精品解析：天津市崇化中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024-2025学年第二学期八年级数学期中阶段监测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的运算法则是解题的关键． 运用二次根式的加减，乘除运算法则逐一判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意；   故选： D． 3. 要使式子有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式、分式有意义的条件，熟知相关知识点是正确解决本题的关键． 根据分母不为零、被开方数不能是负数即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得． 故选：D． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 5. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故原说法正确，不符合题意； B、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法正确，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 6. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 8. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交BC于点E，若，，则的长为（　　） A. B. 9 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 9. 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ） A. 3a＋2 B. ﹣3a﹣2 C. 4﹣a D. a﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件a＜﹣3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项，即可． 【详解】∵a＜﹣3， ∴2a-1＜0，a+3＜0， ∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 12. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）． ①； ② ③四边形是菱形； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数，从而求得；②证得，由即可得；③由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，由、即可得证；④设，先求得，从而知． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得：， ，故①错误． 由折叠的性质可得：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ，故②错误； ， ， 又、， ， 四边形是菱形，故③正确； 设， 四边形是菱形，且， ， ， 又， ， ， ，， ，即， ，故④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：5． 14. 计算的结果是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，正确运用平方差公式计算是本题的关键． 15. 如图，E为□ABCD的边AD上任意一点，□ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得出答案． 【详解】解：设的高为， 阴影部分的高也为 ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查阴影部分的面积求法，掌握三角形与平行四边形面积之间的关系是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 17. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可得，是直角三角形，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，掌握全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 18. 如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，根据DE∥AC，可证△EDN≌△CFN，可得DE = CF，求出DN = FN，FC = ED，得出MN是中位线，再证△CAE≌△BCF，得出BF= CE,即可解题． 【详解】解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图， ∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1， ， ， ， ∵点N为CE的中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点M为BD的中点， 是的中位线， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，勾股定理． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先根据二次根式的乘法、除法法则，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中画出格点△ABC，则BC＝　　； （2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝　　； （3）如图2，点P为AB与网格线的交点，请在网格中画出▱ABCD，并用无刻度的直尺画出过点P且平分▱ABCD的面积的直线PQ（结果用实线表示，其它辅助线用虚线表示）． 【答案】（1）；（2）图见解析，．（3）图见解析． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）利用面积法求解即可． （3）利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：（1）； （2）∵S△ABC＝3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝•AC•BD， ∴； （3）如图，直线PQ即为所求作． 先作出平行四边形ABCD，连接BD交AC于O，连接PO并延长交CD于Q即为所求. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形面积，三角形的高，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21. 如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）55° （2）见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 22. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 23. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. （1）求风筝的垂直高度： （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线? 【答案】（1）风筝的高度为17.62米 （2）他应该再放出米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； 【小问2详解】 解：如图所示：延长至M，连接， 由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴米， ∴他应该再放出米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学期中阶段监测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. D. 9，40，41 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使式子有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交BC于点E，若，，则的长为（　　） A. B. 9 C. D. 12 9. 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ） A. 3a＋2 B. ﹣3a﹣2 C. 4﹣a D. a﹣4 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 12. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）． ①； ② ③四边形是菱形； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 14. 计算的结果是________． 15. 如图，E为□ABCD的边AD上任意一点，□ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 17. 已知：正方形的边长为8，点E、F分别在上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为_____． 18. 如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在5×5正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中画出格点△ABC，则BC＝　　； （2）请用无刻度的直尺画出图1中△ABC中AC边上高BD（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且BD＝　　； （3）如图2，点P为AB与网格线的交点，请在网格中画出▱ABCD，并用无刻度的直尺画出过点P且平分▱ABCD的面积的直线PQ（结果用实线表示，其它辅助线用虚线表示）． 21. 如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 22. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 23. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. （1）求风筝的垂直高度： （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $