精品解析：甘肃省武威市凉州区凉州区金塔、和平九年制学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 当时，下列式子没有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 3. 下列计算正确的有（ ）个 ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.6，0.8，1 D. 9，12，15 5. 如图，在Rt中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A. B. C. D. 6. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 7. 如图，在中，已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，的两条对角线交于点O，那么图中全等三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 9. 正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ） A. 对边互相平行 B. 对角线互相垂直平分 C. 是中心对称图形 D. 有条对称轴 10. 如图，菱形的对角线的长分别为2和5，P是对角线上任一点（点P不与点A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 不确定的 二、填空题（共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是___________． 12. 计算：______． 13. 已知， ，则代数式的值是______． 14. 如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为_____． 15. 四边形中，，，则四边形的面积是_______． 16. 如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______． 17. 在中，斜边上的中线和高分别为，，则的面积等于______． 18. 如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ____________________ ． 三、解答题（共66分） 19. 如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 计算： （1） （2） 21. 已知：，分别求下列代数式的值： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知：如图，在中，，平分交边于点，，，垂足为为中点，与、分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知：如图所示，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 26. 在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点． （1）试判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，求四边形的面积． 27. 已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证： （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 当时，下列式子没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 根据分式的分母不能为0、二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、当时，，此式子有意义，此项不符题意； B、当时，的分母，此式子没有意义，此项符合题意； C、当时，，此式子有意义，此项不符题意； D、当时，的分母，此式子有意义，此项不符题意． 故选：B． 2. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法等知识，掌握“夹逼法”是解题的关键． 先计算，然后利用“夹逼法”判断估计出的值应在和之间，即可得出结论． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式的值在1和2之间， 故选：B． 3. 下列计算正确的有（ ）个 ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法，算术平方根与立方根，解题的关键是根据算术平方根的意义，二次根式加法的运算法则与立方根的意义依次进行判断即可． 【详解】解：①，故原计算不正确； ②，故原计算不正确； ③，故原计算正确； ④，故原计算正确； ⑤，故原计算不正确； ∴计算正确的有个． 故选：C． 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.6，0.8，1 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件．根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、0.6，0.8，1不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在Rt中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 6. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、， 设，，， ， ， ，，， 不是直角三角形，符合题意． B、，，， ，即, 为直角三角形．不符合题意； C、， ， ， ， ， 为直角三角形．不符合题意； D、， ， ， 为直角三角形．不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 故选：A ． 8. 如图，的两条对角线交于点O，那么图中全等三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质的运用，解题的关键是掌握平行四边形的性质，应从边、角、对角线三个方面研究．根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：是平行四边形， ，，，， ，， ，， ，， ，， 共有4对． 故选：D． 9. 正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ） A. 对边互相平行 B. 对角线互相垂直平分 C. 是中心对称图形 D. 有条对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正方形和菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意； B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意； C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，菱形的对角线的长分别为2和5，P是对角线上任一点（点P不与点A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】解：设与相交于O点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积等于的面积； ∵的面积等于菱形的面积的一半， 而菱形的面积， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知， ，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，掌握因式分解的方法，二次根式的加减运算是解题的关键．先利用平方差进行因式分解，则变形为，然后把，分别代入进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为： 14. 如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，角平分线的性质，由翻折可得为的角平分线，则，利用勾股定理求出，由求解即可． 【详解】解：由翻折可得为的角平分线， 作于点，则， 在中，由勾股定理得， ，， ， 又， ， ． 故答案为：． 15. 四边形中，，，则四边形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：． 16. 如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题． 此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：． 又∵， ∴E、D分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 则的周长为： ， 由，得的周长为30， 故答案为：30． 17. 在中，斜边上的中线和高分别为，，则的面积等于______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边上的中线性质可得斜边长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，斜边上的中线为， 斜边， 斜边上的高为， 的面积， 故答案为：． 18. 如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点的运动轨迹是本题的关键．过点作于，过点作，由“”可证，可得，可得点在平行且到距离为1的直线上运动，则当与重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当与重合时，有最小值，此时， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图—作已知直线的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 作的垂直平分线交于点E，结合垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，可得，易知，结合，即可获得答案． 【详解】略 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 21. 已知：，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内的部分，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． ． 23. 已知：如图，在中，，平分交边于点，，，垂足为为中点，与、分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵,平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 在中，， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，是等腰直角三角形，则，，再证，得到，即可求解； （2）如图所示，连接，运用等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质得到，，在中由勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的运用，掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的运用是关键． 24. 已知：如图所示，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义推出，进而得到，，推出，根据同角的余角相等，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形．解题的关键是掌握相关知识点，并灵活运用． 25. 如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 【答案】（1） 证明：， ，， O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用全等三角形的判定和性质证明即可解决问题； （2）证明四边形是菱形，由勾股定理求出，利用菱形的面积公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是菱形， 即：， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 设点D到的距离为h ，，四边形是菱形 ， ， ， 由得， 解得． 26. 在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点． （1）试判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形为矩形，证明如下， ∵点是中点， ， 在和中， ∵在等腰三角形中，点是中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， 为矩形； （2）60 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求矩形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等腰三角形的性质和给出条件，证明得出对应边相等，先得出四边形为平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形可得； （2）利用勾股定理求出的长，利用矩形面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点是中点， 在中，由勾股定理得， , ∴四边形的面积为． 27. 已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证： （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中，  ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $