精品解析：山东省日照市莒县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期七年级阶段素养测试数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围，在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，不能判定是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法：①实数与数轴上的点是一一对应的；②垂线段最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 9. 苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，，则下列选项中，不正确的是（ ） A. B. 的度数不变 C D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，即________． 12. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小：______1（用“”、“”或“”填空） 13. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 14. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 15. 已知代数式．当时，它值是4；当时，它的值是8．则c的值是_______． 16. 已知两点和，则下列说法中正确的有_______（填序号）． ①直线轴；②线段；③线段的中点坐标是；④将点向上平移2个单位长度到点，则三角形的面积为16． 三、解答题（共7小题，满分72分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算； （2）解方程组：． 18. （1）已知平方根是，的立方根是2，求的算术平方根； （2）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 19. 如图，已知于点，，，求证：（把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）． 证明：， ， ． ， _________， ________（_______）． _________（_________）， ， ________． __________（__________）． ． 20. 如图，四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．将四边形平移后得到四边形，点的对应点的坐标为，点，，的对应点分别为，，． （1）图中画出四边形； （2）直接写出点，，的坐标； （3）若四边形内任意一点的坐标为，则点经过上述平移后得到点的坐标是___________（用含，的式子表示）． 21. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是______________； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 22. 根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，的对应点，．连接、、． （1）直接写出，两点的坐标； （2）如图2，是线段的中点，是线段上的一个动点，连接，．当点在线段上移动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）若点为坐标轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，请直接写出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期七年级阶段素养测试数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围，在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限、算术平方根，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键．根据坐标系中各象限内点的坐标的符号特征即可解答． 【详解】解：，， 点位于第二象限． 故选：B． 2. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向，根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项不符合题意； B、图形大小发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项不符合题意； C、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项符合题意； D、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．熟知平行线的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，故不符合题意． 、，，故不符合题意； C、，，不能判定，故符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法：①实数与数轴上点是一一对应的；②垂线段最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题真假的判断，根据实数与数轴，垂线段的性质，平行线的性质，对顶角的性质，垂线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，正确； ②垂线段最短，正确； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确， ∴真命题有个； 故选B． 6. 若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 7. 在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：B． 8. 古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲有羊只，乙有羊只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只． 甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ； 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ． 联立两方程组成方程组． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，，则下列选项中，不正确的是（ ） A. B. 的度数不变 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的判定与性质．通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，进一步可得答案． 【详解】解：过A作， ∵， ∴，故C不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故D不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故A符合题意，B不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．根据所给的点的坐标，发现的横纵坐标的排列规律，即可解决问题． 【详解】解：由题知，点，，，，，， ， 当时，， 根据点的安排规律知． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，即________． 【答案】## 【解析】 【分析】把当成常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程．熟练掌握代入法是解题的关键． 12. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．请比较大小：______1（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，不等式的性质，由可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 13. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14. 如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知代数式．当时，它的值是4；当时，它的值是8．则c的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得到关于和的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵代数式，当时，它的值是4；当时，它的值是8， ∴， 解得： 故答案为：． 16. 已知两点和，则下列说法中正确的有_______（填序号）． ①直线轴；②线段；③线段的中点坐标是；④将点向上平移2个单位长度到点，则三角形的面积为16． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成的线段中点，割补法求解三角形的面积；正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据坐标与图形的性质，线段中点坐标的公式逐一分析求解即可． 【详解】解：∵两点和， ∴直线轴，， 线段的中点坐标是，即，故①②③正确； 将点向上平移2个单位长度到点， ∴， 如图， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④ 三、解答题（共7小题，满分72分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和消元法解方程组是解题的关键． （1）利用乘方、算术平方根、立方根、绝对值性质化简，再加减即可． （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，， 得，， 解得：， 代入到①得，， 解得：， 方程组的解为． 18. （1）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根； （2）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1）5；（2）不能 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用、实数的大小比较，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义可得，，解出的值，再利用算术平方根的定义即可求解； （2）设信封的长为，根据长方形的面积列出方程，得出信封的宽为，利用正方形贺卡的面积求出边长，再将正方形的边长和信封的宽比较大小，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得，，， 解得：，， ， 又， 的算术平方根为5． （2）设信封的长为，则信封的宽为， 由题意得，， 解得：或（舍去负值）， 信封的长为，信封的宽为， 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长为， ， 小明不能将贺卡不折叠就放入此信封． 19. 如图，已知于点，，，求证：（把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）． 证明：， ， ． ， _________， ________（_______）． _________（_________）， ， ________． __________（__________）． ． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定即可证明． 【详解】证明：， ， ． ， ， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （同旁内角互补，两直线平行）． ． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行． 20. 如图，四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．将四边形平移后得到四边形，点的对应点的坐标为，点，，的对应点分别为，，． （1）图中画出四边形； （2）直接写出点，，的坐标； （3）若四边形内任意一点的坐标为，则点经过上述平移后得到点的坐标是___________（用含，的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，利用平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据点经过平移后的对应点，得出平移方式为向右平移7个单位长度，再向上平移6个单位长度，据此平移方式分别画出点，，，再顺次连接即可得到四边形； （2）根据坐标系写出点，，的坐标即可； （3）根据点经过平移后的对应点，得出平移方式为向右平移7个单位长度，再向上平移6个单位长度，据此平移方式即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求： 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 【小问3详解】 解：点的对应点的坐标为， 平移的方式为向右平移7个单位长度，再向上平移6个单位长度， 点经过上述平移后得到点，点的坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 21. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是______________； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】（1） （2）；1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可解答； （2）根据新定义可得，，解出的值即可解答； （3）仿照题意的方法解共轭方程组即可． 【小问1详解】 解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：关于、的方程组为共轭方程组， ，， 解得：，． 故答案为：；1． 【小问3详解】 解：， 得：，所以， 得：， 得：，从而得， 所以原方程组的解是． 22. 根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，的对应点，．连接、、． （1）直接写出，两点的坐标； （2）如图2，是线段的中点，是线段上的一个动点，连接，．当点在线段上移动时（点不与点、重合），请猜想，，三个角之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）若点为坐标轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）N点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、算术平方根的非负性可得，，即可得，，根据平移的性质可作答； （2）过P点作交y轴于点M，根据平移可知：，即有，根据两直线平行，内错角相等即可证明； （3）先得出，，，根据，可得，分两种情况讨论，当点N在y轴上时，设，先表示出，即有，进而可得，解绝对值方程即可；当点N在x轴上时，设，同理可得解． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将点A，B分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点A，B的对应点C，D， ∴，； 【小问2详解】 解：结论：，理由如下： 过P点作交y轴于点M，如图， 根据平移可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 当点N在y轴上时，如图， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴此时N点坐标为：或； 当点N在x轴上时，如图， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴此时N点坐标为或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，线段的平移，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平行线的性质，绝对值方程等知识，掌握平移的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$