精品解析：上海上海师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

上师大附中高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题 1. 已知函数在处可导，且，则________. 2. 曲线在点处的切线方程是 __________． 3. 有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 4. 二项式的展开式中，常数项为______ 5. 今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是_____ 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 6. 某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则___________. 7. 函数的单调减区间是________. 8. 函数，的最小值是________. 9. 记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________. 10. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________. 11. 已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________. 12. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________. 二、选择题 13. 已知事件 和 相互独立，且则（ ） A. B. C. D. 14. 甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（ ） A. 甲组数据的第75百分位数是255 B. 乙组数据的众数是245 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D. 乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 16. 已知偶函数图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 三、解答题 17. 已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. （1）求函数解析式及单调增区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 18. 某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. （1）求顾客摸到均为红球的概率； （2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 19. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 20. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元. （1）求的值； （2）求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式； （3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值. 21. 函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上“函数”，求的取值范围； （3）若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上师大附中高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题 1. 已知函数在处可导，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 2. 曲线在点处的切线方程是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 3. 有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先算2名老师都不站在两端的站法；再算站3名学生的站法，结合分步乘法计数原理解得答案. 【详解】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法， 故不同的站法共有种． 故答案为：. 4. 二项式的展开式中，常数项为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】由题得二项式通项公式为：， 令， 所以二项式的展开式中，常数项为. 故答案为：. 5. 今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是_____ 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 【答案】743 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】个数据按从小到大的顺序排列为： ， 因为， 所以这组黄金价格数据的第 75 百分位数是第九个数据，为. 故答案为：. 6. 某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则___________. 【答案】0.3## 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式即求. 【详解】由题可知：， ∴. 故答案为：0.3 7. 函数的单调减区间是________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 8. 函数，的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 9. 记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________. 【答案】432 【解析】 【分析】 若为偶数对立事件为“为奇数”，即、、全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有种，进而可得所求． 【详解】解：根据题意，，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列， 则共有个排列， 若为偶数的对立事件为“为奇数”， 、、全部为奇数，有， 故则为偶数的排列的个数共有． 故答案为：432． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题． 10. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而确定的具体范围即可. 【详解】，则， 令， . ①当时，恒成立，即在上单调递增， 所以当时，则，当时，则， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，则，若时，则， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，不符合题意； ③当时，使得，即， 但当时，即，在上单调递减， 故，即在单调递减，不符合题意. 综上所述：的取值范围是. 故答案：. 11. 已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，则， 令，所以在上单调递增， 令，所以在上单调递减； 当时，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，上单调递减， 综上可得的单调递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，当时，； 又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，上单调递减。 作出函数的图象如下： 所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，，则， 令可得，所以当时，，为递减函数； 当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故答案为：①③④ 12. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】原方程可化为，令，，即得在有两个不相等的实根，再转化为和，有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可. 【详解】由，可得方程 可化为， 令，， 因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故时，值域为. 方程可化为， 当时，方程可化，不成立， 故，故原方程可化为， 由已知在有两个不相等的实根， 即和，有两个不同的交点. ， 当和时，， 即在上递减，在上递减； 当时，，在递增. 另外，时，；时，； ，当时，， 当，且时，， 当，且时，， 根据以上信息，函数，大致图象如下， 当时，和，的图象有两个不同的交点. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题 13. 已知事件 和 相互独立，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式，相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由事件A与事件B相互独立，得. 故选：C 14. 甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（ ） A. 甲组数据的第75百分位数是255 B. 乙组数据的众数是245 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D. 乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 【答案】A 【解析】 【分析】利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可. 【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字， 而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数， 为，故A错误， 对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次， 则乙组数据的众数是，故B正确， 对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为， 乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件， 从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为， 得到，，而相互独立， 由独立事件概率公式得，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后， 甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确. 故选：A 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 16. 已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】设，对求导，可得： 已知当时，，所以当时，，则在上单调递增. 因为是偶函数，即，那么，所以也是偶函数. 已知，则，由是偶函数可得. 不等式两边同时乘以可得，即. 因为，所以. 又因为是偶函数且在上单调递增，所以. 即或.解得或. 同时要注意，即. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 三、解答题 17. 已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式及单调增区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为和. （2）最大值为4，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据函数取得极值计算参数，再根据导数的几何意义确定参数，从而得出解析式，结合导函数判定单调递增区级即可； （2）利用第一问结论结合端点值及极值确定最值即可. 【小问1详解】 由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，则， 又函数在点处的切线方程为， 则，所以， 单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数的最大值为4，最小值为. 18. 某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. （1）求顾客摸到均为红球的概率； （2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 【答案】（1） （2）、、. 【解析】 【分析】（1）利用组合知识得到； （2）分别计算出四种情况的概率，比较后得到顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由题意知，，， ，， 由于，因此顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、. 19. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数值，再求解平均数即可. （2）利用分层抽样的性质求出每一部分的学生数，再结合古典概型概率公式求解概率即可. （3）结合题意算出新的平均数和，再利用方差公式求解方差即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以， 解得，而设平均分为， 得到， ， 即本次竞赛成绩的平均分为分. 【小问2详解】 若从样本成绩为和的学生中共抽取6人， 且成绩在的人数为人， 在的人数为人， 即从的学生中取人，从中取人， 设这名学生分别为，2人中有来自组的学生的概率为， 则基本事件为， ，共有种基本事件， 符合条件的有，共种， 则，故2人中有来自组的学生的概率为. 【小问3详解】 因为这6个分数的平均数，标准差， 所以这6个分数的平均数为分，， 则，解得， 设新的方差为， ，则这8个分数的方差为. 20. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元. （1）求的值； （2）求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式； （3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】（1） （2） （3）36元，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用条件预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为万件，即可求得； （2）根据一年的利润等于单件产品利润乘以年销售量即可列出函数关系式； （3）利用导数求出函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件 即，解得， 【小问2详解】 【小问3详解】 令，，令， ∴在区间上为增函数，为减函数 即时， ∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为 21. 函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求的取值范围； （3）若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义进行判断即可. （2）根据“函数”的定义，可把问题转化成在上恒成立，再分离参数，得，再分析函数单调性，求函数在上的最大值即可. （3）先根据“函数”的定义求的取值范围，再把问题 “恒成立”转化为“函数在上单调递增”，由导数在大于或等于0恒成立可求的取值范围，进而得到的最大值. 【小问1详解】 因为，所以. 因为当时，， 即时，. 所以对任意恒成立，所以是上的“函数”． 【小问2详解】 ，由题意，得 所以在上恒成立． 设，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 所以，即． 所以的取值范围是． 【小问3详解】 ，由题意，得在上恒成立， 即在上恒成立． 设，， ①若，即，则． ②若，则． ③若，则． 综上所述，． 不妨设，则， 转化为， ． 设，，则在上单调递增． 所以， 由题意得存在，对任意，使得， 所以，又． 所以． 所以的最大值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$