精品解析：湖南省常德市石门县2025年初中毕业模拟考试数学试题

石门县2025届初中毕业模拟考试 数学试题卷 考生注意：1．本科考试时量为120分钟，满分120分； 2．本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3．请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部” 、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度 为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形 中， ， 交于点，分别以点 和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线 ，交于点，交 于点，连接 ，若，的周长为7，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于 的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 10. 如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是      A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数 的取值范围是____________． 12. 分解因式：______． 13. 如图， 与 是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 14. 有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 15. 已知是一元二次方程 的一个解，则代数式的值为___________． 16. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 17. 如图，O是坐标原点，菱形 的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为__________． 18. 如图，直线与轴交于点 ，与 轴交于点，在△ 内作等边三角形，使它的一边在 轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于______． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好 （图中的 、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线 的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离 为 米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管 的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 24. 某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． （1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ （2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 26. 图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）如图，二次函数图象的对称轴与直线 交于点，若点是直线 上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图，点是直线 上的一个动点，过点的直线与 平行，则在直线上是否存在点，使点 与点关于直线 对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门县2025届初中毕业模拟考试 数学试题卷 考生注意：1．本科考试时量为120分钟，满分120分； 2．本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3．请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后两部分重合． 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题关键． 4. 蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部” 、 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部” 点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示蝴蝶两“翅膀尾部” 、 两点的坐标分别为，,找到坐标系，再读出“尾部” 点坐标即可． 【详解】解：该蝴蝶两“翅膀尾部” 、 两点的坐标分别为，,,可建立坐标系如图： 则由图表示蝴蝶身体“尾部” 点的坐标为, 答案选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的坐标的找法，正确确定坐标系是解题关键． 5. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同列方程，即可得解． 【详解】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人， ∴第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：D． 6. 如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 的直径为， ， 由题意得： ，， ， ， 积水的深度， 故选：A． 7. 如图，平行四边形 中，， 交于点，分别以点 和点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线 ，交于点 ，交于点，连接 ，若，的周长为7，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质；先利用基本作图得到 垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，接着利用的周长为7即可求解． 【详解】解：由作法得 垂直平分 ∴ ∵四边形 为平行四边形 ∴ ∵的周长为7， ∴，即， ∴ 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数综合问题；分两种情况讨论：当时，当 时，分别得出两个函数的大致图像，即可求解． 【详解】解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确； 当 时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确 故选：C． 9. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先根据一元二次方程根与系数的关系求得或，再将或代入原方程中利用根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 解得：或， 当时，原方程为：， ，则不符合题意； 当时，原方程为：， ，则符合题意； 综上所述，的值为 ， 故选A． 10. 如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以；时，由图像可知此时，所以；由对称轴，可得；当 时，由图像可知此时，即，将代入可得. 【详解】①根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确. ②时，由图像可知此时，即，故②正确. ③由对称轴，可得，所以错误，故③错误； ④当 时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13. 如图，与 是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与 是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率． 【详解】解：树状图如图所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性， 所以抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为． 故答案为：． 15. 已知是一元二次方程 的一个解，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解一元二次方程 得到，再根据题意将的值代入代数式即可解答．本题考查了利用因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程 的一个解， ∴当 时，， 当时，， ∴代数式的值为， 故答案为：． 16. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．根据题意可得，圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的和，据此求解即可． 【详解】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和， ∴圆心所经过的路程是． 故答案为：． 17. 如图，O是坐标原点，菱形 的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接相交于点E，过点B作轴与点D，利用勾股定理求出的长，判定出，求出 ，的长，利用待定系数法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D， 四边形 为菱形， ，，， ， ，， ， 即， 解得：， ， ， 函数的图象经过顶点B， ， 故答案为：． 18. 如图，直线与轴交于点 ，与轴交于点 ，在△ 内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到 和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当 时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、负整数指数幂及零次幂，先去绝对值、负整数指数幂、算术平方根及零次幂，再进行合并即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到 位置，此时过点 作于点 ，当小球摆到位置时，恰好 （图中的 、 、、 在同一平面上），过点 作于点 ，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又 ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中： ， ， ， ， ． 22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线 的夹角为，倾斜屋顶上的 处到水平线的距离 为 米， 、 、 在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管 的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于G，则四边形是矩形，可得，解 得到，解得得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， 在 中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴安装热水器的铁架水平横管 的长度约为． 23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 【答案】（1）50， 补全条形统计图如下： （2）15，15 （3）220人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体， （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数． 【小问1详解】 解： （人， “捐款为15元”的学生有（人， 【小问2详解】 学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； 【小问3详解】 捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人）， 所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人， 24. 某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． （1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ （2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 【答案】（1）16000元 （2）22500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据利润的表示方法代数求解即可； （2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，， 当一次性销售量为800千克时利润为16000元； 【小问2详解】 一次性销售量时， 销售价格为， ， ，， 当时，有最大值，最大值为， 一次性销售量时的最大利润为22500元． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得结论； （3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴； 【小问3详解】 由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴ ， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 26. 图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）如图，二次函数图象的对称轴与直线 交于点 ，若点是直线 上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图，点是直线 上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点 与点关于直线 对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2）； （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次 函数 ，即可； （2）根据二次函数求出点 ，可求出对称轴设直线 的解析式为：，求出直线 的解析式，则求出点 坐标，过点作的平行线，当点与二次函数 有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点 作 轴交轴于点，过点作 轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点 与点关于直线 对称，则，，，推出， ；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是， 的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 ∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 ∵ 与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线 的解析式为：， ∴， ∴ ， ∵点 在直线 上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数 有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数 有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点 作 轴交轴于点，过点作 轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵点 与点关于直线 对称 ∴，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接， 交点为点， ∴点是， 的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是， 的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $