广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

雷州市新南方学校九年级期中测试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．实数0，，，3中，最大的数是（    ） A．0 B． C． D．3 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI推出的一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数字亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（    ） 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F，若DP=3，EF=，则PE的长是（　　） 第8题图 第9题图 第10题图 A． B． C．2 D． 9．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 10．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤ (m为任意实数)．期中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．因式分解： = ． 12．如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则 °． 13．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 14．如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为 ． 15．如图，一次函数图像与轴、轴分别交于、两点，将一次函数图像绕点顺时针方向旋转，交反比例函数于点，若，则的值为 ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16．计算：． 17．先化简，再求值：，其中． 18．为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19．如图，中，为中点，连接交对角线于．      (1)求与的面积比； (2)若的周长为，求的周长． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1． (1)求一次函数的解析式． (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)一次函数向下平移个单位，使得平移以后直线与反比例函数只有一个公共点，求的值． 21．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. (1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 五、解答题（13+14，共27分） 22．在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． (1)证明：； (2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； (3)如图3，，点K为平面内一动点，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 23．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接BC，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为2L，的面积为5L，且，请问的长是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雷州市新南方学校九年级期中测试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A B B B A D 1．D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最大的数是3， 故选D． 2．D 【知识点】合并同类项、去括号、同底数幂相乘 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，同底数幂的乘法，根据去括号，合并同类项，同底数幂的乘法的运算法则判断即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 3．B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为整数，确定与的值是解题的关键．根据比原位数少1，据此判断即可． 【详解】解：亿=， 故选：． 4．C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5．A 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】此题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【详解】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低， 从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定， ∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定， 故选：A． 6．B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 故选：B． 7．B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，两个底角相等，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角为， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B ． 8．B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接BP，根据菱形的性质证明△ABP≌△APD，即可得∠ABP=∠ADP，结合平行线的性质可证得∠F=∠ADP=∠ABP，再证明△EBP∽△FBP，根据相似三角形的性质可得PB2=PE•PF．因BP=PD，DP=3，EF=2，由此即可求得PE的长. 【详解】连接BP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠BAP=∠DAP． 又∵AP=AP， ∴△ABP≌△APD， ∴∠ABP=∠ADP， ∵AD∥BC， ∴∠F=∠ADP=∠ABP， 又∵∠BPE=∠BPF， ∴△EBP∽△BFP． ∴ ． ∴PB2=PE•PF． ∵△ABP≌△ADP， ∴BP=PD． ∴PD2=PE•PF， ∵DP=3，EF=2， ∴PE=， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的性质等知识点，本题根据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键． 9．A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．先得出平分，垂直平分，从而可得，，，再求出，从而可得，等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∴， 故选：A． 10．D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线图象综合；根据函数的最值，根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可，由二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，得；可判断①正确；由抛物线开口向上，抛物线与y交负半轴，结合对称轴为直线，可判断②正确；利用对称性解得，可判断③正确；由点均在二次函数图象上，且，可得，可判断④错误；由时函数取最小值，可得；可判断⑤正确． 【详解】∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为， ∴； 故①正确； ∵抛物线开口向上，抛物线与y交负半轴， ∴；， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； 故②正确； ∵，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为和1； 故③正确； ∵点均在二次函数图象上， 且 ∵抛物线开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∴， 故④错误； ∵时函数取最小值， 且 当时， 函数， 故； ∴， 故⑤正确； 故选D． 11．． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12．70 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数． 【详解】解：延长交于点E，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：70． 13．7 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题主要考查了平均数与中位数，熟记相关定义和公式是解题的关键． 先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：∵数据7，5，，9，10的平均数是7， ∴，解得：， 把这些从小到大排列为：4，5，7，9，10， 则这组数据的中位数是：7． 故答案为7． 14．16 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：16． 15． 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，过点作轴于点，先根据一次函数解析式求出、坐标，得到，，，从而得出，再根据，得出，然后求出，再解直角三角形求出，，从而确定出点的坐标，代入反比例函数解析式中即可得出．确定点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵一次函数图像与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 16． 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂和求一个数的算术平方根，掌握运算法则，正确化简计算是解题的关键． 分别进行乘方运算，求算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，再化简绝对值，最后进行加减计算． 【详解】解：     ． 17． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式化简求值．根据题意先计算括号内的，再计算除法即可得到结果，再将代入结果中即可求得本题答案． 【详解】解：， ， ， ， 把代入中得： 18．(1)，； (2)补图见解析； (3)． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； （）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． 【详解】（1）解：本次调查的总人数是人， 估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人， 故答案为：，； （2）解：最喜欢篮球项目的学生有人， ∴最喜欢羽毛球项目的学生有人， ∴补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 19．(1) (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据为中点，可得，根据相似三角形的判定和性质可得； （2）根据相似三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，，， 又∵为中点 ∴ ∴ ∴． （2）∵，且 ∴ ∵的周长为 ∴的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的相似比得到面积比和周长比． 20．(1) (2)或 (3)或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】（1）先利用点在反函数上求点A和点B的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）图形结合分析即可求解； （3）根据图形的平移得出平移后的解析式，再联合反比例函数，得出二元一次方程，根据根的判别式即可求解m的值． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式． （2）∵，， ∴根据图示可得，当或，． ∴不等式的解集为：或． （3）由（1）知， 设平移后的直线为， 联立得， ∴， ∵平移后的直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴， 即， ∴， ∴ ∴，， ∴m的值为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求解析，解二元一次方程组，图形平移的规律，根的判别式的运用是解题的关键． 21．(1) (2)当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元 【知识点】列代数式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值． （1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可； （2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可． 【详解】（1）解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件， 故答案为：； （2）解：设每日获的利润为元， 由题意可得： ， 整理得：， ， 当时，最大，最大值为720， 当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元． 22．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质得， 进而得到，利用即可证明； （2）连接，过点作于点，根据，结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点作于点，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，   在和中， ， ∴； （2）证明：连接，过点作于点，如图： ，， ， ， 同理（1）可得， ， ∵等边中，于点， ∴垂直平分， ， ∴， 由旋转的性质得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：在上取点，使得，连接，如图： 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ， ， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ，即， ， ，， ，即， ， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ， ， 当三点共线，且点在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为：， 过点作于点，如图： 由（2）知垂直平分， ， ， ， ∴此时的面积为： 【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23．(1)； (2)，； (3)是，5． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将代入抛物线解析式得或，因为点A在点B的左侧，所以A( 2a，0)，B(3，0)，再根据，求出，即可得到函数解析式； （2）根据，可由三角形相似得性质得与轴交点坐标，进而求得直线解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立方程组，即可求得点的坐标；同理由对称可求出的坐标； （3）先求出，可知，再证明，得出，所以的值为定值，定值为5． 【详解】（1）解：把代入抛物线， 得或， 点A在点B的左侧 A( 2a，0)，B(3，0) 抛物线的函数表达式为：； （2）由题意得：作，连接与轴交于点，    在与中， ， ， ，与轴的交点，即 ，即， 得 设直线解析式为 将，代入得 解得： 直线解析式为； 点是直线与抛物线的交点， 则 解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去） 将代入得： 点坐标为； 将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点， ，设直线解析式为， 将与代入得 解得： 直线解析式为； 点是直线与抛物线的交点， 则 解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去） 将代入得： 点坐标为； 点的坐标为，； （3）的值为定值，定值是5． ，，点到轴的距离为 和同底 点、到直线的距离相等， ，， ， 的值为定值，定值为5 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，求二次函数解析式、二次函数中相等的角的存在性问题、以及面积问题，属于二次函数综合题，数形结合是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$