精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

**基本信息** 八年级数学期中试卷覆盖二次根式、勾股定理、四边形等核心内容，以赵爽弦图、旗杆测量等情境融合几何直观与推理能力，凸显数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|二次根式有意义条件、勾股定理逆定理、平行四边形判定|第4题赵爽弦图渗透文化传承，第7题网格线段构成直角三角形考查空间观念| |填空题|6|直角三角形中线、菱形面积、圆柱表面最短路径|第16题蚂蚁蜂蜜问题结合立体图形展开，培养抽象能力与应用意识| |解答题|7|四边形证明、折叠变换、正方形综合探究|第24题矩形折叠综合几何与代数，第25题正方形性质探究发展推理能力与创新意识|

八年级数学学科 一、选择题： 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键． 2. 下列线段不能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，6，8 C. 5，12，13 D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】先求两小边的平方和，最长边的平方，再看看是否相等，即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴以4，6，8为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C．∵， ∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴以2，3，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3. 如图，数轴上点A表示的数为a，则a的值是（　　） A. +1 B. ﹣ C. ﹣1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴−1到A的距离是，那么点A所表示的数为：−1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离． 4. 如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积=正方形的面积，求4的算术平方根即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的面积＝正方形的面积， ∴正方形的边长＝1， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 5. 如图，菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质；根据中位线的性质得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴ ∴菱形的周长为， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，对角线交于点，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，进而求出，根据矩形性质证明，推出，即可求出答案． 【详解】解：设，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形是矩形， 相等且互相平分， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，关键是求出，明确本题中所含的四个等腰三角形． 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有，，，四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】先运用勾股定理计算出四条线段的平方，在每个选项中：把三条线段的平方按大小排序．若两个小数之和不等于最大的数，则不能构成直角三角形，该选项错误；若较小的两数之和等于最大的数就能构成直角三角形，该选项正确． 【详解】由题意可得， ， ， ， 对于A选项，∵ 20+8≠25 ∴，，三条线段不能构成直角三角形． 对于B选项，∵ 20+5=25 ∴，，三条线段能构成直角三角形． 对于C选项，∵ 5+8≠25 ∴，，三条线段不能构成直角三角形． 对于D选项，∵ 5+8≠20 ∴，，三条线段不能构成直角三角形． 综上讨论只有B选项中三条线段能构成直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．运用勾股定理计算长度时，要分清直角边和斜边，计算斜边用平方和，计算直角边用平方差；运用勾股定理的逆定理时，先把三角形三边按大小排序，再看最大边的平方是否等于较小两边的平方和，若相等则构成直角三角形，否则不构成直角三角形． 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 【答案】C 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意； ∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥CB， ∵∠ABD=∠BDC， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9. 如图，在中，点是上一点，连接，，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先在△CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到△CDB为直角三角形，所以∠CDB＝90°，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AD的值，从而求出AB＝AD＋DB＝4. 【详解】解：在△CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝， ∴ BC2＝CD2＋DB2， ∴△CDB为直角三角形， ∴∠CDB＝90°，∠ADC=90° 在Rt△ADC中，由勾股定理可得， ∴AB＝AD＋DB＝4 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的应用方法是本题的解题关键. 10. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（　　） ①当时，它是菱形； ②当时，它是菱形； ③当时，它是矩形； ④当时，它是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐一判断各项即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误， 当时，它是菱形，故②正确， 当时，它是矩形，故③正确， 当时，它是矩形，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ） A. 有最大值a B. 有最小值 C. 是定值 D. 是定值 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作，利用，即可得解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∵在矩形中，，， ∴， ∵ 即：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段．熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的长度是解题的关键． 12. 如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由余角的性质可得，即，故①正确；由正方形的性质可得，，可得，可证，故④正确；先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证，可得，则，故③正确；通过得到，即可判断②，通过不妨设，最终算出，，比较即可判断⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，为的中点， ， ， ， ， ，故①正确； 为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ， ， ， 不是等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，故④正确； ， 四边形是平行四边形， ，； ， ∴， 平分， ， 又， ， ， ，故③正确； ∵ ∴ 不妨设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误， 故正确的有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，灵活应用知识点间的联系是解题的关键． 二、填空题： 13. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分当和是两条直角边时，当是斜边时两种情况，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当和是两条直角边时， 由勾股定理知，斜边为， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为； 当是斜边时， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为， 综上可知斜边上的中线长等于或， 故答案为：或． 14. 计算：_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、平方差公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 由二次根式的乘法运算、平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 15. 如图，已知菱形的周长为，两个邻角与的比是，则这个菱形的面积是__________． 【答案】8cm2 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据菱形的性质可得AB＝AD＝4，∠A＝45°，再根据勾股定理可得DE＝2，进而可求菱形的面积． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵菱形ABCD的周长为16cm， ∴AB＝AD＝BC＝DC＝4（cm）， ∵两个邻角∠A与∠B的比是1：3， ∴∠B＝3∠A， 又∵∠A＋∠B＝180°， ∴∠A＋3∠A＝180°， ∴∠A＝45°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝45°， 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得 AE＝DE＝AD＝2（cm）， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝4×2＝8（cm2）． 故答案为：8cm2． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接． （1）线段的长为_________； （2）若F为的中点，则线段的长为_________． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解； （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ∴在中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长到点G，使，连接，过点E作于点H， 为的中点，A为的中点， 为的中位线， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为______． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 如图所示，四边形即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理，正方形的性质，平移的性质． （Ⅰ）根据勾股定理可求线段的长； （Ⅱ）平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）作法：平移线段得到，取线段上找到格点，以为边作正方形，连接并延长交于点，则，再平移线段得到，延长交于点，则四边形为平行四边形且 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简． （1）先化简各数，计算乘法，分母有理化，再合并； （2）根据二次根式的运算法则化简计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图，四边形中，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长和四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形； （2），． 【解析】 【分析】（1）在中，可求得，结合条件“对角线相互平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案． 本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，且， ∴． 21. 今年的耀华数学节，老师布置了一项任务，要求数学小组成员们测量学校旗杆的高．成员发现旗杆上的绳子垂到地面还多了米．现把绳子拉直，让下端刚好接触地面，此时绳子下端距旗杆底部米，求耀华中学旗杆的高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，根据勾股定理列出方程是解题关键． 设的长是m，则的长是，在中，由勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：如图，表示旗杆，表示拉展的绳子， 设的长是m，则的长是， 根据题意得：， 在中 ， ∴ 解得：， 答：旗杆的高是． 22. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：， ，， 分别是的平分线， ，， ，， 和是等腰三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】先利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行等量代换，证出两组等腰三角形，推导出一组对边平行且相等，判定四边形为平行四边形；最后结合一组邻边相等，证得该平行四边形是菱形． 【详解】略 23. 如图，点D、E是两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数； （2）连接CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角形中位线定理可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质、角的和差即可得； （2）根据题意画出图形，并连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形是矩形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可得． 【小问1详解】 解：是的两直角边， ， ， 点分别是的中点， ， ， ， 即的度数为． 【小问2详解】 解：由题意画出图形，连接， 点分别是的中点，且， ， 同理可得：， ， 四边形是平行四边形， 由（1）已得：， 平行四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； （3）若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 【答案】（1），点的坐标为 （2），其中t的取值范围是 （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【小问1详解】 在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； 【小问3详解】 3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等． 25. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形： （2）求的值． （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得，即可解决问题； （3）根据题意，分两种情况分析：当线段与夹角为时，即，当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，结合图形分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，当线段与夹角为时，即， ∴， 如图所示： 由（1）得， ∴， ∴； 当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F， ∴， 如图所示： ∴， ∴； 综上可得：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科 一、选择题： 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列线段不能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，6，8 C. 5，12，13 D. 2，3， 3. 如图，数轴上点A表示的数为a，则a的值是（　　） A. +1 B. ﹣ C. ﹣1 D. 4. 如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 6. 如图，在矩形中，对角线交于点，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有，，，四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 9. 如图，在中，点是上一点，连接，，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（　　） ①当时，它是菱形； ②当时，它是菱形； ③当时，它是矩形； ④当时，它是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ） A. 有最大值a B. 有最小值 C. 是定值 D. 是定值 12. 如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题： 13. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 14. 计算：_________ 15. 如图，已知菱形的周长为，两个邻角与的比是，则这个菱形的面积是__________． 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接． （1）线段的长为_________； （2）若F为的中点，则线段的长为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （Ⅰ）线段的长为______． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，使四边形为平行四边形，点D在线段上，且，简要说明点D，E的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2） 20. 如图，四边形中，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长和四边形的面积． 21. 今年的耀华数学节，老师布置了一项任务，要求数学小组成员们测量学校旗杆的高．成员发现旗杆上的绳子垂到地面还多了米．现把绳子拉直，让下端刚好接触地面，此时绳子下端距旗杆底部米，求耀华中学旗杆的高． 22. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接，求证：四边形是菱形． 23. 如图，点D、E是两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数； （2）连接CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长． 24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； （3）若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 25. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形： （2）求的值． （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $