分别求出 的坐标，易得点是线段 的中点，则 ，其中为点到直线 的距离，求出的最大值即可. 【小问1详解】 设椭圆 的焦距为， 因为椭圆 的离心率为，所以，即， 据，得，即 . 所以直线 的方程为 ，即 ， 因为原点 到直线 的距离为， 故，解得 ， 所以， 所以椭圆的标准方程为 ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）法一：直线的方程为 ，令 ，得，故， 设直线 与轴交于点， 直线 的方程为 ，令 ，得，故 联立方程组整理得 ， 解得或0（舍）， ， 所以 的面积 ， 由（i）可知， ，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得 ， 所以， 显然，当时， ， 当时， ， 故只需考虑，令 ，则 ， 所以 ， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以 的面积的最大值为 . 法二：直线的方程为 ，令 ，得，故， 设直线 与轴交于点， 直线 的方程为 ，令 ，得，故， 由（i）可知， ，故 ， 所以点是线段 的中点， 故 的面积 ，其中为点到直线 的距离， 思路1 显然，当过点且与直线 平行的直线与椭圆 相切时，取最大值， 设直线的方程为，即 ， 联立方程组整理得 ， 据 ，解得（正舍）， 所以平行直线： 与直线 ： 之间的距离为 ，即的最大值为， 所以 的面积的最大值为 . 思路2 因为直线 的方程为 ， 所以， 依题意， ， ， ，故 ， 所以 ， 因为在椭圆 上，故 ，即 ， 所以 ， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即 的面积的最大值为 . 思路3 因为直线 的方程为 ， 所以， 因为在椭圆 上，故 ， 设 ， ，不妨设， 所以， 当，，时， ， 即 的面积的最大值为 . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $