精品解析：福建省南平第一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

南平一中2024~2025学年第二学期八年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式．根据法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 2. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 x+2≥0 解得x≥-2． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练地掌握二次根式的定义是解决问题的关键． 3. 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查以的三边为边向外作图形的面积问题，涉及勾股定理、正方形面积等知识，由勾股定理得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为，，， ，，， 在中，，即， ，， ， 故选：B． 4. 如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：， ， ， 故选：D． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不正确； B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不正确； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不正确； 故选C． 【点睛】此题考查了真假命题的判断，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 6. 在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍长5米，点P到点O的距离（ ） A. 3米 B. 3.5米 C. 2.5米 D. 5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道斜边不变．连接，易知就是斜边 上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么，即可求解． 【详解】解：连接， 在中，就是斜边 上的中线， ， ∵木棍长5米， 米， 故选C． 8. 如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在的水管，水管 上的点E处安装有红外线感应装置．已知出水口D到点C的距离 为，出水口D到点E的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形和勾股定理的实际问题，较为简单，要熟练掌握．连接 ，在 中，由勾股定理得，根据求出的长度即可． 【详解】解：连接 ，如下图所示， ∵， ∴是直角三角形 在 中，，，由勾股定理得： ∵， ∴ 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为， 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中，点，过点P作轴于点A，的平分线交x轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与图形，勾股定理的应用以及平行线的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 根据点P坐标可求得，再根据平行线的性质及角平分线的定义可证得，进而可得，由此可求得答案． 【详解】解：∵点，过点 P 作轴于点 A， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故选C． 10. 如图，在 中，，，点D是 的中点，点E是 边上的动点，E点从B点出发向A点移动，连接 ，过点D作交 于点F，连接 ，下列结论：①；②；③；④ 的最小值是4；⑤四边形的面积先变小再变大．其中正确是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ③④ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 平分，且， 点 是 的中点，， ， ， 又， ， ，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ， ， ， ∴，，故①不正确； 当时， 的最小，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ，故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值，故⑤不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填入答题卡相应的位置） 11. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为 和， 菱形的面积 ． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 13. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以A点为圆心， 长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为3，则点E表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算．先由正方形面积为3可知边长为，而后根据点A表示的数为0即可得到答案． 【详解】解：∵正方形面积为3， ∴， ∵点A表示的数为0， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，E为 上一点，M，N分别为， 的中点，则的长为 __． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵M，N分别为， 的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 15. 如图， 是平行四边形的对角线，点 在 上，，，则的度数是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°−∠ABC＝180°−108°， ∴∠BAC＝24°， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查了平行四边形背景下的角度求解，涉及平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，正确的识别图形找准角度之间的关系是解决问题的关键． 16. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于 的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于 的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡相应的位置作答） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 ， 则 19. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形展区的面积． 【答案】四边形展区的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． 【详解】解：连接 ， 因为，所以 是直角三角形． 所以 因为，所以是直角三角形，． 所以． 答：四边形展区的面积为 20. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将 沿直线 折叠，点A恰好落在边上的点E处，求 和 的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．结合矩形的性质和点 的坐标，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理求出 的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出 的值，得到 的长，即可解答 【详解】解：∵点B的坐标为，四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴综上所述，，． 21. 甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c），可以拼成像如图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式. （1）请你写出这一结论：______，并给出验证过程. （2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC=5，AB=13，求PC的最小值. 【答案】(1) a2+b2=c2;(2)PC的最小值为. 【解析】 【分析】（1）结论：a2+b2=c2，根据三角形、矩形、正方形的面积公式求解即可； （2）根据勾股定理求出BC的长，当CP⊥AB时，PC最短，即可求出PC的最小值． 【详解】（1）结论：a2+b2=c2． 验证：∵四个三角形的面积=4×=2ab， 四个三角形的面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积=（a+b）2-c2， ∴（a+b）2-c2=2ab， 即a2+b2=c2． （2）∵Rt△ABC中，AC=5，AB=13， ∴52+BC2=132， 解得BC=12， 当CP⊥AB时，PC最短， 此时，BC×AC=AB×PC， 即PC==， ∴PC的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的性质是解题的关键． 22. 如图，四边形是平行四边形， 于E． （1）尺规作图：过点C作 于点F．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图－基本作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）由四边形是平行四边形得，，根据 证明得，然后证明四边形是平行四边形可得结论． 根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵ ， ， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在 和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 23. 如图，中， ， 相交于点， ， 分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2）当时，四边形是矩形，理由： 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 24. 如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）用t的代数式表示：______，______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）能， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由题意得到，，根据，即可求出； （2）先证明为平行四边形，当，平行四边形为菱形，由此建立方程求出的值即可得到结论． 【小问1详解】 由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：，; 【小问2详解】 四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 25. 如图， 是正方形外一点，连接交 于点 ．连接 ， ，且． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：平分； （3）如备用图，过点 作于点 ，分别交 ， 于点 ， ，连接，若．求的值． 【答案】（1）．理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，即可证明结论； （2）过点分别作于点 ，作交的延长线于点，证明，得到，再根据角平分线定理的逆定理，即可证明结论； （3）连接 ，先证明，得到，然后证明，得到，即得答案． 【小问1详解】 解：． 理由：， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：过点分别作于点 ，作交的延长线于点， 则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； 【小问3详解】 解：连接 ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平一中2024~2025学年第二学期八年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 4. 如图，四边形 是平行四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 在四边形 中，，添加一个条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍长5米，点P到点O的距离（ ） A. 3米 B. 3.5米 C. 2.5米 D. 5米 8. 如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在的水管，水管 上的点E处安装有红外线感应装置．已知出水口D到点C的距离 为，出水口D到点E的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点，过点P作轴于点A，的平分线交x轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，，，点D是的中点，点E是 边上的动点，E点从B点出发向A点移动，连接 ，过点D作交 于点F，连接 ，下列结论：①；②；③；④ 的最小值是4；⑤四边形的面积先变小再变大．其中正确是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填入答题卡相应的位置） 11. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 13. 如图，正方形 的顶点A在数轴上对应的数为0，以A点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形 的面积为3，则点E表示的数为______． 14. 如图，在 中， ，E为上一点，M，N分别为， 的中点，则的长为 __． 15. 如图， 是平行四边形 的对角线，点在 上，，，则的度数是_____________ 16. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡相应的位置作答） 17. 计算： 18. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形 展区的面积． 20. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将 沿直线 折叠，点A恰好落在边上的点E处，求 和的长． 21. 甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c），可以拼成像如图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式. （1）请你写出这一结论：______，并给出验证过程. （2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC=5，AB=13，求PC的最小值. 22. 如图，四边形 是平行四边形， 于E． （1）尺规作图：过点C作 于点F．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：． 23. 如图， 中， ， 相交于点，， 分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 24. 如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）用t的代数式表示：______，______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 25. 如图，是正方形 外一点，连接交于点 ．连接 ， ，且． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：平分； （3）如备用图，过点 作于点，分别交 ， 于点，，连接，若．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $