专题二 微拓展1 极化恒等式和等和线定理-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微拓展1　极化恒等式和等和线定理 [考情分析]　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁. 考点一　极化恒等式 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·=(||2-||2)(平行四边形模式)； ②·=||2-||2(三角形模式). 例1　(1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则·等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式·=-·=-=-=-. (2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·=4，则点P的轨迹为(　　) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 答案　D 解析　设M，N的中点为A，由极化恒等式可得·=-=4，因为M，N是两个定点，从而|PA|为定值，所以点P的轨迹为圆. (3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是　　　　　.  答案　[0，4] 解析　如图，∵PA⊥PB， ∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO， 由向量极化恒等式知·=||2-||2=||2-1， 当点P在A(或B)处时，||max= 当点P在的中点时，||min=1， ∴||∈[1]， ∴·的取值范围是[0，4]. [规律方法]　在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式. 跟踪演练1　(1)如图，在四边形ABCD中，||=4·=12，E为AC的中点.=2则·的值为(　　) A.0 B.12 C.2 D.6 答案　A 解析　∵||=4，E为AC的中点， ∴||=||=2， 根据极化恒等式可得·=||2-||2=||2-4=12， ∴||=4， ∴||=||=2， ∴·=·=||2-||2=4-4=0. (2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则·的最小值为(　　) A.7 B.9 C.13 D.15 答案　A 解析　由椭圆C：+=1可得F1(-1，0)，F2(1，0)， 设原点为O，根据极化恒等式可得 ·=||2-||2=||2-1， 点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO|min==2故·的最小值为7. (3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·=λ成立，那么λ的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4) 答案　D 解析　如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得·=-4=λ即=λ+4，所以||=由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<<2解得0<λ<4. 考点二　等和线 平面向量等和线定理 平面内一组基底{}及任一向量且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 例2　(1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点=3=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由图可知，直线AC是以{}为基底，值为1的等和线. 设DM与AC交于点N+x=k， 又因为AC∥EF，则= 根据等和线定理可得k= 所以+x=解得x=. (2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=若点C为弧AB上任意一点，且=x+y(x，y∈R)，则x+y的最大值是　　　　.  答案　2 解析　如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB. 因为OA=1，∠AOB= 所以OE=则k===2， 即x+y的最大值为2. [规律方法]　用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 跟踪演练2　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于(　　) A.1 B. C. D. 答案　B 解析　如图，AD为以{}为基底，值是1的等和线， 延长BE交AD于点F， 过E作AD的平行线， 设λ+μ=k，则k=. 由图易知= 所以λ+μ=. (2)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且=λ+μ则λ+μ的取值范围为(　　) A.[2，3] B.[1，2] C.[1，3] D.[1，4] 答案　C 解析　如图，当点P位于线段BC上时， (λ+μ)min=1， 当点P位于点D时， (λ+μ)max=3. 故1≤λ+μ≤3. 1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·等于(　　) A. B.3 C.2 D.5 答案　B 解析　设CD的中点为O，由极化恒等式可得·=||2-||2=3. 2.(2024·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设=a=b，向量=λa+μb，则λ+μ的值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　C 解析　如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ+μ=k，则k=. 由题易知O为△ABC的重心= 所以λ+μ=. 3.(2024·九江模拟)如图，正六边形的边长为2半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为(　　) A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8] 答案　B 解析　由极化恒等式可得·=-=-1， 当OM与正六边形的边垂直时= 当点M运动到正六边形的顶点时=2 所以||∈[2]， 则∈[6，8]， 即·=(||2-1)的取值范围为[5，7]. 4.若AB为双曲线-=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则·的最大值为(　　) A. B.7 C.-7 D.-16 答案　C 解析　如图，O为AB的中点，连接MO， ·=||2-||2， 而|MO|max=|OC|+1=3，|AB|min=2a=8， 所以(·)max=9-×64=-7. 5.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若=x+y则2x+2y的最大值为(　　) A. B.2 C. D.1 答案　A 解析　作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， ∵BC∥EF，设==k， 则k∈ 由等和线定理得x+y=k， ∴2x+2y=2k≤. 6.如图，△AOB为直角三角形，OA=1，OB=2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·=　　　　.  答案　 解析　取AO的中点Q，连接PQ(图略)·=·=||2-||2=-=. 7.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若·的最小值为3，则cos∠ACB=　　　　　　　　.  答案　 解析　取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=MN=1， 依题意·=-=-1， 因为·的最小值为3， 则||的最小值为2，因此CO=2， 在Rt△AOC中，cos∠OCA== sin∠OCA= 在Rt△BOC中，cos∠OCB== sin∠OCB=所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB=. 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设=+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　　　　.  答案　 解析　如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满足|AG|<d<|AG|+|EF|， 又|AG|== |EF|=2|EC|=2|CD|sin∠ABD= 所以<d< 由等和线定理得α+β=所以1<α+β<. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 极化恒等式和等和线定理 微拓展1 考情分析 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁. 