精品解析：江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

2025年春学期初中期中质量监测卷 初一数学 注意事项： 1．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，那么、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 3 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平移前后两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B. 旋转前后两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C. 成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D. 成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当点恰好落在边上时，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，求的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 9. 在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（ ） A. 1秒或9秒 B. 9秒或11秒 C. 1秒或3秒或9秒 D. 3秒或9秒或11秒 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第17题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 最薄金箔的厚度为，用科学记数法表示为________． 12. 计算的结果是________． 13. 已知，，则的值为______________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，若，则_____． 15. 若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m＝__． 16. 实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放： 方式1：将B放在A的内部，得甲图； 方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图． 问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________． 17. 在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为_____千个；由上述计算可知，若（为正数），则_____． 18. 如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到结果为． （1）求这个多项式； （2）请你帮助小明计算正确的结果． 22. 如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． （1）请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； （2）请画出以点为对称中心的对称图形； （3）与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 23. 张老师黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式解答下列问题． 观察以下算式： ①； ②； ③； …… （1）请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：_____； （2）设两个连续偶数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是4的倍数． 24. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似，例如计算： ；． （1）填空： _____； _____； （2）已知，求的值． 25. 教材呈现：如图是2024苏科版七年级下册数学教材第59页的部分内容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． 如图①，直线是线段的垂直平分线，是直线上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，即． 尺规作图：在图②中，作边，的垂直平分线，，交点为（不写过程，保留作图痕迹）； （1）若，则直线，夹角的度数为_____； （2）若，求直线，所夹锐角的度数（用含的代数式表示）． 26. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期初中期中质量监测卷 初一数学 注意事项： 1．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法逐项判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项符合题意； C． 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D． ，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式化简，即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 4. 已知，，，那么、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，比较有理数大小，先根据负整数指数幂的法则求出的数值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； ∴； 故选C． 5. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：设， ∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点与点的距离为． 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平移前后的两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B. 旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C. 成轴对称两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D. 成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形，中心对称图形，正确把握相关性质是解题关键．根据平移的性质，旋转的性质，轴对称图形，中心对称图形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、平移前后的两个图形中，所有对应点的连线均平行（或在同一直线上）且相等，故该选项错误； B、旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，故该选项正确； C、成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分，故该选项正确； D、成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分，故该选项正确； 故选：A． 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当点恰好落在边上时，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的旋转可得，根据等边对等角可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故选项B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的旋转，等边对等角，熟练掌握以上性质是解题的关键． 8. 已知，求的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法以及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解能力．观察题目，对已知条件根据完全平方公式进行整理得，结合非负数的性质可得， 从而求出x和y的值，接下来将其代入即可解答． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 10. 将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（ ） A. 1秒或9秒 B. 9秒或11秒 C. 1秒或3秒或9秒 D. 3秒或9秒或11秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为3秒或9秒或11秒， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第17题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000091m用科学记数法表示为. 故答案为. 【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键. 12. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方，熟练掌握相关法则是解题的关键．根据题意可以得到，即可得到答案． 【详解】解：计算的结果是：， 故答案： 13. 已知，，则的值为______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握（其中m，n是正整数）是解题的关键． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，若，则_____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 15. 若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m＝__． 【答案】±6 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵9x2+mx+1是关于x的完全平方式， ∴m＝±6， 解得：m＝±6， 故答案为：±6． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放： 方式1：将B放在A的内部，得甲图； 方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图． 问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．设正方形A，B的边长各为a、b（），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为 ，可得，可得，进而求得a与b的值即可求解． 【详解】解：设正方形A，B的边长各为a、b（）， 得图甲中阴影部分的面积为 解得或（舍去）， 图乙中阴影部分的面积为， 可得， 解得或（舍去）， 联立得 ，解得 ， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为13， 故答案：13． 17. 在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为_____千个；由上述计算可知，若（为正数），则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出． 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 18. 如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积计算，垂线段最短，先求出，由旋转的性质可得；连接，根据，得到当最小时，最小；由垂线段最短可得当时，最小，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，连接， ∵， ∴当点D在上时，有最小值，最小值为， ∴当最小时，最小； 如图所示，当时，最小， 此时有， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法，积的乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；22 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． （1）求这个多项式； （2）请你帮助小明计算正确的结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，整式的加减混合运算．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （2）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可． 【小问1详解】 解：多项式 ； 【小问2详解】 解： ． ∴正确的计算结果是． 22. 如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． （1）请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； （2）请画出以点为对称中心的对称图形； （3）与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【答案】（1）见解析，6 （2）见解析 （3）是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，中心对称的性质，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移规律找到点，再依次连接得，运用割补法进行列式计算得线段扫过的面积，即可作答． （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答． （3）观察与，得出与是成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 连接 ∴线段扫过的面积， 则 在平移的过程中，线段扫过的面积为， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：是，对称中心如图． 23. 张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式解答下列问题． 观察以下算式： ①； ②； ③； …… （1）请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：_____； （2）设两个连续偶数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是4的倍数． 【答案】（1） （2）；见解析 【解析】 【分析】本题主要查了平方差公式： （1）直接根据规律解答，即可； （2）利用平方差公式解答，即可． 【小问1详解】 解：第④个算式：； 故答案为： 【小问2详解】 解：两个连续偶数，的平方差为： 故两个连续偶数的平方差是4的倍数． 24. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似，例如计算： ；． （1）填空： _____； _____； （2）已知，求值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，读懂题意，并仿照示例正确解题是关键． （1）仿照示例，参照有理数的运算法则，即可得到结果； 根据完全平方公式计算，出现，化简为计算，再根据共轭复数的定义即可求解； （2）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得，再代入计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：①；②． 【小问2详解】 解：， 即． ，解得： 【点睛】 25. 教材呈现：如图是2024苏科版七年级下册数学教材第59页的部分内容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． 如图①，直线是线段的垂直平分线，是直线上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，即． 尺规作图：在图②中，作边，的垂直平分线，，交点为（不写过程，保留作图痕迹）； （1）若，则直线，夹角的度数为_____； （2）若，求直线，所夹锐角的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线作图，多边形内角和，垂直平分线定义等． （1）先按题意画出，的垂直平分线，，再根据四边形内角和求出本题答案； （2）由图分两种情况讨论，当是锐角和是钝角，即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为边的垂直平分线；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为边的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，如下图所示： ， ∵， ∴直线，夹角的度数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：各线段交点如下图中命名： ， ∵分别是，的垂直平分线， ∴， ∵四边形内角和为， ∵， ①若是锐角， ∴直线，所夹锐角的度数：， ②若是钝角， ∴直线，所夹锐角的度数：， 综上所述：锐角度数为或． 26. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$