精品解析：2025年辽宁省葫芦岛市兴城市九年级中考一模数学试卷

2025年兴城市初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线 顶点坐标为 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗系统是由 卫星、卫星和卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，卫星的轨道高度约为21500000米，将21500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心 对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 矩形 中，，，延长BA到点，使 ，连接，交于点，连接，则 的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 8. 点和点在直线 上，过点作轴，垂足为点 ，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．现有一个液体沙漏，其结构为两部分完全相同的圆锥体倒扣组成，截面示意图如图1所示，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，数据如图所示，此时 的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，点，点， 与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图， 为直径，弦交半径于点，连接，若，则 的度数为______． 14. 若关于的一元二次方程的两根分别是， ，则抛物线的对称轴是__________． 15. 如图， 中，， ， ， ，分别以点A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交 于点，以点为圆心，为半径作弧，交 于点，连接，则的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. “天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的 倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． （1）求套装的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 18. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高： ），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 19. 春节期间，电彩《哪吒之魔童闹海》在各大影院精彩上映．某影院每日的运营成本为2000元，该影院每日售出的电影票数量y（张）与售价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系； （2）该影院将每张电影票售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面 ，靠背以及支架和组成，其中座面 与地面 平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）． （1）求座面 与地面 的距离； （2）求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号） 21. 内接于，的延长线交 于点，交于点，连接， 平分 ，过点作 ，，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若， ，求的长度． 22. 如图， 中，．将 沿 翻折，点落到点处，过点作 ，交的延长线于点H， ，垂足为点，点在线段上， ，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，连接，若 ． ①求证： ； ②求 的长度． 23. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点 旋转180°后得到的点，称是关于点 的“对称关联点”，且满足，． 对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点 的“对称关联函数”． 例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数． （1）已知点，当 时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________． （2）若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出 的值． （3）当 时，二次函数的图象顶点为A，关于点 的“对称关联函数”的图象顶点为． ①若，求的值； ②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年兴城市初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线 顶点坐标为 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于，负数小于，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可求解，掌握有理数大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于， ∴最小的数在和中， 又∵，而两个负数绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 2. 北斗系统是由 卫星、卫星和卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，卫星的轨道高度约为21500000米，将21500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故选：B． 3. 如图是由5个相同正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图．根据简单组合体的三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：这个组合体的主视图是： 故选：C． 4. 大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心 对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确． 故选D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意； B. ，选项计算错误，不符合题意； C. ，选项计算正确，符合题意； D. ，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有8种，李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种， 则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为． 故选：C． 7. 矩形中，，，延长BA到点，使 ，连接，交于点，连接，则 的面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此 ，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 8. 点和点在直线 上，过点作轴，垂足为点 ，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．先求出直线的解析式 ，由轴，垂足为点 可知点B的纵坐标为2，代入解析式求出即可求解． 【详解】解：∵点在直线 上， ∴ ∴， ∴ ， ∵轴，垂足为点 ， ∴点B的纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故选A． 9. 沙漏在古代不仅是一种实用的计时工具，承载着古人对时间的精准把握和对生活的有序安排，更蕴含着古人对时光流逝的哲思．现有一个液体沙漏，其结构为两部分完全相同的圆锥体倒扣组成，截面示意图如图1所示，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，数据如图所示，此时的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点E作 于点，交于点，由，则可证明，，则，所以，根据题意求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图2，作 于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ， 由图1和图2可知，， ， 故选：A． 10. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴4-2x≥0， ∴x≤2． 故答案为：x≤2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 13. 如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，可得，进而由可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的两根分别是， ，则抛物线的对称轴是__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为， ， ∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5． ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线． 15. 如图，中，， ， ，，分别以点A，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，设直线交于点G，连接，，由由作图可得是的垂直平分线，从而证得，根据相似三角形的性质求出，根据作图有，根据等边对等角及三角形的内角和求得 ，得到，从而点A，C，F，D四点共圆，因此，则 ，在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ，， ∴， ∵，， ∴． 设直线交于点G，连接，， ∵由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由作图可得， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，即 ， ∵， ∴点A，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线与作线段等于已知线段，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含零次幂，绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂等实数的运算，分式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据零次幂，绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂进行计算，再进行加减计算即可； （2）根据分式的混合运算，先计算除法，再计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. “天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． （1）求套装的单价分别是多少元？ （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 【答案】（1）款套装的单价为元，款套装的单价为元； （2）个 【解析】 【分析】（）设款套装的单价为元，则款套装的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买款套装个，则款套装为个，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款套装的单价为元，则款套装的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款套装的单价为元，款套装的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买款套装个，则款套装为个， 由题意得，， 解得， 答：学校最多可以购进个款套装． 18. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高： ），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）6 （2）83 （3）45人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图的相关知识，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据其他等级的所占的百分比为 求出调查的总人数，再根据合格的百分比为即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵体育成绩在合格的人数所占的百分比为 ∴其他等级的所占的百分比为 ∴总人数人， ∴所抽取的学生中体育成绩为合格的人数人； 【小问2详解】 解：20个人中位数是第10和第11个人成绩的平均数， 即中位数是分， 故答案为：83； 【小问3详解】 解：七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数人． 19. 春节期间，电彩《哪吒之魔童闹海》在各大影院精彩上映．某影院每日的运营成本为2000元，该影院每日售出的电影票数量y（张）与售价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系； （2）该影院将每张电影票售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）该影院将每张电影票售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设y与x之间的函数关系为，由图知，过点，，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天获得的利润每天的营业额 每日的运营成本”建立利润与售价x的函数关系式，再结合二次函数的最值情况求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系为， 由图知，过点，， ， 解得， y与x之间的函数关系为； 【小问2详解】 解：影院每日的运营成本为2000元， 每天获得的利润 ， ， 该影院将每张电影票售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 20. 爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）． （1）求座面与地面的距离； （2）求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形． （1）过点作 于点，根据求解，即可解题； （2）过点作于点，延长交延长线于点，证明四边形为矩形，求出，再根据求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 解：过点作 于点， ，， ， 座面与地面的距离为； 【小问2详解】 解：过点作于点，延长交延长线于点， 座面与地面平行， 于点， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ． 21. 内接于，的延长线交于点，交于点，连接，平分 ，过点作 ，，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若， ，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ， ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而由，即得，得到，进而得，由根据平行线的性质得 ，得 ，即得，即得到，即可求证； （）过点作 于，过点作的延长线于，可得，由四边形是正方形得 ，即得 ，再由得，，进而由得，最后利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于，过点作的延长线于， 则，， 由（）得，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作 ，交的延长线于点H， ，垂足为点，点在线段上， ，连接． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，连接，若 ． ①求证： ； ②求的长度． 【答案】（1） 证明：，沿翻折，点落到点处， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ； （2）①证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）结合翻折的性质证明 ，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）①根据题意证明 ，进而得到 ，再进行等量代换，并结合等腰三角形性质，即可证明 ； ②过点作 于点，结合叠的性质推出 ，利用等腰三角形性质得到 ，再证明四边形 为矩形，得到 ，设 ，得到 ，结合勾股定理得到，据此建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②过点作 于点， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得 ， 解得 或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，矩形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 23. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点 旋转180°后得到的点，称是关于点 的“对称关联点”，且满足，． 对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点 的“对称关联函数”． 例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数． （1）已知点，当 时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________． （2）若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出的值． （3）当 时，二次函数的图象顶点为A，关于点 的“对称关联函数”的图象顶点为． ①若，求的值； ②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） ； （3）①或；②的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）根据“对称关联点”的定义求解即可； （2）根据“对称关联点”的定义得，再利用待定系数法求解即可； （3）①根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，再利用两点之间的距离公式求解即可； ②求得是关于点的“对称关联函数”，，分四种情况讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ，， 根据“对称关联点”的定义，， 这里 ， ， ， ∴ ，， ∴点关于点的“对称关联点”的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， 根据“对称关联点”的定义得，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：①当 时，点， 对于二次函数， 其顶点坐标为， 根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，即， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或； ②点关于点的“对称关联点”为点，， 是关于点的“对称关联函数”，， 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得 ； 当经过点时，，解得 ； 当经过点时，，解得； 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，正确理解“对称关联点”和“对称关联函数”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $