精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

肇东市第四中学2024-2025学年下学期 高一数学月试卷 一、单选题 1. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断. 【详解】向量，，则存在，使得 故只有向量符合. 故选：A. 2. 复数（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的定义计算． 【详解】由已知． 故选：D． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若、都是单位向量，则 ＝ B. 若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C. 若∥，且∥，则∥ D. 与是两平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可. 【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形； 选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量. 故选：D. 4. 设的内角所对的边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和性质求出各角的大小，应用正弦定理求边的比例. 【详解】由，又，则， 由，即， 所以. 故选：B 5. 在中，下列命题正确的个数是（ ） ①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算公式，即可判断选项. 【详解】①，故①错误；②.故②正确； ③，则，为等腰三角形，故③正确； ④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误. 故选：B 6. 已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A. AC边所在的直线上 B. BC边所在的直线上 C. AB边所在的直线上 D. △ABC的内部 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】∵， ∴，则，则 ∴ ∴P点在AC边所在直线上． 故选：A． 7. 在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　 　）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理求出角的度数，在中利用正弦定理求AC的长即可. 【详解】在中，由正弦定理，得 所以, 所以45°, 则180°45°120°=15°, 所以30°，45°15°30°, 所以, 在中，由正弦定理，得, 所以， 故选： 8. 在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值. 【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，则，且，故， 所以， 令，则， 则， 因为，所以，， 故， 所以的最小值为，当且仅当时取得. 故选：D 二、多选题 9. 已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，， ， 若，则，解得，所以C选项正确. D选项，当时，，所以D选项错误. 故选：AC 10. 是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的运算逐个判定即可 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确； 对于D：，D错误， 故选：AC 11. 如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ） A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值 C. 的最大值为 D. 使的点轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点， 则，，，， 当点在线段上时，，，故A正确； 当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误； 由得，则，， 所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确； 由得，直线交轴于点，交轴于点， 所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知向量，满足，．若的最小值为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意由，得到，而，根据二次函数的性质可求的最小值，即可得解； 【详解】解：因为， 所以当时取最小值，即， 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，二次函数的性质，属于基础题. 13. 已知，，，，，若，则的值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及向量垂直求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 即， 解得. 故答案为：. 14. 已知，的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为_________. 【答案】15或 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则得对角线长为与，通过计算向量的模即可. 【详解】因为，的夹角为， 所以， 因为，所以，， 所以 ， ， 故答案为：15或 四、解答题 15. 如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 【答案】由图可知；；；. 【解析】 【分析】根据各向量在水平和竖直方向上的分解向量，将其分别用表示，即得其坐标. 【详解】略 16. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由得，解得 【小问2详解】 ，故， 解得 17. 在中，已知，，．求c．（结果精确到0.01）(参考数据，) 【答案】7.69 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理求出，再根据正弦定理计算可得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理， 即. 18. 已知向量，满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 【答案】（1）. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系，先求出，再根据数量级的定义求向量与夹角的余弦值. （2）根据求向量的模. 【小问1详解】 设与的夹角为，因为， 所以， 又，所以，所以 所以向量与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由， 所以． 19. 在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位. （1），，计算与； （2）设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号. 【答案】（1）， （2）证明：因为， 所以， 可得； 因为， 所以，， 因此 ， 所以， 当且仅当时取等号，此时向量满足. 【解析】 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法法则求出，再由复数的几何意义可得，，再根据向量数量积的坐标法计算可得； （2）利用复数运算规律分别求出、的平方，利用作差法可得，此时需满足. 【小问1详解】 因为，， 则， 又，， 所以，， 所以； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇东市第四中学2024-2025学年下学期 高一数学月试卷 一、单选题 1. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若、都是单位向量，则 ＝ B. 若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C. 若∥，且∥，则∥ D. 与是两平行向量 4. 设的内角所对的边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，下列命题正确的个数是（ ） ①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A. AC边所在的直线上 B. BC边所在的直线上 C. AB边所在的直线上 D. △ABC的内部 7. 在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　 　）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 8. 在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 二、多选题 9. 已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ） A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值 C. 的最大值为 D. 使的点轨迹长度为 三、填空题 12. 已知向量，满足，．若的最小值为，则的值为_________． 13. 已知，，，，，若，则的值为______ 14. 已知，的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为_________. 四、解答题 15. 如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 16. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值. 17. 在中，已知，，．求c．（结果精确到0.01）(参考数据，) 18. 已知向量，满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 19. 在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位. （1），，计算与； （2）设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $