专题二 微拓展2 奔驰定理和四心问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微拓展2　奔驰定理和四心问题 [考情分析]　奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大. 考点一　奔驰定理 奔驰定理： 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 例1　(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 答案　A 解析　因为++=0， 即2+2+=0， 所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍. (2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设=λ+μ则实数λ和μ的值分别为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据奔驰定理，得3+2+4=0， 即3+2(+)+4(+)=0， 整理得=+ 故λ=μ=. [规律方法]　已知P为△ABC内一点，且x+y+z=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|； (2)===. 跟踪演练1　(1)已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且=则实数m等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　由奔驰定理得 S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0， 又+2+m=0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m. ∴== 解得m=4. (2)已知点P，Q在△ABC内+2+3=2+3+5=0，则=　　　　.  答案　 解析　根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5， ∴S△PAB=S△QAB=S△ABC，∴PQ∥AB， 又∵S△PBC=S△ABC，S△QBC=S△ABC， ∴==-=. 考点二　奔驰定理与三角形四心 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： ①若O为△ABC的重心，则++=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1； ②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||； ③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)； ④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且·=·=·. 考向1　奔驰定理与重心 例2　已知O是△ABC的重心·=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵O是△ABC的重心， ∴++=0， 由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1， ∴S△OBC=S△ABC. ∵·=2，∴||||cos∠BAC=2， ∵∠BAC=60°，∴||||=4， 又S△ABC=||||sin∠BAC= ∴△OBC的面积为. 考向2　奔驰定理与外心 例3　已知点P是△ABC的外心，且++λ=0，C=则λ=　　　　　.  答案　 解析　依题意得，sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ， ∴sin 2A=sin 2B， ∴2A=2B或2A+2B=π(舍)， ∴A=B，又C= ∴A=B= 又= ∴λ====. 考向3　奔驰定理与内心 例4　已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.  答案　 解析　∵2+2+3=0，且O为内心， ∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3， 令a=2k，则b=2k，c=3k， 设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R， 又S△ABC=(a+b+c)·r， 即×7k×2=14，得k=2， ∴a=4，b=4，c=6， ∴cos C=-sin C= 又2R==解得R== ∴△ABC的外接圆面积S=πR2=. 考向4　奔驰定理与垂心 例5　已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若+2+3=0，则A=　　　　.  答案　 解析　依题意，可得tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3，因为tan A=-tan(B+C) =- 整理得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C， 可得6tan A=6tan3A， 因为tan A≠0，所以tan A=±1. 又因为tan A<tan B<tan C， 所以tan A=1，所以A=. [易错提醒]　涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件. 跟踪演练2　(多选)(2024·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题正确的有(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=2∶∶1 D.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB= 答案　ABC 解析　对于A，如图， 取BC边的中点D，连接MD， 由SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 得++=0， 所以2+=0，所以A，M，D三点共线，且MA=2MD，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，如图， 因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则有SA=BC·r，SB=AC·r，Sc=AB·r， 所以BC·r·+AC·r·+AB·r·=0， 所以BC·+AC·+AB·=0，故B正确； 对于C，如图， 因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R， 因为∠BAC=45°，∠ABC=60°， 所以∠BMC=90°，∠AMC=120°， 故∠AMB=360°-120°-90°=150°， 所以SA∶SB∶SC=R2sin 90°∶R2sin 120°∶R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150° =1∶∶=2∶∶1， 故C正确； 对于D，由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，如图， 则=4=3. 延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E， 设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y， 所以cos∠BMD==cos∠AMF=得3x2=2y2， 所以cos∠BMD= 则cos∠AMB=-故D错误. 1.(2024·安庆模拟)设O点在△ABC内部，且有3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　) A.2 B. C. D.3 答案　A 解析　根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为=2. 2.设I为△ABC的内心，且2+3+=0，则角C为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由2+3+=0， 可得a∶b∶c=2∶3∶ 令a=2k，则b=3k，c=k， 则cos C== 又C∈(0，π)，所以C=. 3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=2则△BGC的面积为(　　) A.12 B.8 C.4 D.4 答案　C 解析　cos A=== 又A∈(0，π)，∴A= ∴S△ABC=×6×8×sin=12 又G为△ABC的重心， ∴++=0， 即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1， ∴S△BGC=S△ABC=4. 4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若=λ+μ则3λ+6μ的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.7 答案　C 解析　=λ+μ可化为+λ-λ+μ-μ=0， 整理得(1-λ)+(λ-μ)+μ=0， 所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2， 解得λ=μ= 所以3λ+6μ=3×+6×=3. 5.已知点A，B，C，P在同一平面内===则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由= 得-=-)， 整理得=+=+ 由=得=-)， 整理得=- ∴-=+ 整理得4+6+9=0， ∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4. 6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　延长CO交AB于点P， ∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB， ∴S1∶S2=∶ =BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA) =tan∠COB∶tan∠COA =tan(π-A)∶tan(π-B) =tan A∶tan B. 同理可得S1∶S3=tan A∶tan C， ∴S1∶S2∶S3=tan A∶tan B∶tan C. 又S1·+S2·+S3·=0， ∴tan A·+tan B·+tan C·=0. 又+2+3=0， ∴tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3. 不妨设tan A=k，tan B=2k，tan C=3k，其中k≠0. ∵tan A=-tan(B+C)=- ∴k=-解得k=±1. 当k=-1时，此时tan A<0，tan B<0，tan C<0， 则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去. 故k=1，则tan C=3>0，故C为锐角， ∴解得cos C=. 7.(多选)(2024·保定模拟)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3+4+5=0，则以下命题正确的有(　　) A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5 B.O有可能是△ABC的重心 C.若O为△ABC的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5 D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形 答案　AD 解析　对于A，由奔驰定理可得，3+4+5=SA·+SB·+SC·=0， 因为不共线， 所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确； 对于B，若O是△ABC的重心， 则++=0， 因为3+4+5=0，所以=2即O，B，C三点共线，故B错误； 对于C，当O为△ABC的外心时，||=||=||， 所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB=3∶4∶5， 即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C错误； 对于D，当O为△ABC的内心时， SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr =a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 所以a2+b2=c2，所以C=故D正确. 8.(多选)(2024·重庆模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A.若||+||+||=0，则点O是△ABC的重心 B.若·=·=0，则点O是△ABC的内心 C.若(+)·=(+)·=0，则点O是△ABC的外心 D.若O为△ABC的外心，且2=+则B为△ABC的垂心 答案　BCD 解析　对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，使得== 则||=||=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示， 则四边形ADFE是菱形，且=+=+所以AF平分∠BAC， 因为||+||+||=0， 即a+b+c=0， 所以a·+b·(+)+c·(+)=0， 即(a+b+c)+b+=0， 所以=+ == 所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上， 同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误； 对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得==如图， 则||=||=1，且-= 因为·=0， 即⊥又||=||=1知，AO平分∠BAC， 同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确； 对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图， 因为(+)·=(+)·=0， 所以2·=2·=0， 即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确； 对于D，因为2=+ 所以=-即O为AC的中点， 又O为△ABC的外心， 所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确. 9.已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56a+40b+35c=0，则B=　　　　.  答案　 解析　依题意，可得56a=40b=35c， 所以b=a，c=a， 所以cos B== 因为0<B<π，所以B=. 10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为x，y，则x+y的最大值是　　　　.  答案　 解析　方法一　据奔驰定理得+x+y=0，即=2x+2yx>0，y>0， 平方得=4x2+4y2+8xy||·||·cos∠BPC， 又因为点P是△ABC的外心，∠BAC= 所以||=||=||， 且∠BPC=2∠BAC= 所以x2+y2+xy= (x+y)2=+xy≤+ 解得x+y≤当且仅当x=y=时取等号， 所以(x+y)max=. 方法二　因为点P是△ABC的外心，所以 S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=∶x∶y，x>0，y>0， 又∠BAC=∴sin 2A= ∴x=sin 2B，y=sin 2C， ∴x+y=(sin 2B+sin 2C) = =sin 又∵B∈ ∴2B-∈ ∴sin∈ ∴x+y∈ ∴(x+y)max=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 奔驰定理和四心问题 微拓展2 考情分析 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大. 考点一 考点二 奔驰定理 奔驰定理与三角形四心 内容索引 奔驰定理 考点一 奔驰定理： 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 　(1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++ =0，则△ABC的面积是△ABD的面积的 A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 例1 √ 因为++=0， 即2+2+=0， 所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1， 所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍. (2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设=λ+μ则实数λ和μ的值分别为 A. B. C. D. √ 根据奔驰定理，得3+2+4=0， 即3+2(+)+4(+)=0， 整理得=+ 故λ=μ=. 规律方法 已知P为△ABC内一点，且x+y+z=0(x，y，z∈R，xyz≠0， x+y+z≠0)，则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|； (2)===. (1)已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且= 则实数m等于 A.2 B.3 C.4 D.5 跟踪演练1 √ 由奔驰定理得 S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0， 又+2+m=0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m. ∴== 解得m=4. (2)已知点P，Q在△ABC内+2+3=2+3+5=0，则 =　　　　.  根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5， ∴S△PAB=S△QAB=S△ABC，∴PQ∥AB， 又∵S△PBC=S△ABC，S△QBC=S△ABC， ∴==-=. 考点二 奔驰定理与三角形四心 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： ①若O为△ABC的重心，则++=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1； ②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0， 且||=||=||； ③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0， 或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)； ④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且·=·=·. 已知O是△ABC的重心·=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为 A. B. C. D. 例2 √ 考向1　奔驰定理与重心 ∵O是△ABC的重心， ∴++=0， 由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1， ∴S△OBC=S△ABC. ∵·=2，∴||||cos∠BAC=2， ∵∠BAC=60°，∴||||=4， 又S△ABC=||||sin∠BAC= ∴△OBC的面积为. 已知点P是△ABC的外心，且++λ=0，C=则λ=　　　.  例3 考向2　奔驰定理与外心 依题意得，sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ， ∴sin 2A=sin 2B， ∴2A=2B或2A+2B=π(舍)， ∴A=B，又C= ∴A=B= 又= ∴λ====. 已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2+ 2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.  例4 考向3　奔驰定理与内心 ∵2+2+3=0，且O为内心， ∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3， 令a=2k，则b=2k，c=3k， 设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R， 又S△ABC=(a+b+c)·r， 即×7k×2=14，得k=2， ∴a=4，b=4，c=6， ∴cos C=-sin C= 又2R==解得R== ∴△ABC的外接圆面积S=πR2=. 已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若+2+3=0，则A=　　　　.  例5 考向4　奔驰定理与外心 依题意，可得tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3，因为tan A=-tan(B+C) =- 整理得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C， 可得6tan A=6tan3A， 因为tan A≠0，所以tan A=±1. 又因为tan A<tan B<tan C， 所以tan A=1，所以A=. 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件. 易错提醒 (多选)(2024·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下 命题正确的有 A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=2∶∶1 D.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB= 跟踪演练2 √ √ √ 对于A，如图， 取BC边的中点D，连接MD， 由SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 得++=0， 所以2+=0，所以A，M，D三点共线，且MA=2MD，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，如图， 因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则有SA=BC·r，SB=AC·r，Sc=AB·r， 所以BC·r·+AC·r·+AB·r·=0， 所以BC·+AC·+AB·=0，故B正确； 对于C，如图， 因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R， 因为∠BAC=45°，∠ABC=60°， 所以∠BMC=90°，∠AMC=120°， 故∠AMB=360°-120°-90°=150°， 所以SA∶SB∶SC=R2sin 90°∶R2sin 120°∶R2sin 150° =sin 90°∶sin 120°∶sin 150°=1∶∶=2∶∶1， 故C正确； 对于D，由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，如图， 则=3. 延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E， 设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y， 所以cos∠BMD==cos∠AMF=得3x2=2y2，所以cos∠BMD= 则cos∠AMB=-故D错误. 1.(2024·安庆模拟)设O点在△ABC内部，且有3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为 A.2 B. C. D.3 拓展练习 思维提升 √ 根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为=2. 2.设I为△ABC的内心，且2+3+=0，则角C为 A. B. C. D. √ 由2+3+=0， 可得a∶b∶c=2∶3∶ 令a=2k，则b=3k，c=k， 则cos C== 又C∈(0，π)，所以C=. 3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=2则△BGC的面积为 A.12 B.8 C.4 D.4 √ cos A=== 又A∈(0，π)，∴A= ∴S△ABC=×6×8×sin=12 又G为△ABC的重心， ∴++=0， 即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1， ∴S△BGC=S△ABC=4. 4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若=λ+ μ则3λ+6μ的值为 A.1 B.2 C.3 D.7 √ =λ+μ+λ-λ+μ-μ=0， 整理得(1-λ)+(λ-μ)+μ=0， 所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2， 解得λ=μ= 所以3λ+6μ=3×+6×=3. 5.已知点A，B，C，P在同一平面内===则 S△ABC∶S△PBC等于 A. B. C. D. √ 由= 得-=-)， 整理得=+=+ 由=得=-)， 整理得=- ∴-=+ 整理得4+6+9=0， ∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4. 6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos C等于 A. B. C. D. √ 延长CO交AB于点P， ∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB， ∴S1∶S2=∶ =BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA) =tan∠COB∶tan∠COA =tan(π-A)∶tan(π-B) =tan A∶tan B. 同理可得S1∶S3=tan A∶tan C， ∴S1∶S2∶S3=tan A∶tan B∶tan C. 又S1·+S2·+S3·=0， ∴tan A·+tan B·+tan C·=0. 又+2+3=0， ∴tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3. 不妨设tan A=k，tan B=2k，tan C=3k，其中k≠0. ∵tan A=-tan(B+C)=- ∴k=-解得k=±1. 当k=-1时，此时tan A<0，tan B<0，tan C<0， 则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去. 故k=1，则tan C=3>0，故C为锐角， ∴解得cos C=. 7.(多选)(2024·保定模拟)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3+4+5=0，则以下命题正确的有 A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5 B.O有可能是△ABC的重心 C.若O为△ABC的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5 D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形 √ √ 对于A，由奔驰定理可得，3+4+5=SA·+SB·+SC·=0， 因为不共线， 所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确； 对于B，若O是△ABC的重心， 则++=0， 因为3+4+5=0，所以=2即O，B，C三点共线，故B错误； 对于C，当O为△ABC的外心时，||=||=||， 所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB=3∶4∶5， 即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C错误； 对于D，当O为△ABC的内心时， SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr =a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 所以a2+b2=c2，所以C=故D正确. 8.(多选)(2024·重庆模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有 A.若||+||+||=0，则点O是△ABC的重心 B.若·=·=0，则点O是△ABC的内心 C.若(+)·=(+)·=0，则点O是△ABC的外心 D.若O为△ABC的外心，且2=+则B为△ABC的垂心 √ √ √ 对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D， E，使得== 则||=||=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示， 则四边形ADFE是菱形，且=+=+所以AF平分∠BAC， 因为||+||+||=0， 即a+b+c=0， 所以a·+b·(+)+c·(+)=0， 即(a+b+c)+b+=0， 所以=+ == 所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上， 同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误； 对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得==如图， 则||=||=1，且-= 因为·=0， 即⊥又||=||=1知，AO平分∠BAC， 同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确； 对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图， 因为(+)·=(+)·=0， 所以2·=2·=0， 即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确； 对于D，因为2=+ 所以=-即O为AC的中点， 又O为△ABC的外心， 所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确. 9.已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56a+40b+35c=0，则B=　　　.  依题意，可得56a=40b=35c， 所以b=a，c=a， 所以cos B== 因为0<B<π，所以B=. 10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=如图.若△PBC， △PCA，△PAB的面积分别为x，y，则x+y的最大值是　　　　.  方法一　据奔驰定理得+x+y=0， 即=2x+2yx>0，y>0， 平方得=4x2+4y2+8xy||·||·cos∠BPC， 又因为点P是△ABC的外心，∠BAC= 所以||=||=||， 且∠BPC=2∠BAC= 所以x2+y2+xy= (x+y)2=+xy≤+ 解得x+y≤当且仅当x=y=时取等号， 所以(x+y)max=. 方法二　因为点P是△ABC的外心，所以 S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=∶x∶y，x>0，y>0， 又∠BAC=∴sin 2A= ∴x=sin 2B，y=sin 2C， ∴x+y=(sin 2B+sin 2C) = =sin 又∵B∈ ∴2B-∈ ∴sin∈ ∴x+y∈ ∴(x+y)max=. 本课结束 THANKS $$