专题六 微重点2 圆锥曲线中的二级结论-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微重点2　圆锥曲线中的二级结论 [考情分析]　圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发. 考点一　焦点三角形 考向1　焦点三角形的面积 例1　已知椭圆+=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为(　　) A. B.16 C.3 D.9 答案　C 解析　根据椭圆焦点三角形的面积公式=b2tan， 得=9tan=3. [规律方法]　焦点三角形的面积公式： P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，=b2tan；在双曲线中，=. 跟踪演练1　(2024·西安模拟)设F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点P是C上的一点，且cos∠F1PF2=，则△PF1F2的面积为(　　) A.3 B.3 C.9 D.9 答案　B 解析　方法一　由题设，∠F1PF2∈(0，π)，可得sin∠F1PF2=， cos∠F1PF2==-1=， 由|PF1|+|PF2|=2a=6，|F1F2|=2c=4， 则=，即|PF1||PF2|=9， 所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=3. 方法二　设∠F1PF2=θ，由题意得θ∈(0，π)， 则∈， 因为cos θ=，则 tan ===， 由椭圆焦点三角形的面积公式得=b2tan=6×=3. 考向2　焦半径之积及离心率的表示 例2　(2024·淄博模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q=，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则 +的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2， 设∠F1PF2=θ， 根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF2QF1为平行四边形，则θ=π-∠PF2Q=， |PF1||PF2|==， 故=3， 则+3=4c2，即+=4， 则+=+=× =×× =× =， 当且仅当 即时等号成立. [规律方法]　(1)设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=；②e=. (2)设P点是双曲线-=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=；②e=. 跟踪演练2　设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=，则·等于(　　) A. B. C.2 D. 答案　A 解析　记∠F1PF2=θ，则|PF1||PF2|=， 即=， 则·=cos∠F1PF2 =×=. 考点二　垂径定理 例3　(多选)已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM等于(　　) A. B.- C.-1 D.e2-1 答案　BD 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则M， kOM=，kAB=，kAB·kOM=， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 +=1，+=1， 两式相减得+=0， 整理得=-，∴kAB·kOM=-=e2-1. [规律方法]　双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM==e2-1. 跟踪演练3　(多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别是F1，F2，其中=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.弦AB的最小值为 B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k= D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞) 答案　ABC 解析　对于A，弦AB的最小值为通径，故A正确； 对于B，由双曲线的定义得-=2a，-=2a， 所以=+2a，=+2a， +=+2a++2a=|AB|+4a， 则△F1AB的周长=++|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确； 对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=，故C正确； 对于D， 若直线AB的斜率为，所以<，所以b2<3a2，所以c2<4a2， 所以e=∈，故D错误. 考点三　椭圆、双曲线的第三定义 定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=. 例4　(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1， 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1，则e=. [规律方法]　第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=. 跟踪演练4　设直线y=kx与双曲线C：-=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1·k2等于(　　) A.3 B.1 C.2 D. 答案　B 解析　由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1， 又由e=，则k1·k2=1. 考点四　焦点弦 1.已知F1，F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2=α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p=. (1)椭圆焦半径公式：|AF1|=，|BF1|=+=. (2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=. (3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=，|BF1|=+=. ②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=，|BF1|=， =. 　　　　　　 　　　图1　　　　　　图2 (4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=. 若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=. 2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离. (1)抛物线焦半径公式：|AF|==，|BF|==+==. (2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|==. 3.焦点弦定理 已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，=λ，则曲线的离心率满足等式|ecos α|=. 例5　(1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为(　　) A.4 B. C. D.2 答案　D 解析　|AF2|=，|BF2|=， |AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒=2a⇒e2-e-3=0⇒e=2. (2)(2024·沧州模拟)已知椭圆方程为+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为　　　　　.  答案　 解析　由焦半径公式可得+=4， ∴|AF|+2|FB|=(|AF|+2|FB|) =++， 当且仅当=时取等号， 又+=4， 得 ∴|AF|+2|FB|的最小值为. [易错提醒]　(1)要注意公式中α的含义. (2)公式中的加减符号易混淆. (3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样. 跟踪演练5　过双曲线C：-=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|=，则|BF|=　　　　.  答案　2 解析　设∠AFO=α，因为|AF|=<2+， 所以点A必在双曲线右支上， 由焦半径公式， |AF|===， 解得cos α=， 所以sin α=， 从而tan α=，双曲线C的渐近线的斜率为±， 因为>， 所以点B也在双曲线的右支上，如图， 由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α， 所以|BF|===2. 专题强化练 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　根据焦点三角形面积公式可知， =，其中θ=∠F1PF2， 由题意知=4，θ=， 代入=， 可得b=2，又离心率=， 结合c2=a2+b2，解得a=1. 2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：+=1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　根据椭圆的第三定义可知kAP·kBP=-=-. 3.已知双曲线E的中心为原点，F(1，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(-4，-5)，则双曲线E的渐近线方程为(　　) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±5y=0 D.5x±4y=0 答案　A 解析　∵kAB==1，kON=， 且kAB·kON=， ∴=， ∴4b2=5a2，可得双曲线的渐近线方程为x±2y=0. 4.已知F为抛物线C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于 D，E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 答案　A 解析　设 l1 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈， 那么|AB|==， 因为l1⊥l2，所以 l2 的倾斜角为θ+， 则|DE|==， 求|AB|+|DE|的最小值，即求4在上的最小值， 令f(θ)=4==， 当sin22θ=1，即θ=时，f(θ)取得最小值16. 5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若=4，则△AOB的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)， 由题意知=3，|AF|=， |BF|=， ∴=3，解得cos θ=， 则sin θ=， 又抛物线焦点弦弦长|AB|=， ∴S=|OF|·|AB|·sin θ===. 6.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2=2α(α≠0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A.(0，sin 2α] B.(0，sin α] C.[sin 2α，1) D.[sin α，1) 答案　D 解析　由题，0<2α<π，则0<α<， 由焦点三角形面积公式得=b2tan α， 设M(x0，y0)，则|y0|≤b， 所以=·2c·|y0|≤bc， 故=b2tan α≤bc， 所以bsin α≤ccos α，两边同时平方得(a2-c2)sin2α≤c2cos2α， 解得sin α≤e， 又0<e<1，所以sin α≤e<1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列与双曲线有关的结论，正确的是(　　) A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 C.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值 D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn 答案　ABC 解析　对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确； 对于C，设双曲线方程为-=1， 过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B， 设P(x0，y0)，则|PA|=， |PB|=， |PA|·|PB|=· =， 又点P(x0，y0)在双曲线上， 所以-=1， b2-a2=a2b2， 即|PA|·|PB|=，C正确； 对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为x+y=0和x-y=0， 直线x+y=0与x-y=0相互垂直， 又PA⊥OA，PB⊥OB， 所以四边形OAPB为矩形， 所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|==1，D错误. 8.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是(　　) A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8 B.若=2，则直线AB的斜率为±2 C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线 D.CF⊥DF 答案　ACD 解析　若直线AB的倾斜角为45°， 则|AB|==8，故A正确； 设直线AB的倾斜角为θ， 若=2， 则|cos θ|==， 故k=tan θ=±2，故B错误； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(-1，y1)， 所以kOB-kOC=+y1===0， 故B，O，C三点共线，故C正确； 设C(-1，y1)，D(-1，y2)，F(1，0)， 则·=(2，-y1)·(2，-y2)=4+y1y2=4-p2=0， 故CF⊥DF，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为　　　　.  答案　 解析　如图，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'， 因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)， 所以S△AF'F=S△ABF=2a2且∠F'AF=θ=， 根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF'F=.所以2a2=b2，即=2，e==. 10.已知椭圆C：+=1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|=　　　　；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|=　　　　.  答案　　3∶1 解析　如图，设∠AFO=α，则α=45°， 由焦点弦公式， |AB|=== . 由焦半径公式， |AF|===2， |BF|==， 所以|AF|∶|BF|=3∶1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线中的二级结论 微重点2 考情分析 圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发. 考点一 考点二 考点三 焦点三角形 垂径定理 椭圆、双曲线的第三定义 内容索引 考点四 焦点弦 专题强化练 焦点三角形 考点一 　已知椭圆+=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°， 则△F1MF2的面积为 A. B.16 C.3 D.9 例1 √ 考向1　焦点三角形的面积 根据椭圆焦点三角形的面积公式=b2tan， 得=9tan=3. 规律方法 焦点三角形的面积公式： P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1， F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，=b2tan =. (2024·西安模拟)设F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点P是 C上的一点，且cos∠F1PF2=，则△PF1F2的面积为 A.3 B.3 C.9 D.9 跟踪演练1 √ 方法一　由题设，∠F1PF2∈(0，π)，可得sin∠F1PF2=， cos∠F1PF2==-1=， 由|PF1|+|PF2|=2a=6，|F1F2|=2c=4， 则=，即|PF1||PF2|=9， 所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=3. 方法二　设∠F1PF2=θ，由题意得θ∈(0，π)， 则∈， 因为cos θ=，则 tan ===， 由椭圆焦点三角形的面积公式得=b2tan=6×=3. 　(2024·淄博模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它 们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q=，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则 +的最小值是 A. B. C. D. 例2 √ 考向2　焦半径之积及离心率的表示 如图，设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2， 设∠F1PF2=θ， 根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF2QF1为平行四边形， 则θ=π-∠PF2Q=， |PF1||PF2|==， 故=3， 则+3=4c2，即+=4， 则+=+=× =×× =× =， 当且仅当 即时等号成立. 规律方法 (1)设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点，F1， F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=； ②e=. (2)设P点是双曲线-=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=；②e=. 设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在 C上，cos∠F1PF2=，则·等于 A. B. C.2 D. 跟踪演练2 √ 记∠F1PF2=θ，则|PF1||PF2|=， 即=， 则·=cos∠F1PF2 =×=. 考点二 垂径定理 (多选)已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于 x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM等于 A. B.- C.-1 D.e2-1 例3 √ √ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则M， kOM=，kAB=，kAB·kOM=， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 +=1，+=1， 两式相减得+=0， 整理得=-，∴kAB·kOM=-=e2-1. 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上 任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O， M为线段AB的中点，则有kAB·kOM==e2-1. 规律方法 (多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C：-=1的 左、右焦点分别是F1，F2，其中=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是 A.弦AB的最小值为 B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k= D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞) 跟踪演练3 √ √ √ 对于A，弦AB的最小值为通径，故A正确； 对于B，由双曲线的定义得-=2a，-=2a， 所以=+2a，=+2a， +=+2a++2a=|AB|+4a， 则△F1AB的周长=++|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确； 对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=，故C正确； 对于D，若直线AB的斜率为 <，所以b2<3a2， 所以c2<4a2，所以e=∈，故D错误. 考点三 椭圆、双曲线的第三定义 定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双 曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=. (2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：+=1的 左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 例4 √ 根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1， 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1，则e=. 第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两 点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-；当常数大于0时为双曲线，此时e2-1=. 规律方法 设直线y=kx与双曲线C：-=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P 为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1·k2等于 A.3 B.1 C.2 D. 跟踪演练4 √ 由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1， 又由e=，则k1·k2=1. 考点四 焦点弦 1.已知F1，F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2=α，e为离心率，p为焦点到 对应准线的距离，则p=. (1)椭圆焦半径公式：|AF1|=，|BF1|=+=. (2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=. (3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)， 则|AF1|=，|BF1|=+=. ②若直线与双曲线交于两支(如图2)， 则|AF1|=，|BF1|=，=. (4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支， 则|AB|=|AF1|+|BF1|=. 若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=. 图1 图2 2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离. (1)抛物线焦半径公式：|AF|==， |BF|==+==. (2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|==. 3.焦点弦定理 已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，=λ，则曲线的离心率满足等 式|ecos α|=. (1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2， 过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第 一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为 A.4 B. C. D.2 例5 √ |AF2|=，|BF2|=， |AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒=2a⇒e2-e-3=0⇒e=2. (2)(2024·沧州模拟)已知椭圆方程为+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为　　　　　.  由焦半径公式可得+=4， ∴|AF|+2|FB|=(|AF|+2|FB|)=++， 当且仅当=时取等号， 又+=4， 得 ∴|AF|+2|FB|的最小值为. (1)要注意公式中α的含义. (2)公式中的加减符号易混淆. (3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样. 易错提醒 过双曲线C：-=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|=，则|BF|=　　　　.  跟踪演练5 2 设∠AFO=α，因为|AF|=<2+， 所以点A必在双曲线右支上，由焦半径公式，|AF|===， 解得cos α=，所以sin α=， 从而tan α=，双曲线C的渐近线的斜率为±， 因为>，所以点B也在双曲线的右支上，如图， 由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α， 所以|BF|===2. 专题强化练 对一对 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A A B D ABC ACD 题号 9 10 答案 　3∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 .P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于 A.1 B.2 C.4 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据焦点三角形面积公式可知， =，其中θ=∠F1PF2， 由题意知=4，θ=， 代入=，可得b=2，又离心率=， 结合c2=a2+b2，解得a=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：+=1，A，B为G的短轴端点，P为G 上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为 A. B. C.- D.- √ 答案 根据椭圆的第三定义可知kAP·kBP=-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知双曲线E的中心为原点，F(1，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(-4，-5)，则双曲线E的渐近线方程为 A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±5y=0 D.5x±4y=0 √ 答案 ∵kAB==1，kON=， 且kAB·kON=，∴=， ∴4b2=5a2，可得双曲线的渐近线方程为x±2y=0. 4.已知F为抛物线C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于 D，E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 设 l1 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈， 那么|AB|==， 因为l1⊥l2，所以 l2 的倾斜角为θ+，则|DE|==， 求|AB|+|DE|的最小值，即求4上的最小值， 令f(θ)=4==， 当sin22θ=1，即θ=时，f(θ)取得最小值16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若=4，则△AOB的面积为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)， 由题意知=3，|AF|=， |BF|=， ∴=3，解得cos θ=，则sin θ=， 又抛物线焦点弦弦长|AB|=， ∴S=|OF|·|AB|·sin θ===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上 存在点M，使得∠F1MF2=2α(α≠0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为 A.(0，sin 2α] B.(0，sin α] C.[sin 2α，1) D.[sin α，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题，0<2α<π，则0<α<， 由焦点三角形面积公式得=b2tan α， 设M(x0，y0)，则|y0|≤b， 所以=·2c·|y0|≤bc， 故=b2tan α≤bc， 所以bsin α≤ccos α，两边同时平方得(a2-c2)sin2α≤c2cos2α， 解得sin α≤e， 又0<e<1，所以sin α≤e<1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、多项选择题 7.下列与双曲线有关的结论，正确的是 A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 C.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值 D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分 别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确； 对于C，设双曲线方程为-=1， 过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B， 设P(x0，y0)，则|PA|=，|PB|=， |PA|·|PB|=·=， 又点P(x0，y0)在双曲线上， 所以-=1，b2-a2=a2b2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即|PA|·|PB|=，C正确； 对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为x+y=0和x-y=0， 直线x+y=0与x-y=0相互垂直， 又PA⊥OA，PB⊥OB， 所以四边形OAPB为矩形， 所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|==1，D错误. 答案 8.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是 A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8 B.若=2，则直线AB的斜率为±2 C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线 D.CF⊥DF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 √ √ 若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|==8，故A正确； 设直线AB的倾斜角为θ， 若=2， 则|cos θ|==， 故k=tan θ=±2，故B错误； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(-1，y1)， 所以kOB-kOC=+y1===0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 故B，O，C三点共线，故C正确； 设C(-1，y1)，D(-1，y2)，F(1，0)， 则·=(2，-y1)·(2，-y2)=4+y1y2=4-p2=0， 故CF⊥DF，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题 9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点， 以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'， 因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)， 所以S△AF'F=S△ABF=2a2且∠F'AF=θ=， 根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF'F=.所以2a2=b2， 即=2，e==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知椭圆C：+=1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|=　　　；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|=　　　　.  答案 3∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，设∠AFO=α，则α=45°， 由焦点弦公式， |AB|=== . 由焦半径公式， |AF|===2， |BF|==， 所以|AF|∶|BF|=3∶1. 答案 本课结束 THANKS $$