第01讲 不等式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第01讲 不等式 【题型1 不等式的定义】 【题型2 不等式的解集】 【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 【题型4 不等式的性质】 考点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1 不等式的定义】 【典例1】下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【变式1-2】“的倍不小于”用不等式表示为 ． 考点2：不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2 不等式的解集】 【典例里2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式2-1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若不等式组的解集，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，数轴上所表示的不等式的解集是 ． 考点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4 不等式的性质】 【典例4】若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式4-3】已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，则下列不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 3．如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 5．已知，则b的值可能为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 8．已知，那么 （填“＞”或“”）． 9．如图，数轴上表示的解集为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 不等式 【题型1 不等式的定义】 【题型2 不等式的解集】 【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 【题型4 不等式的性质】 考点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1 不等式的定义】 【典例1】下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义逐个判断即可．注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 【详解】解：不等式有①、②、⑥，共3个， 故选：C． 【变式1-1】下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义一一判定即可． 【详解】解：①是等式，不是不等式； ②是多项式，不是不等式； ③符合不等式的定义，是不等式； ④符合不等式的定义，是不等式； ⑤符合不等式的定义，是不等式； ⑥符合不等式的定义，是不等式． 综上，不等式有③④⑤⑥，一共4个． 故选：B． 【变式1-2】“的倍不小于”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，的倍表示为，结合不小于y即可得出不等式，理解题意，找准不等关系，是解此题的关键． 【详解】解：的倍不小于”用不等式表示为， 故答案为：． 考点2：不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2 不等式的解集】 【典例里2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式2-1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可． 【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【变式2-3】已知，则下列不等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，求该不等式的解集即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集需要注意端点处是实心点还是空心圆． 【详解】解：不等式在数轴上表示的点应是实心点， A选项和B选项不符合题意； 又应在数轴上表示的点的右侧， C选项符合题意，D选项不符合题意． 故选： C． 【变式3-1】若不等式组的解集，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【变式3-2】不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据不等式解集在数轴上的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 【变式3-3】如图，数轴上所表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键；根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出结论． 【详解】解：∵1处是实心圆点且折线向右， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 考点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4 不等式的性质】 【典例4】若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，原不等式不一定成立，故此选项不符合题意； B、若，则，原不等式不成立，故此选项不符合题意； C、若，则，原不等式不成立，故此选项不符合题意； D、若，则，原不等式成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】若，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，∴，故选项不符合题意； D、∵，∴，故选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断． 【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意； B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式4-3】已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质依次判断即可． 【详解】解：， ，故A错误； 当时，，故B错误； 当，时，，故C错误； ， ，故D正确； 故选：D． 一、单选题 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 2．若，则下列不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误； B. ，若，则，故该选项错误； C. ∵，∴，故该选项正确； D. ∵，∴，故该选项错误； 故选：C． 3．如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质得到，，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，； ，，的大小关系为； 故选：C 4．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5．已知，则b的值可能为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的传递性可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴b的值可能为4； 故选：A 6．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式，熟记在数轴上表示不等式的方法是解题的关键．根据不等式在数轴上表示为一些区间，大于等于小于等于为实心点，大于和小于为空心点即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方向向右，起点是实心点， 故选：C． 二、填空题 7．关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号．由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断的符号，再求a的取值范围． 【详解】解：由不等式，解集为， 可知，不等号方向没有改变， 由不等式性质2，得， 解得， 故答案为：． 8．已知，那么 （填“＞”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，数轴上表示的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集．从数轴上可以看出所表示的数在的右边、的左边，因为处是空心圆，所以不等于，点处是实心点，所以可以等于． 【详解】解：如下图所示， 不等式的解集是． 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$