第01讲 二元一次方程组的概念-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第01讲 二元一次方程组的概念 【题型一 二元一次方程的定义】 【题型二 二元一次方程-等式的性质】 【题型三 二元一次方程的解】 【题型四 判断是否是二元一次方程组】 【题型五 判断是否是二元一次方程组的解】 【题型六 已知二元一次方程组的解求参数】 知识点1:二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次程的解． 【题型一 二元一次方程的定义】 【典例1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-3】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【题型二 二元一次方程-等式的性质】 【典例2】已知方程，若用含的代数式表示，则 ． 【变式2-1】方程3x+y=7，用x的代数式表示y，则y= ． 【变式2-2】已知方程2x3y5，用含x的代数式表示y，则y= ． 【变式2-3】已知二元一次方程，用含的代数式表示可得到 ； 【题型三 二元一次方程的解】 【典例3】下列是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列是二元一次方程解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【变式3-3】下列是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 知识点2：二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【题型四 判断是否是二元一次方程组】 【典例4】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【题型五 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例5】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式5-1】解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列方程组的解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【题型六 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例6】已知方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式6-3】若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25八年级上·陕西西安·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 6.（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 二、填空题 7．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 8．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 10．（23-24七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二元一次方程组的概念 【题型一 二元一次方程的定义】 【题型二 二元一次方程-等式的性质】 【题型三 二元一次方程的解】 【题型四 判断是否是二元一次方程组】 【题型五 判断是否是二元一次方程组的解】 【题型六 已知二元一次方程组的解求参数】 知识点1:二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次程的解． 【题型一 二元一次方程的定义】 【典例1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、，不是二元一次方程，故不符合题意； B、，是二元一次方程，故符合题意； C、，不是二元一次方程，故不符合题意； D、，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选B． 【变式1-1】在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴ ∴，不符合二元一次方程定义，故不符合题意； C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 【变式1-3】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 【题型二 二元一次方程-等式的性质】 【典例2】已知方程，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再把的系数化为，即可用含的代数式表示． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-1】方程3x+y=7，用x的代数式表示y，则y= ． 【答案】-3x+7 【分析】把x看做已知数，移项求出y即可． 【详解】方程3x+y=7， 解得：y=-3x+7， 故答案为-3x+7 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 【变式2-2】已知方程2x3y5，用含x的代数式表示y，则y= ． 【答案】 【分析】先把2x移到等式的右边，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，-3y=5-2x， 系数化为1得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，把2x从等式的左边移到右边时要注意符号的改变． 【变式2-3】已知二元一次方程，用含的代数式表示可得到 ； 【答案】 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【题型三 二元一次方程的解】 【典例3】下列是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把各选项的值代入方程，判断方程的左边和右边是否相等即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴是方程的解； 、当，时，方程左边右边， ∴不是方程的解； 故选：． 【变式3-1】下列是二元一次方程解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据四个选项中的值，将其代入二元一次方程，使等式两边结果相等的值便是二元一次方程的解．理解二元一次方程解得定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； B、把代入二元一次方程，左边右边，，故是方程的解，选项符合题意； C、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； D、把代入二元一次方程，左边右边，故不是方程的解，选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 【变式3-3】下列是二元一次方程的解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程解的含义，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键； 将选项中的、值代入方程，看等式是否成立即可判断． 【详解】解：A．把代入方程左边得：，所以该选项错误，不符合题意； B．把代入方程左边得：，，所以该选项错误，不符合题意； C．把代入方程左边得：，，所以该选项错误，不符合题意； D．把代入方程左边得：，方程左边等于右边，所以该选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点2：二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【题型四 判断是否是二元一次方程组】 【典例4】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B、是二元一次方程组，故符合题意； C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可．本题考查了二元一次方程组的定义；熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； B、第2个方程是二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； C、第2个方程是二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式4-3】下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数是1，这样的方程组叫做二元一次方程组．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二元一次方程组，所以A选项不合题意； B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意； C、不是二元一次方程组，所以C选项不符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程组，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【题型五 判断是否是二元一次方程组的解】 【典例5】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义可知，将代入原方程组，则必须能使原方程组成立，将依次代入各选项计算，即可解答． 【详解】解：把分别代入四个方程组： A、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意； B、，∴是方程组的解，故此选项符合题意； C、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意； D、，∴不是方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念；一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；熟练掌握定义是解题的关键． 【变式5-2】下列方程组的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入各选项，判断两个方程是否都成立即可． 【详解】解：不是的解， 不是的解，故A不符合题意； 不是的解， 不是的解，故B不符合题意； 既是的解，也是的解， 是的解，故C符合题意； 不是的解， 不是的解，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握定义．使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解． 【变式5-3】以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算与，进而得出答案． 【详解】解：          故答案选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握二元一次方程组的解是本题的关键． 【题型六 已知二元一次方程组的解求参数】 【典例6】已知方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握加减消元法是解题的关键． 把方程组中两个方程相减即可得到，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式6-1】已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 【变式6-2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 【变式6-3】若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意，第二个方程减去第一个方程，得出，即，结合已知，即可得出答案． 【详解】解：， ②①，得，即， ∵， ∴． 故选：B． 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：B． 3.（24-25八年级上·陕西西安·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把方程的解代入，得：， 解得：； 故选：A． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 6.（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，则可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为非负整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴方程一共有6组不同的非负整数解， ∴不同的换法一共有6种， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先移项得到，然后把方程两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①均在同一条直线上；是 (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象； （1）先解出方程的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根据图形解答即可； （2）根据（1）所作的图形即可解答； （3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解，即可解答； （4）根据方程组的解为，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解， 可以为：， 填表如下， （2）①如图所示，由图可知，这些点都在同一条直线上； ②在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解； （3）解：的解， 可以为： 如图所示， 根据图象的交点就是方程组的解，则方程组的解为 （4）解：根据函数图象可得方程组的解为 ∴ 解得： ∴ 10．（23-24七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解： 均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 学科网（北京）股份有限公司 $$