考点一 考点二 极化恒等式 等和线 内容索引 极化恒等式 考点一 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形 的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·=(||2-||2)(平行四边形模式)； ②·=||2-||2(三角形模式). 　(1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则·等于 A. B. C.- D.- 例1 √ 设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式 ·=-·=-=-=-. (2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·=4，则点P的轨迹为 A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 √ 设M，N的中点为A，由极化恒等式可得·=-=4， 因为M，N是两个定点，从而|PA|为定值，所以点P的轨迹为圆. (3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是　　　　　.  [0，4] 如图，∵PA⊥PB， ∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO， 由向量极化恒等式知·=||2-||2=||2-1， 当点P在A(或B)处时，||max= 当点P在的中点时，||min=1， ∴||∈[1]， ∴·的取值范围是[0，4]. 规律方法 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式. (1)如图，在四边形ABCD中，||=4·=12，E为AC的中点.=2则·的值为 A.0 B.12 C.2 D.6 跟踪演练1 √ ∵||=4，E为AC的中点， ∴||=||=2， 根据极化恒等式可得·=||2-||2=||2-4=12， ∴||=4， ∴||=||=2， ∴·=·=||2-||2=4-4=0. (2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别 为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则·的最小值为 A.7 B.9 C.13 D.15 √ 由椭圆C：+=1可得F1(-1，0)，F2(1，0)， 设原点为O，根据极化恒等式可得 ·=||2-||2=||2-1， 点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO|min==2故·的最小值为7. (3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·=λ成立，那么λ的取值范围是 A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4) √ 如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得·=-4=λ即=λ+4，所以||=由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<<2解得0<λ<4. 考点二 等和线 平面向量等和线定理 平面内一组基底{}及任一向量且=λ+μ(λ，μ∈R)， 若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===则λ+μ= k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. (1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的 点=3=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)， 则x等于 A. B. C. D. 例2 √ 由图可知，直线AC是以{}为基底，值为1的等和线. 设DM与AC交于点N+x=k， 又因为AC∥EF，则= 根据等和线定理可得k= 所以+x=解得x=. (2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=若点C为弧AB上任意一点，且=x+y(x，y∈R)，则x+y的最大值是　　　　.  2 如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB. 因为OA=1，∠AOB= 所以OE=则k===2， 即x+y的最大值为2. 用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 规律方法 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于 A.1 B. C. D. 跟踪演练2 √ 如图，AD为以{}为基底，值是1的等和线， 延长BE交AD于点F， 过E作AD的平行线， 设λ+μ=k，则k=. 由图易知= 所以λ+μ=. (2)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且=λ+μ则λ+μ的取值范围为 A.[2，3] B.[1，2] C.[1，3] D.[1，4] √ 如图，当点P位于线段BC上时， (λ+μ)min=1， 当点P位于点D时， (λ+μ)max=3. 故1≤λ+μ≤3. 1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·等于 A. B.3 C.2 D.5 拓展练习 思维提升 √ 设CD的中点为O，由极化恒等式可得·=||2-||2=3. 2.(2024·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设=a=b，向量=λa+μb，则λ+μ的值为 A.1 B. C. D. √ 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ+μ=k，则k=. 由题易知O为△ABC的重心= 所以λ+μ=. 3.(2024·九江模拟)如图，正六边形的边长为2半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为 A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8] √ 由极化恒等式可得·=-=-1， 当OM与正六边形的边垂直时= 当点M运动到正六边形的顶点时=2 所以||∈[2]， 则∈[6，8]， 即·=(||2-1)的取值范围为[5，7]. 4.若AB为双曲线-=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上 的一个动点，则·的最大值为 A. B.7 C.-7 D.-16 √ 如图，O为AB的中点，连接MO， ·=||2-||2， 而|MO|max=|OC|+1=3，|AB|min=2a=8， 所以(·)max=9-×64=-7. 5.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若=x+y则2x+2y的最大值为 A. B.2 C. D.1 √ 作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， ∵BC∥EF，设==k， 则k∈ 由等和线定理得x+y=k， ∴2x+2y=2k≤. 6.如图，△AOB为直角三角形，OA=1，OB=2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·=　　　.  取AO的中点Q，连接PQ(图略)·=·=||2-||2=-=. 7.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若·的最小值为3，则cos∠ACB=　　　　.  取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=MN=1， 依题意·=-=-1， 因为·的最小值为3， 则||的最小值为2，因此CO=2， 在Rt△AOC中，cos∠OCA== sin∠OCA= 在Rt△BOC中，cos∠OCB== sin∠OCB=所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB) =cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB=. 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设= +β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　　.  如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满足|AG|<d<|AG|+|EF|， 又|AG|== |EF|=2|EC|=2|CD|sin∠ABD= 所以<d< 由等和线定理得α+β=所以1<α+β<. 本课结束 THANKS $$