精品解析：广东省珠海市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

2024-2025学年第二学期期中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数 ，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知数列是等比数列，若 ，，则的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -2 D. -4 3. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增 C. 函数在 处取得极小值 D. 函数共有两个极小值点 5. 如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足 ，，其前项的积为，则（ ） A. 1 B. -6 C. 2 D. 3 7. 函数，当 时，恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下关于数列的结论正确的是（ ） A. 若数列的前项的和，则数列为等差数列 B. 若数列的前项的和，则数列为等比数列 C. 若数列满足，则数列为等差数列 D. 若数列满足，则数列为等比数列 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在处的导数是______． 13. 已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______. 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、 、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______， ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项 ，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 设 ，，，两个函数的图象如图所示. （1）判断，的图象与，之间的对应关系； （2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若函数有两个零点，求的取值范围 18. 已知函数. （1）若 ，且是增函数，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当 成立，求b的取值范围. 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得 ，则称存在“数列”，其“数列”为 ，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若 恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为 ，证明： 的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数 ，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得. 【详解】由 可得， 则. 故选：B. 2. 已知数列是等比数列，若 ，，则的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -2 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的公比为，利用条件求得，代入通项，即可求得. 【详解】设数列的公比为， 由，解得， 则 故选：A. 3. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【详解】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增 C. 函数在 处取得极小值 D. 函数共有两个极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，判断函数的单调性和极值，对选项逐一判断即得. 【详解】由图知，当或时，， 当或时，， 即函数在 和 上单调递减； 在 和 上单调递增. 对于A，由上分析可知，函数在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，因函数在 上单调递减，在 上单调递增， 故当 时取得极小值，故C正确； 对于D，因函数在 上单调递减，在 上单调递增， 故当时取得极小值，结合C项结果可知，函数共有两个极小值点，故D正确. 故选：B. 5. 如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图①，②，③的雪花图形的作法规律，依次求出，即可求得. 【详解】由图知，， ， ， 故. 故选：C. 6. 数列满足 ，，其前项的积为，则（ ） A. 1 B. -6 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，依次求出，进而确定数列的周期，再结合周期性求解. 【详解】数列中，由，得，而 ， 则，因此数列是周期数列，周期为4，且， 所以. 故选：C. 7. 函数，当 时，恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形恒成立的不等式，分离参数构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】，， 令函数，求导得，当 时，；当 时，， 函数在 上单调递增，在上单调递减，，则， 所以k的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】因为，则， 由，即，可得， 由，即，可得， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数的极小值点为， 将函数所有极小值点从小到大排列成数列， 则，，易知数列为等差数列， 且数列的公差为，则， 因此，. 故选：D . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可. 【详解】对于A：，A选项错误； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项错误. 故选：ABD. 10. 以下关于数列的结论正确的是（ ） A. 若数列的前项的和，则数列为等差数列 B. 若数列的前项的和，则数列为等比数列 C. 若数列满足，则数列为等差数列 D. 若数列满足，则数列为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B，根据数列的前项的和与通项的关系求得数列通项，即可判断；对于C，D，利用等差中项与等比中项的概念，结合数列的项的特征即可判断. 【详解】对于A，由可得， 当时，， 因时满足上式，且，故数列为等差数列，A正确； 对于B，由可得， 当时，， 因时，，故数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，是和的等差中项，故数列为等差数列，故C正确； 对于D，由可知，当都不为0时，是的等比中项，此时数列为等比数列； 但当，且中至少一个为0时，等式成立，但数列不构成等比数列，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数只有极大值没有极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由 ，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定 时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，由 ，可得，解得，所以A正确； 对于B中，由， 令时，可得，当时，或 ， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误； 对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是， 可得函数的大致图象， 所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 其中，当 时，即在区间时，可得，所以D错误. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在处的导数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求导可得，则，求出即可求解. 【详解】由题意知，， 令，得，解得， 所以在的导数为. 故答案为： 13. 已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算，结合条件列出方程组，求出，即得数列通项. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即①， 由 可得，即②， 由① ， ② 联立，解得， ， 故. 故答案为： . 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、 、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______， ______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值，再利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值. 【详解】因为，，则， 且，则， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 由题意可得，解得， ，， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 由题意可得，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项 ，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可； （2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可. 【小问1详解】 证明： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所有， ， ， 作差可得， 所以. 16. 设 ，，，两个函数的图象如图所示. （1）判断，的图象与，之间的对应关系； （2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明. 【答案】（1）答案见解析； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数，的导函数，利用导函数的符号及大小分别判断函数增长的快慢来判断图象. （2）结合图象及（1）的结论，写出不等式并利用导数证明即得. 【小问1详解】 函数，，求导得，， 当时，；当时，； 当 时，，函数，在 上都是增函数， 在区间上，的图象比的图象要“陡峭”； 在区间上，的图象比的图象要“平缓”， 所以函数，的图象依次是图中的，. 【小问2详解】 由（1）及图象知，， 设，求导得， 当时，，当 时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若函数有两个零点，求的取值范围 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间； （2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线 与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ， 函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根， 也即方程有两个不相等的实数根， 即直线 与函数的图象有两个交点， 令，则， 当或时， ，当 时， ， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，，且， 所以，函数的图象大致如图， 则的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若 ，且是增函数，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当 成立，求b的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析可知 ，求出可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得结果； （3）分析可知为的一个解，即可得 ，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 若 时，， 可知的定义域为，且， 若是增函数，即 在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，则，解得 ， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为的定义域为， 且， 所以图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当 成立， 结合（2）所得对称中心，知为的一个解， 即，可得 ，关于点对称， 根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立， 即为在上恒成立， 设，则，得在上恒成立， 设，可知在上恒成立， 则， 因为，则，可得， 当，， 故 恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意； 当，当时， ， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上所述：b的取值范围为. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得 ，则称存在“数列”，其“数列”为 ，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若 恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为 ，证明： 的前项和. 【答案】（1）由 ，得 ， 则 在区间上单调递减，又 ， 当 且时， ，则 的值域为， 所以，令 ，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数 ，使得 ， 即 存在数列. （2） （3）令，则 ， 可得在上单调递增，得到 ， 则 ，即， 可得，故， 而 ，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【解析】 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合 得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 恒成立，即 恒成立. 令 ，即 恒成立. 令 ，则 ， 令 ， ， 则 ，当且仅当时取等号， 则 在区间上单调递减， 得到 ，即 ，故 在区间上单调递增， 可得 ，得到 ，即 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $