高一暑假自主预习检测试卷（暑假测试）新高一年级数学人教A版

**基本信息** 聚焦人教A版必修第一册核心内容，通过主动降噪耳机声波分析、新能源汽车利润计算等真实情境题，融合函数性质、三角函数、集合运算等知识，实现基础巩固与应用能力的衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|命题否定、三角函数解析式、函数奇偶性与周期性等|第4题以主动降噪耳机为情境考查三角函数相位，体现数学眼光| |填空题|3题15分|三角求值、函数零点、声音强度计算|第14题结合声音等级公式考查对数运算，培养数据观念| |解答题|5题77分|集合运算、三角函数性质、分段函数图像、利润函数建模、奇函数单调性证明|第18题新能源汽车利润问题，综合考查函数建模与最值求解，发展应用意识|

暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教A版 2019，必修第一册 。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 5．设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．4 D．6 6．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 8．如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”，给出下列函数：①；②；③；④以上函数是“函数”的所有序号为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 11．因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的图象关于轴对称 C．当时， D．方程有四个不同的实根 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．值是_________． 13．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为____________ 14．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的______倍. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）若，求的值. 17．已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图像简单说明，求不等式的解集； 18．中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 19．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教A版 2019，必修第一册 。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，总有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断即得. 【详解】命题，都有是全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以命题的否定为：，使得. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出. 【详解】， . 故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 4．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案. 【详解】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 5．设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和周期性即可求解. 【详解】因为的周期为2，所以且， 又为奇函数，所以，， 由周期知，故，故． 故选：A 6．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可. 【详解】当， 又，∴，充分性成立， 反过来，不妨取，，，，则， 但且不成立，故必要性不成立． 故选：A. 7．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 8．如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”，给出下列函数：①；②；③；④以上函数是“函数”的所有序号为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意由所给条件利用函数单调性定义可得函数是定义在上的增函数，再由导数对各函数进行判断即可. 【详解】因为对于任意给定的不等实数，不等式恒成立， 所以不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的增函数． ①，导函数存在变号零点，即函数在定义域上不单调，不合题意； ②，，函数单调递增，满足条件． ③为增函数，满足条件． ④当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件． 综上，满足“函数”的函数为②③， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确， 对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误， 对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确， 对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误， 故选：AC 10．若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】A,B,C通过均值不等式求解，D通过三角换元求解. 【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误. 选项B，，所以，正确. 选项C，因为，所以，解得， ，当且仅当时等号成立，但此时无法取到， 所以，即，错误. 选项D，令，，由，，可知，， 得，，由题意得，设，，， ，，，所以D正确. 11．因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的图象关于轴对称 C．当时， D．方程有四个不同的实根 【答案】BCD 【分析】根据函数有意义的条件，直接求得定义域即可判定A；根据偶函数的定义即可判定选项B；根据自变量的取值范围，可求得函数的值域，继而可以判定C；把方程根的个数转化函数的交点个数，画出函数图象即可判定D. 【详解】令得，， 故函数的定义域为，故A错误； 函数的定义域关于原点对称，且， 则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 当时，， 所以，所以当时，，故C正确； 方程，可化为， 设函数，其定义域为， 且满足，则其为偶函数； 考虑到也为偶函数，所以考查且情况即可， 当且时，，， 可画出两个函数的图象 由图可知两个函数有四个交点，即方程有四个不同的实根， 故D正确， 故选：BCD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．值是_________． 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：-2 13．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为____________ 【答案】4 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故答案为：4 14．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的______倍. 【答案】 【分析】根据所给声音强度与声音的等级的函数关系求解. 【详解】由，即，可知， 声音强度， 设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为， 故强度之比， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，{或} (2) 【分析】（1）利用交集、并集和补集的运算求解； （2）由得到，按照和两种情况讨论求解，当时，由利用子集的定义得到的不等式组解出的值即为所求. 【详解】（1）集合，当时，， ， 或，或. （2），， 当时，，即时，满足， 当时，，即时，由，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 16．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2），；（3）. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为，再利用正弦函数的周期公式求解； （2）利用正弦函数的性质，令，求解； （3）由，得到，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】（1）， ， ， ∴. （2）令，. 解得：，， 增区间是，. （3）∵， 则，， ∴， . 17．已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图像简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图像简单说明，求不等式的解集； 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出，作出函数图象即可； （2）根据图象平移动直线即可得到答案； （3）作出直线，求出交点坐标即可得到解集. 【详解】（1）点在函数的图象上，，则， 则函数的图象如图所示． （2）方程等价于， 与的图像交点为两个，则由图知. （3）从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分， 令和，解得和2， 则直线与函数交点分别为，， 则由图知不等式的解集为. 18．中共中央政治局会议提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措. 2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元）， 由市场调研知，若每百辆车售价500万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元） 关于年产量x（百辆） 的函数关系式； (2)当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大? 并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 【分析】（1）根据收入总成本求解即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可. 【详解】（1）由题意知利润收入总成本， 所以利润， 故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为 . （2）当时，， 故当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号； 综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元. 19．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)对，恒成立，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设，则，即， 所以函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）应用单调性的定义证明单调性； （3）问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得. 【详解】（1） 因为是奇函数，故有，且时，， 当时，，则，所以， 因此函数在时的解析式为； （2）略 （3） 因为，所以， 因为，代入得， 由（2）得在上单调递增，则恒成立， 即恒成立，令，， 令，所以，则的最大值为， 因此，所以的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $