专题二 微拓展3 平面向量中的新定义-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微拓展3　平面向量中的新定义 [考情分析]　平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点. 考点一　平面向量的外积 定义　向量a与b的外积是一个向量，记为a×b，它的长度|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向垂直于a，b，且构成右手系的基. 外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，a×b读作“a叉b”. 特别地，当a=0或b=0时，a×b=0. 例1　(多选)[平面向量的外积]在空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)； ②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的是(　　) A.|×|=|×| B.×与共线 C.×=× D.=-(×)· 答案　ABD 解析　由题意，设正方体的棱长为a， 选项A，由几何知识得，△AB1C，△BC1D是全等的等边三角形，且边长为a， ∴∠B1AC=∠DBC1=60°， AB1=AC=AD1=DB=BC1=a， |×|=||||sin∠B1AC=a×a×sin 60°=a2， |×|=|×|=||||sin〈〉 =||||sin(180°-∠DBC1) =a×a×sin(180°-60°)=a2， ∴|×|=|×|，A正确； 选项B，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， 又因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1， 所以A1C1⊥BB1， 又B1B∩B1D1=B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D， 所以A1C1⊥平面BB1D1D， 因为BD1⊂平面BB1D1D， 所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D， 再由右手系知×与同向，所以B正确； 选项C，|×|=||||sin∠BAD=a·asin 90°=a2， |×|=||||sin∠BAD=a·asin90°=a2，∴|×|=|×|， ∵右手系叉乘具有方向， ∴×=-a ×=a ∴×≠×C错误； 选项D=a3，(×)·=-a·=-a3，故D正确. [规律方法]　(1)外积的几何意义 S▱ABCD=|a|·(|b|sin θ)=|a×b|. 结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积. (2)外积的性质 ①a×a=0； ②a×b=0⇔a∥b； ③a×b=-(b×a)(交换律不成立)； ④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)； ⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b). 跟踪演练1　(多选)(2024·昭通统考)已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角；定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)：|a×b|=|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则下列说法正确的是(　　) A.若a，b为非零向量，且|a×b|=|a·b|，则〈a，b〉= B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|×| C.已知点A(2，0)，B(-1)，O为坐标原点，则|×|=2 D.若|a×b|=a·b=则|a+2b|的最小值为2 答案　BCD 解析　对于A，因为a，b是非零向量， 由|a×b|=|a·b|， 可得|a||b|sin〈a，b〉=|a||b||cos〈a，b〉|， 即sin〈a，b〉=|cos〈a，b〉|， 可得tan〈a，b〉=±1，且〈a，b〉∈[0，π]， 解得〈a，b〉=或所以A错误； 对于B，由平行四边形ABCD的面积S=2×|‖|sin〈〉=|×|，所以B正确； 对于C，因为=(2，0)=(-1)， 可知·=-2，||=||=2， 则cos〈〉==- 且〈〉∈[0，π]，可得〈〉= 所以|×|=||||sin〈〉=2故C正确； 对于D，因为|a×b|=a·b= 即|a||b|sin〈a，b〉=|a||b|cos〈a，b〉= 可得tan〈a，b〉=且〈a，b〉∈[0，π]， 可得〈a，b〉=|a||b|=2 则|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=12+|a|2+4|b|2≥12+4|a||b|=12+8 所以|a+2b|≥=2当且仅当|a|=2|b|时，等号成立，所以D正确. 考点二　与线性运算有关的新定义 例2　我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量=xe1+ye2，则把实数对{x，y}叫做向量的“@未来坐标”，记={x，y}，已知{x1，y1}，{x2，y2}分别为向量a，b的“@未来坐标”. (1)证明：{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)； (2)若向量a，b的“@未来坐标”分别为{sin x，1}，{cos x，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函数f(x)的最值. (1)证明　因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以e1·e2=|e1||e2|cos 60°= 所以{x1，y1}·{x2，y2}=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2 =x1x2+x1y2+x2y1+y1y2 =x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)， 即{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1). (2)解　因为向量a，b的“@未来坐标”分别为{sin x，1}，{cos x，1}， 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) =sin xcos x+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ =sin xcos x+1+(sin x+cos x). 令t=sin x+cos x=sin 则sin xcos x=(t2-1)， 因为x∈R， 所以-sin即-≤t≤. 令g(t)=(t2+t+1)(-≤t≤)， 因为对称轴为t=-函数图象开口向上， 所以当t=-时，g(t)取得最小值g=×= 当t=时，g(t)取得最大值g()=×(2++1)= 所以f(x)的最小值为最大值为. [规律方法]　解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊值排除. 跟踪演练2　(多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是(　　) A.若a与b共线，则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 答案　ACD 解析　对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确； 对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误； 对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确； 对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)， |a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)， 所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确. 考点三　平面向量的新定义与新运算 例3　设非零向量αk=(xk，yk)，βk=(yk，-xk)(k∈N*)，并定义 (1)若α1=(1，2)，α2=(3，-2)，求|α1|，|α2|，|α3|； (2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明； (3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集. (1)解　因为α1=(1，2)，α2=(3，-2)， 所以|α1|== |α2|==. 依题意得β2=(-2，-3)， 所以x3=α2·α1=3×1+(-2)×2=-1， y3=β2·α1=(-2)×1+(-3)×2=-8， 即α3=(-1，-8)， 所以|α3|==. (2)解　|αk|，|αk+1|，|αk+2|之间的等量关系是|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). 证明如下： 依题意得|αk|= |αk+1|= 所以|αk+1||αk|= =. 因为βk+1=(yk+1，-xk+1)， 所以 即αk+2=(xkxk+1+ykyk+1，xkyk+1-xk+1yk)， 所以|αk+2|= = 故|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). (3)证明　由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1.依此类推得|αk|=1(k∈N*)，可设αk=(cos θk，sin θk)， 则αk+1=(cos θk+1，sin θk+1)， βk+1=(sin θk+1，-cos θk+1). 依题意得， xk+2=αk+1·αk=cos θk+1cos θk+sin θk+1sin θk=cos(θk+1-θk)， yk+2=βk+1·αk=sin θk+1cos θk-cos θk+1sin θk=sin(θk+1-θk)， 所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)). 同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]， sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))， αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]， sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)， sin(-θk+1))， αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]， sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)， sin(θk-θk+1))， αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]， sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cos θk，sin θk). 所以αk+6=αk(k∈N*). 综上，集合{αk|k∈N*}是有限集. [规律方法]　与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的. 跟踪演练3　(1)已知对任意平面向量=(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ，xsin θ+ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1+4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　O为坐标原点，由已知得=(2)， = = 又A(1，2)，所以点P坐标为=+=(1，2)+=. (2)对于非零向量α，β，定义一种运算：α∘β=已知非零向量a，b的夹角θ∈且a∘b，b∘a都在集合中，则a∘b等于(　　) A.或 B.或 C.1 D. 答案　D 解析　a∘b== ==n∈N， ① 同理可得b∘a====m∈N. ② 再由a与b的夹角θ∈ 可得cos2θ∈ ①②两式相乘得cos2θ=m，n∈N， ∴m=n=1，∴a∘b==. 1.对于非零向量a，b，定义a⊕b=a·b·tan〈a，b〉.若a⊕b=|a+b|=|a-b|=则tan〈a，b〉等于(　　) A. B. C.2 D.3 答案　C 解析　∵a⊕b=a·b·tan〈a，b〉= ∴tan〈a，b〉=. 由|a+b|=|a-b|= 可得 两式相减得a·b= ∴tan〈a，b〉==2. 2.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a，b构成的平行四边形的面积S可以用a，b的外积a×b表示出来，即S=|a×b|=|x1y2-x2y1|.已知在平面直角坐标系Oxy中，点A(cos )，B(sin 2α，2cos α)，α∈则△OAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　A 解析　已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos )，B(sin 2α，2cos α)，α∈ 因为S△OAB=|×| =|2cos2α-sin 2α| =|sin 2α-2cos2α| =|sin 2α-(1+cos 2α)| =|sin 2α-cos 2α-1| = 因为0≤α≤则-≤2α- 则-≤sin≤1， 则-2≤2sin-1≤1， 则S△OAB=∈[0，1]， 当2α-=-即当α=0时，△OAB面积的最大值为1. 3.(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ反射坐标系，若=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的反射坐标，记为=(x，y)，在θ=的反射坐标系中，a=(1，2)，b=(2，-1)，则下列结论中，正确的是(　　) A.a-b=(-1，3) B.|a|= C.a⊥b D.a在b上的投影向量的长度为- 答案　AD 解析　利用已知条件， 对于A，a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2，则a-b=(-1，3)，故A正确； 对于B，|a|===故B错误； 对于C，a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2) =2+3e1·e2-2=-故C错误； 对于D，由于|b|==故a在b上的投影向量的长度为==-故D正确. 4.(多选)现在给出一个向量的新运算a×b，叫作向量a与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：①a·(a×b)=0，b·(a×b)=0，且构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；②向量a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉.如图2，在棱长为2的正四面体ABCD中，下列说法正确的是(　　) A.×=× B.4|×|与正四面体的表面积相等 C.(×)·=4 D.|(×)×|=|×(×)| 答案　CD 解析　对于A，易得|×|=|×|，根据右手系的基的定义，拇指指向的方向，食指指向的方向，则中指指向×的方向，其垂直于平面ABC，方向向下，同理得×垂直于平面ABC，方向向上，所以×与×两向量大小相同，方向相反，A错误； 对于B，4|×|=4||||sin=4×2×2×=8正四面体的表面积为4××||×||×sin=4B错误； 对于C，设×=由A选项知垂直于平面ABC，方向向上，||=||||sin=2 所以(×)·=·=||||cos〈〉=4cos〈〉. 如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F， 则FD是正四面体ABCD的高与共线，〈〉=∠ADF. 由×FD××AB×AC×sin=×23， 得FD= 所以cos〈〉== 所以(×)·=4×=4C正确； 对于D，|(×)×|=|×|||sin〈(×)〉，|×(×)|=|||×|sin〈(×)〉， 易知|×|=|×|，||=||， sin〈(×)〉=sin〈(×)〉， 所以|(×)×|=|×(×)|，D正确. 5.给出定义：对于向量b=(sin x，cos x)，若函数f(x)=a·b，则称向量a为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量a的伴随函数. 已知AB(1，3)，函数h(x)的伴随向量为n=(0，1)，点P为函数h(x)的图象上一点，满足=则点P的坐标为　　　　　　.  答案　(0，1) 解析　由题意，h(x)=cos x，设P(x，cos x)， 因为AB(1，3)， 所以= =(x-1，cos x-3)= 所以+= 由= 得= 即=-x2， 因为-1≤cos x≤1，所以-≤cos x-≤- 所以 又-x2≤ 所以当且仅当x=0时和-x2同时等于 此时=-x2成立，所以点P的坐标为(0，1). 6.(2024·邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a☉b=.若平面向量a，b满足>>0，且a⊕b和a☉b都在集合中，则a⊕b+a☉b=　　　　　　.  答案　1或 解析　因为 = 设向量a和b的夹角为θ， 因为>>0，所以|a|2+|b|2>2 得到a⊕b==<= 又θ∈[0，π]，所以 所以a⊕b< 又a⊕b在集合中， 所以a⊕b= 所以>即cos θ>； 又因为a☉b===cos θ>cos θ> 所以a☉b=或1， 所以a⊕b+a☉b=1或. 7.对于一个向量组a1，a2，a3，…，an(n≥3，n∈N*)，令bn=a1+a2+…+an，如果存在at(t∈N*)，使得|at|≥|at-bn|，那么称at是该向量组的“好向量”. (1)若a3是向量组a1，a2，a3的“好向量”，且an=(n，x+n)，求实数x的取值范围； (2)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“好向量”，试探究a1，a2，a3的等量关系并加以证明. 解　(1)由题意|a3|≥|a1+a2|， 而a1=(1，x+1)，a2=(2，x+2)，a3=(3，x+3)， a1+a2=(3，2x+3)， 所以解得-2≤x≤0， 所以x的取值范围是[-2，0]. (2)a1，a2，a3的等量关系是a1+a2+a3=0，证明如下： 由题意a1是向量组a1，a2，a3的“好向量”， 所以|a1|≥|a2+a3|， 则 即 所以+2a2·a3+ 同理+2a1·a3++2a2·a1+ 三式相加并整理得0≥+++2a1·a2+2a2·a3+2a1·a3， 所以≤0，|a1+a2+a3|≤0， 所以a1+a2+a3=0. 8.记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V(a，b)=. (1)若a=(-1，3)，b=(2，-6)，求出集合V(a，b)中的三个元素； (2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. (1)解　设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n， 即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3). (2)证明　先证明V(a，b)中的向量都是共线向量， 不妨设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)， 因为a≠b， 所以a1-b1，a2-b2中至少有一个不为0， 若a2-b2≠0，记e1= 显然e1·(a-b)=0， 即e1·a=e1·b， 故e1∈V(a，b)， 任取v=(x，y)∈V(a，b)， 因为v·a=v·b， 所以v·(a-b)=0， 故x(a1-b1)+y(a2-b2)=0，则y=-x， 故v=(x，y)=xe1， 则V(a，b)={v|v=λe1，λ∈R}，则问题得证； 若a2-b2=0，a1-b1≠0，同理可证明V(a，b)={v 其中e2=； 综上，V(a，b)中的向量都是共线向量. 因为V(a，b)=V(a，c)， 所以不妨设v1，v2∈V(a，b)，v1≠v2， 则由V(a，b)定义知v1·a=v1·b， 即v1·(a-b)=0， 同理v2·(a-b)=0， 故v1·(a-b)=v2·(a-b)， 则(a-b)∈V(v1，v2)， 同理可得(a-c)∈V(v1，v2)， 故a-b，a-c为共线向量， 即存在实数λ，使(a-c)=λ(a-b)， 即(1-λ)a=-λb+c， 因为b≠c，所以λ≠1， 所以a=-b+c， 记λ1=-λ2=则λ1+λ2=1， 即一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量中的新定义 微拓展3 考情分析 平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点. 考点一 考点二 考点三 平面向量的外积 与线性运算有关的新定义 平面向量的新定义与新运算 内容索引 平面向量的外积 考点一 定义　向量a与b的外积是一个向量，记为a×b，它的长度|a×b|= |a||b|sin〈a，b〉，它的方向垂直于a，b，且构成右手系的基. 外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，a×b读作“a叉b”. 特别地，当a=0或b=0时，a×b=0. 　(多选)[平面向量的外积]在空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且构成右手系的基(即三个向量 的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)； ②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的是 A.|×|=|×| B.×与共线 C.×=× D.=-(×)· 例1 √ √ √ 由题意，设正方体的棱长为a， 选项A，由几何知识得，△AB1C，△BC1D是全等的等边三角形，且边长为a， ∴∠B1AC=∠DBC1=60°， AB1=AC=AD1=DB=BC1=a， |×|=||||sin∠B1AC=a×a×sin 60°=a2， |×|=|×|=||||sin〈〉 =||||sin(180°-∠DBC1)=a×a×sin(180°-60°)=a2， ∴|×|=|×|，A正确； 选项B，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， 又因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1， 所以A1C1⊥BB1， 又B1B∩B1D1=B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D， 所以A1C1⊥平面BB1D1D， 因为BD1⊂平面BB1D1D， 所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D， 再由右手系知×同向，所以B正确； 选项C，|×|=||||sin∠BAD=a·asin 90°=a2， |×|=||||sin∠BAD=a·asin90°=a2， ∴|×|=|×|， ∵右手系叉乘具有方向， ∴×=-a ×=a ∴×≠×C错误； 选项D=a3，(×)·=-a·=-a3，故D正确. 规律方法 (1)外积的几何意义 S▱ABCD=|a|·(|b|sin θ)=|a×b|. 结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积. 规律方法 (2)外积的性质 ①a×a=0； ②a×b=0⇔a∥b； ③a×b=-(b×a)(交换律不成立)； ④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)； ⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b). (多选)(2024·昭通统考)已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角；定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)：|a×b|=|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则下列说法正确的是 A.若a，b为非零向量，且|a×b|=|a·b|，则〈a，b〉= B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|×| C.已知点A(2，0)，B(-1)，O为坐标原点，则|×|=2 D.若|a×b|=a·b=则|a+2b|的最小值为2 跟踪演练1 √ √ √ 对于A，因为a，b是非零向量， 由|a×b|=|a·b|， 可得|a||b|sin〈a，b〉=|a||b||cos〈a，b〉|， 即sin〈a，b〉=|cos〈a，b〉|， 可得tan〈a，b〉=±1，且〈a，b〉∈[0，π]， 解得〈a，b〉=所以A错误； 对于B，由平行四边形ABCD的面积S=2×|‖|sin〈〉=|×|，所以B正确； 对于C，因为=(2，0)=(-1)， 可知·=-2，||=||=2， 则cos〈〉==- 且〈〉∈[0，π]，可得〈〉= 所以|×|=||||sin〈〉=2故C正确； 对于D，因为|a×b|=a·b= 即|a||b|sin〈a，b〉=|a||b|cos〈a，b〉= 可得tan〈a，b〉=且〈a，b〉∈[0，π]， 可得〈a，b〉=|a||b|=2 则|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=12+|a|2+4|b|2≥12+4|a||b|=12+8 所以|a+2b|≥=2当且仅当|a|=2|b|时，等号成立，所以D正确. 考点二 与线性运算有关的新定义 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量=xe1+ye2，则把实数对{x，y}叫做向量的“@未来坐标”，记={x，y}，已知{x1，y1}，{x2，y2}分别为向量a，b的“@未来坐标”. (1)证明：{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)； 例2 因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以e1·e2=|e1||e2|cos 60°= 所以{x1，y1}·{x2，y2}=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2 =x1x2+x1y2+x2y1+y1y2 =x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)， 即{x1，y1}·{x2，y2}=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1). (2)若向量a，b的“@未来坐标”分别为{sin x，1}，{cos x，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函数f(x)的最值. 因为向量a，b的“@未来坐标”分别为{sin x，1}，{cos x，1}， 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) =sin xcos x+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ =sin xcos x+1+(sin x+cos x). 令t=sin x+cos x=sin 则sin xcos x=(t2-1)， 因为x∈R， 所以-sin即-≤t≤. 令g(t)=(t2+t+1)(-≤t≤)， 因为对称轴为t=-函数图象开口向上， 所以当t=-时， g(t)取得最小值g=×= 当t=时，g(t)取得最大值g()=×(2++1)= 所以f(x)的最小值为最大值为. 解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊值排除. 规律方法 (多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是 A.若a与b共线，则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 跟踪演练2 √ √ √ 对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确； 对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误； 对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确； 对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)， |a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)， 所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确. 平面向量的新定义与新运算 考点三 设非零向量αk=(xk，yk)，βk=(yk，-xk)(k∈N*)，并定义 (1)若α1=(1，2)，α2=(3，-2)，求|α1|，|α2|，|α3|； 例3 因为α1=(1，2)，α2=(3，-2)， 所以|α1|== |α2|==. 依题意得β2=(-2，-3)， 所以x3=α2·α1=3×1+(-2)×2=-1， y3=β2·α1=(-2)×1+(-3)×2=-8， 即α3=(-1，-8)， 所以|α3|==. (2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明； |αk|，|αk+1|，|αk+2|之间的等量关系是|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). 证明如下： 依题意得|αk|= |αk+1|= 所以|αk+1||αk|= =. 因为βk+1=(yk+1，-xk+1)， 所以 即αk+2=(xkxk+1+ykyk+1，xkyk+1-xk+1yk)， 所以|αk+2|= = 故|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). (3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集. 由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1.依此类推得|αk|=1(k∈N*)， 可设αk=(cos θk，sin θk)， 则αk+1=(cos θk+1，sin θk+1)， βk+1=(sin θk+1，-cos θk+1). 依题意得， xk+2=αk+1·αk=cos θk+1cos θk+sin θk+1sin θk=cos(θk+1-θk)， yk+2=βk+1·αk=sin θk+1cos θk-cos θk+1sin θk=sin(θk+1-θk)， 所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)). 同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]， sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))， αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]， sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)，sin(-θk+1))， αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]， sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)，sin(θk-θk+1))， αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]， sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cos θk，sin θk). 所以αk+6=αk(k∈N*). 综上，集合{αk|k∈N*}是有限集. 与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的. 规律方法 (1)已知对任意平面向量=(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ，xsin θ+ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1+4)， 把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 A. B. C. D. 跟踪演练3 √ O为坐标原点，由已知得=(2)， = = 又A(1，2)，所以点P坐标为=+=(1，2)+ =. (2)对于非零向量α，β，定义一种运算：α ∘ β=已知非零向量a，b的夹角θ∈且a ∘ b，b ∘ a都在集合中，则a ∘ b等于 A.或 B.或 C.1 D. √ a ∘ b== ==n∈N， ① 同理可得b ∘ a====m∈N. ② 再由a与b的夹角θ∈ 可得cos2θ∈ ①②两式相乘得cos2θ=m，n∈N， ∴m=n=1，∴a ∘ b==. 1.对于非零向量a，b，定义a⊕b=a·b·tan〈a，b〉.若a⊕b=|a+b|=|a-b| =则tan〈a，b〉等于 A. B. C.2 D.3 拓展练习 思维提升 √ ∵a⊕b=a·b·tan〈a，b〉= ∴tan〈a，b〉=. 由|a+b|=|a-b|= 可得 两式相减得a·b= ∴tan〈a，b〉==2. 2.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a，b构成的平行四边形的面积S可以用a，b的外积a×b表示出来，即S=|a×b|=|x1y2-x2y1|.已知在平面直角坐标 系Oxy中，点A(cos )，B(sin 2α，2cos α)，α∈则△OAB面 积的最大值为 A.1 B. C.2 D.3 √ 已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos )，B(sin 2α，2cos α)，α∈ 因为S△OAB=|×| =|2cos2α-sin 2α| =|sin 2α-2cos2α| =|sin 2α-(1+cos 2α)| =|sin 2α-cos 2α-1| = 因为0≤α≤则-≤2α- 则-≤sin≤1， 则-2≤2sin-1≤1， 则S△OAB=∈[0，1]， 当2α-=-即当α=0时，△OAB面积的最大值为1. 3.(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1， e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ反射坐标系，若=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的反射坐标， 记为=(x，y)，在θ=的反射坐标系中，a=(1，2)，b=(2，-1)，则下列 结论中，正确的是 A.a-b=(-1，3) B.|a|= C.a⊥b D.a在b上的投影向量的长度为- √ √ 利用已知条件， 对于A，a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2，则a-b=(-1，3)，故A正确； 对于B，|a|===故B错误； 对于C，a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2) =2+3e1·e2-2=-故C错误； 对于D，由于|b|==故a在b上的投影向量的长度为==-故D正确. 4.(多选)现在给出一个向量的新运算a×b，叫作向量a与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：①a·(a×b)=0，b·(a×b)=0，且构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；②向量a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉.如图2，在棱长为2的正四面体ABCD中，下列说法正确的是 A.×=× B.4|×|与正四面体的表面积相等 C.(×)·=4 D.|(×)×|=|×(×)| √ √ 对于A，易得|×|=|×|，根据右手系的基的定义，拇指指向×的方向，其垂直于平面ABC，方向向下，同理得×垂直于平面ABC，方向向上，所以××两向量大小相同，方向相反，A错误； 对于B，4|×|=4||||sin =4×2×2×=8正四面体的表面积 为4××||×||×sin=4B错误； 对于C，设×=由A选项知垂直于平面ABC，方向向上，||=||||sin=2 所以(×)·=·=||||cos〈〉 =4cos〈〉. 如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F， 则FD是正四面体ABCD的高〉=∠ADF. 由×FD××AB×AC×sin=×23， 得FD= 所以cos〈〉== 所以(×)·=4×=4C正确； 对于D，|(×)×|=|×|||sin〈(×)〉，|×(×)|=|||×|sin〈(×)〉， 易知|×|=|×|，||=||， sin〈(×)〉=sin〈(×)〉， 所以|(×)×|=|×(×)|，D正确. 5.给出定义：对于向量b=(sin x，cos x)，若函数f(x)=a·b，则称向量a为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量a的伴随函数. 已知AB(1，3)，函数h(x)的伴随向量为n=(0，1)，点P为函数h(x) 的图象上一点，满足=则点P的坐标为　　　　.  (0，1) 由题意，h(x)=cos x，设P(x，cos x)， 因为AB(1，3)， 所以= =(x-1，cos x-3)= 所以+= 由= 得= 即=-x2， 因为-1≤cos x≤1，所以-≤cos x-≤- 所以 又-x2≤ 所以当且仅当x=0时-x2同时等于 此时=-x2成立，所以点P的坐标为(0，1). 6.(2024·邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b= a☉b=.若平面向量a，b满足>>0，且a⊕b和a☉b都在集合中，则a⊕b+a☉b=　　　　.  1或 因为= 设向量a和b的夹角为θ， 因为>>0，所以|a|2+|b|2>2 得到a⊕b==<= 又θ∈[0，π]，所以 所以a⊕b< 又a⊕b在集合中， 所以a⊕b= 所以>即cos θ>； 又因为a☉b===cos θ>cos θ> 所以a☉b=或1， 所以a⊕b+a☉b=1或. 7.对于一个向量组a1，a2，a3，…，an(n≥3，n∈N*)，令bn=a1+a2+…+an，如果存在at(t∈N*)，使得|at|≥|at-bn|，那么称at是该向量组的“好向量”. (1)若a3是向量组a1，a2，a3的“好向量”，且an=(n，x+n)，求实数x的取值范围； 由题意|a3|≥|a1+a2|， 而a1=(1，x+1)，a2=(2，x+2)，a3=(3，x+3)， a1+a2=(3，2x+3)， 所以解得-2≤x≤0， 所以x的取值范围是[-2，0]. (2)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“好向量”，试探究a1，a2，a3的等量关系并加以证明. a1，a2，a3的等量关系是a1+a2+a3=0，证明如下： 由题意a1是向量组a1，a2，a3的“好向量”， 所以|a1|≥|a2+a3|， 则即 所以+2a2·a3+ 同理+2a1·a3++2a2·a1+ 三式相加并整理得0≥+++2a1·a2+2a2·a3+2a1·a3， 所以≤0，|a1+a2+a3|≤0， 所以a1+a2+a3=0. 8.记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V(a，b)= . (1)若a=(-1，3)，b=(2，-6)，求出集合V(a，b)中的三个元素； 设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n， 即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3). (2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. 先证明V(a，b)中的向量都是共线向量， 不妨设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)， 因为a≠b， 所以a1-b1，a2-b2中至少有一个不为0， 若a2-b2≠0，记e1= 显然e1·(a-b)=0， 即e1·a=e1·b， 故e1∈V(a，b)， 任取v=(x，y)∈V(a，b)， 因为v·a=v·b， 所以v·(a-b)=0， 故x(a1-b1)+y(a2-b2)=0，则y=-x， 故v=(x，y)=xe1， 则V(a，b)={v|v=λe1，λ∈R}，则问题得证； 若a2-b2=0，a1-b1≠0，同理可证明V(a，b)={v 其中e2=； 综上，V(a，b)中的向量都是共线向量. 因为V(a，b)=V(a，c)， 所以不妨设v1，v2∈V(a，b)，v1≠v2， 则由V(a，b)定义知v1·a=v1·b， 即v1·(a-b)=0， 同理v2·(a-b)=0， 故v1·(a-b)=v2·(a-b)， 则(a-b)∈V(v1，v2)， 同理可得(a-c)∈V(v1，v2)， 故a-b，a-c为共线向量， 即存在实数λ，使(a-c)=λ(a-b)， 即(1-λ)a=-λb+c， 因为b≠c，所以λ≠1， 所以a=-b+c， 记λ1=-λ2=则λ1+λ2=1， 即一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. 本课结束 THANKS $$