精品解析：江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

扬州市新华中学2024-2025学年度第二学期 高二年级数学期中考试试卷 命题、审核：姚耘峰 成云荣 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，结合空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】若，则， 可得，解得. 故选：D 3. 有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 108种 D. 288种 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先排男生共有种方法，再排女生共有种方法， 由分步乘法计数原理可得满足条件的排法数为， 故选：B. 4. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 5. 已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则，，，共面 C. 若，则，，，共面 D. 若，，三点共线，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D. 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 6. 正十二边形的对角线的条数是（ ） A. 56 B. 54 C. 48 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】由任意两点连线的条数，再排除边数可得. 【详解】任意两点连线的条数，再排除边数， 故正十二边形的对角线的条数是. 故选：B. 7. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 8. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由解析式可知，所以函数为奇函数. 恒成立，函数在定义域R上单调递增； 因为，可得， 函数单调递增，所以，即. 设，显然在定义域上单调递增，且， 所以解，得. 所以的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有最小值 D. 有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，计算导数值即可判断A；利用导数求出函数的单调区间及函数的最小值即可判断BC；结合函数的单调性利用最小值大于零即可判断D. 【详解】的定义域为，， 对于A，，错误； 对于B和C，由，得，当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故BC正确； 对于D，由在上单调递减，在单调递增，且的最小值为， 所以无零点，错误． 故选：BC． 10. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同的排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，5个人全排列；对B，相邻问题捆绑法；对C，利用特殊元素法，先安排特殊元素甲，再安排其它人；对D，不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确； 对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确； 对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误； 对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面和平面有相同的法向量 C. 异面直线和的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角、平面法向量及二面角可判断A项、B项、D项；在线段任取一点，在线段任取一点，设，根据空间向量坐标运算可得设，当时，即为异面直线和的距离，从而求得的值，求解，即可得判断C项． 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确； 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以平面和平面有相同法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， 所以， 则 当时，即为异面直线和的距离， 所以，则， 所以，故异面直线和的距离为，故C正确； 对于D：因为， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为______． 【答案】6或8 【解析】 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 14. 若函数存在两个极值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点定义可知为的两根，由可求得，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将化简为，令，利用导数可求得单调性，由此可得的范围，即为所求范围. 【详解】由题意知：的定义域为，， 有两个极值点，为的两根， ，又，解得：；，， ； 令，则， 当时，恒成立，在上单调递减， ，则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，计77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）极小值为，极大值为． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， （2）由导数确定单调性即可解极值. 【小问1详解】 由已知得， 所以． 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，． 令，得， 令，得或， 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为，． 所以有极小值为，极大值为． 16. 如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值 （2）若求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可建立空间直角坐标系，再利用直线与平面向量法即可求解； （2）根据（1）中建立的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用面面角向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意知平面，因为平面，所以，， 又因为为圆柱底面的直径，所以，所以， 所以可以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 所以，，，，，， 因为为中点，为中点，所以，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为，且，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，分类讨论当、时函数的单调性即可求解； （2）由（1）知，原不等式等价于，设，利用导数求出即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ． 若，则当时，，故在上单调递减； 若，则当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在处取得最小值， 所以等价于，即． 设，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，． 从而当时，，即． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． （1）若是R上的自律函数． （ⅰ）求a取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； （2）已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据函数新定义，列式求解，即可得答案；（ii）利用导数判断函数的单调性，求出其函数值情况，即可求得答案； （2）求出的导数以及二次导数，利用导数判断函数单调性，结合函数新定义，即可判断出结论. 【小问1详解】 （ⅰ）因为， 所以，， 因为是R上的自律函数， 所以恒成立，恒成立， 所以 解得，所以a的取值范围是． （ⅱ）当时，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 因，，， 所以若只有一个实根，t的取值范围是． 【小问2详解】 由得，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上不单调，且是及上的自律函数， 得， 则，， 所以时， ， 在上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数． 【点睛】关键点睛：此类是考查函数新定义问题，解答的黄关键是要理解函数新定义的含义，依据新定义结合导数的相关知识，求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2024-2025学年度第二学期 高二年级数学期中考试试卷 命题、审核：姚耘峰 成云荣 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知函数，则（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 108种 D. 288种 4. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 5. 已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则，，，共面 C. 若，则，，，共面 D. 若，，三点共线，则 6. 正十二边形的对角线的条数是（ ） A. 56 B. 54 C. 48 D. 44 7. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 上单调递增 C 有最小值 D. 有两个零点 10. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同的排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面和平面有相同的法向量 C. 异面直线和的距离为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的值为______． 13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 14. 若函数存在两个极值点，则取值范围是__________． 四、解答题（共5题，计77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 16. 如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面直径，，为中点，为中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值 （2）若求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． （1）若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； （2）已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $