专题二 微专题1 三角函数-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

三角函数 微专题1 考情分析 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下. 考点一 考点二 考点三 三角函数的运算 三角函数的图象与解析式 三角函数的性质 专题强化练 内容索引 三角函数的运算 考点一 1.同角关系：sin2α+cos2α=1，=tan α. 2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变， 符号看象限”. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)=. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α； (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； (3)tan 2α=. 　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于 A.-3m B.- C. D.3m 例1 √ 由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. (2)已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于 A. B. C.1 D. √ 由基本不等式可得 sin αcos β≤， sin βcos γ≤， sin γcos α≤， 三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤，当且仅当α，β，γ均为时等号成立， 所以tan θ=， 则sin θ(sin θ+cos θ)===. 二级结论 (1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α知，sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三者知一可求二. (1)(2024·辽宁实验中学模拟)已知α∈，3sin 2α=cos 2α+1， 则tan 2α等于 A. B. C. D. 跟踪演练1 √ 由3sin 2α=cos 2α+1， 得6sin αcos α=2cos2α， 而α∈，即cos α>0，则tan α=， 所以tan 2α===. (2)已知f(x)=+，x∈，则函数y=f(x)的最小值为　　　　.  4 由题意知，f(x)=+=， 令t=sin x+cos x=sin， 由0<x<<x+<， 所以<sin≤1， 则1<t≤. 由t=sin x+cos x， 得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x， 所以sin xcos x=， 则原函数可化为g(t)===， 显然函数y=t-在(1，]上单调递增， 故当t=时，y=t-，此时g(t)取得最小值4，即函数 y=f(x)的最小值为4. 三角函数的图象与解析式 考点二 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 (1)(2024·海口模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)的部分图象如图所示，则 A.f(x)=cos B.f(x)=cos C.f(x)=cos D.f(x)=cos 例2 √ 由题图可知，f(0)=-，所以cos φ=-， 所以φ=+2kπ，k∈Z或φ=+2kπ，k∈Z， 因为-π<φ<0，所以φ=-， 又f=cos=0， 所以ω-=+kπ，k∈Z， 得ω=2+k，k∈Z， 又<<T，得<ω<3， 综上，ω=2，所以f(x)=cos. (2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数 y=2sin图象上所有的点 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ √ 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象， B错误； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象， C错误； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确. 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M， 最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=. (2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 规律方法 (1)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(4x+φ)，先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象 关于y轴对称，则f等于 A. B.- C. D.- 跟踪演练2 √ 先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移个单位长度， 得到y=sin=sin的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到g(x)=sin的图象， 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 所以-+φ=kπ+，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z， 又因为|φ|<，所以φ=-，所以f(x)=sin， 所以f=sin=sin=. (2)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象， 则g(x)的解析式为 A.g(x)=2cos B.g(x)=2cos C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2cos 2x √ 由图象可知A=2，=， 则f(x)的一个最低点为， f(x)的最小正周期T=，则ω==3， f=2cos=-2，即-φ=π+2kπ(k∈Z)， 所以φ=-2kπ(k∈Z)， 又因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2cos， 将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得y=2cos的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度， 得y=2cos=2cos 2x的图象，故g(x)=2cos 2x. 三角函数的性质 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由+2kπ ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对 称轴. (3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+ (k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. (1)已知直线x=，x=是函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，且f-f=-4，则f(φ)等于 A.- B. C.-1 D.1 √ 例3 由题意可知T=-=， 所以T=.由T=， 得=，所以ω=4， 因为f-f=-4， 且直线x=，x=是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴， 所以A=f=2， 所以f(x)=2sin(4x+φ)， 由f=2sin=2， 得4×+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 则f(φ)=f=2sin=2sin=1. (2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin+cos，则 A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在[0，π]上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 √ √ 函数f(x)=sin+cos=sin+cos =sin+sin=2sin. 选项A，当x∈时，2x+∈， 所以sin∈， 所以f(x)的取值范围是，故A正确； 选项B，当x∈≤2x+， f(x)=2sin不单调，故B错误； 选项C，当x∈[0，π]时，≤2x+， 可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，在[0，π]上有 2个零点，故C正确； 选项D，f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin =2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误. 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 规律方法 (1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 跟踪演练3 √ 依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin， 当x∈时，2x+∈， 显然sin=sin=-，sin =1， 且正弦函数y=sin x在上单调递减， 由f(x)在区间， 得≤2m+，解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是. (2)(多选)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若 f=f=1，且∀x∈，都有f(x)<1，则 A.y=f(x)在上单调递减 B.y=f(x)的图象关于点对称 C.若f=，则sin=- D.y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数g(x)是偶函数 √ √ 对于A，因为f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)， 所以f(x)max=1， 又f=f=1， 且∀x∈，都有f(x)<1， 所以T=-=π， 所以T==π，解得ω=2， 即f(x)=sin， 又f=sin=1， 所以-+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ=，所以f(x)=sin， 当x∈时，2x+∈， 又y=sin x在上不单调， 所以y=f(x)在上不单调，故A错误； 对于B，因为f=sin=sin 2π=0， 所以y=f(x)的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由f=，得sin=， 所以sin=sin =-cos 2=2sin2-1=-，故C正确； 对于D，将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到 g(x)=sin=sin的图象，显然g(x)是非奇非偶函数，故D错误. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D B C B C 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 BD ABD ACD -(答案不唯一) - - ABD cos θ+cos +cos+…+ cos=0，θ∈R，n≥3　 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 14 15 16 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P，则cos等于 A.- B. C.- D. √ 素养提升 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为角α的终边与单位圆相交于点P，所以sin α=，cos α=-， 所以cos=cos αcos-sin αsin =-×-×=-. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于A.cos 4x B.-cos 4x C.cos x D.-cos x √ 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度， 得到y=sin 2的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得 到g(x)=sin 2的图象， 所以g(x)=sin=cos x. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ-+i是纯虚数，则tan 2θ等于 A.- B.± C.- D.± √ 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为z=sin θ-+i是纯虚数， 所以所以sin θ=， 所以cos θ=-=-， 所以tan θ=-，故tan 2θ==-. 答案 14 15 16 4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度， 得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为 A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=-2sin D.g(x)=-2sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 由题意可知f(x)的周期T满足 =-=2，得T=4， 即=4，得ω=， 所以f(x)=2sin， 因为点B是f(x)图象上的一个点， 所以f=2sin=2，sin=1， 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 则+φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 将f(x)的图象向右平移2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin =-2sin的图象. 14 15 16 5.(2024·长沙模拟)已知α∈，且cos 2α=sin，则sin 2α等于 A.- B. C.-1 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 √ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵cos 2α=sin， ∴(cos2α-sin2α)=(sin α+cos α)， ∴(cos α+sin α)=0， 又α∈， 则sin α>0，cos α>0，即cos α+sin α>0， ∴cos α-sin α=， ∵α∈， 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴2α∈(0，π)，sin 2α>0. 由(cos α-sin α)2=1-sin 2α=， 得sin 2α=，符合题意. 综上，sin 2α=. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的 交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2024·广东省百日冲刺联合学业质量监测)已知cos2α-cos2β=-，sin(α-β) =，则cos(2α+2β)等于 A.- B. C.- D. √ 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为cos2α-cos2β=- =(cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)sin(α-β)=-， 得到sin(α+β)sin(α-β)=， 又sin(α-β)=，所以sin(α+β)=， 所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-=. 答案 14 15 16 8.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈，若存在x1≠x2， 使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是 A.(-∞，1] B.[，+∞) C.(1，) D.[1，] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 14 15 16 若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在上不是单调函数， 易知f'(x)=acos x-sin x， 若函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0恒成立，即acos x-sin x≥0， 所以a≥=tan x在上恒成立，则a≥； 同理，若函数f(x)为减函数，则f'(x)≤0恒成立，得a≤1， 即若函数f(x)在上不单调，则1<a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 14 15 16 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(2024·合肥模拟)已知x1，x2是函数f(x)=2sin(ω>0)的两个零点，且|x1-x2|的最小值是，则 A.函数y=f为奇函数 B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 D.f(x)在上有且仅有1个零点 答案 √ √ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T=2×=， 所以ω=2，f(x)=2sin. 对于A，f=2sin=-2cos 2x，为偶函数，故A错误； 对于B，因为f=2sin=2sin=-2， 所以f(x)的图象关于直线x=-对称，故B正确； 对于C，将g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y=2sin 2 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 =2sin≠f(x)，故C错误； 对于D，当x∈时，2x-∈， 当且仅当2x-=π，即x=时，f(x)=0， 即f(x)在上有且仅有1个零点，故D正确. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)=，g(θ)=，则 A.f(θ)=sin θ+cos θ B.g(θ)=sin C.若=2，则sin 2θ= D.f(θ)g(θ)是周期函数 答案 √ √ √ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|=m， 所以cos θ=，sin θ=， 则f(θ)==sin θ+cos θ=sin， g(θ)==sin θ-cos θ=sin，故A，B正确； ===2，解得tan θ=3， 又由sin 2θ=2sin θcos θ====，故C错误； f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ， 因为y=cos 2θ为周期函数，所以f(θ)g(θ)=-cos 2θ为周期函数，故D正确. 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2024·日照模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列命题正确的是 A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在上单调递减 C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于直线x=对称 D.若圆C的半径为，则f(x)=sin 答案 √ √ √ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 A选项，由对称性可知C点的横坐标为=， 设f(x)的最小正周期为T，则T=-=，解得T=π，A正确； B选项，因为ω>0，所以ω==2，点在图象上，将其代入函数解析式得sin=0， 又0<φ<π，故φ=， 故f(x)=Asin， 当-<x<-时，-<2x+<-， 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 又A>0，令z=2x+，则y=sin z在上不单调， 故函数f(x)在上不单调递减，B错误； C选项，函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到 g(x)=Asin=Asin=Acos 2x的图象， 其中g=Acos π=-A，故g(x)的图象关于直线x=对称，C正确； D选项，若圆C的半径为，即|CM|=， 又xC=+|OM|2=， 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解得|OM|=， 所以将代入f(x)=Asin中得， Asin =，解得A=， 则f(x)=sin，D正确. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、填空题 答案 12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为 原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的 图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值：　　　　　　 .  -(答案不唯一) 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin =sin， 又g(x)的图象关于y轴对称， 所以+φ=+kπ，k∈Z， 解得φ=kπ-，k∈Z， 令k=0，得φ=-. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β =4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  答案 - 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 方法一　由题意得tan(α+β)===-2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0，则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= ===-. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14.(2024·南通统考)已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　.  答案 14 15 16 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 f(x)=3sin-2cos2+1 =3sin-cos =sin， 其中sin φ=，cos φ=， 因为把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=f 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 =sin=sin， 当x∈时，2x-φ∈[-φ，π-φ]， 因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根， 所以有=⇒x1+x2=+φ， 因此cos(x1+x2)=cos=-sin φ=-. 14 15 16 15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数， 记作sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数， 记作cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即=sec α. 思维创新 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 下列结论正确的有 A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z} D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 √ √ √ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 csc==-，A正确； cos α·sec α=cos α·=1，B正确； 函数f(x)=sec x的定义域为 ，C错误； sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++ =1+=1+≥5， 当sin 2α=±1时，等号成立，D正确. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 16.在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到 三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此 类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式______________________ ____________________________________________；  通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=______.  cos+…+cos=0，θ∈R，n≥3 cos θ+cos+ 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 记单位向量e，在边长为1的正n(n≥3)边形A1A2A3…An中， 因为e·(+++…+)=e·0=0， 所以e·+e·+e·+…+e· =cos θ+cos+cos+…+cos=0， cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125° =++. 由恒等式cos θ+cos+cos=0对任意θ∈R恒成立， 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0， 即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0， cos25°+sin225°+cos2125°=++=. 14 15 16 本课结束 THANKS $$ 微专题1　三角函数 [考情分析]　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下. 考点一　三角函数的运算 1.同角关系：sin2α+cos2α=1，=tan α. 2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)=. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α； (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； (3)tan 2α=. 例1　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 答案　A 解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. (2)已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　由基本不等式可得 sin αcos β≤， sin βcos γ≤， sin γcos α≤， 三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤，当且仅当α，β，γ均为时等号成立， 所以tan θ=， 则sin θ(sin θ+cos θ)===. [二级结论]　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α知，sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三者知一可求二. 跟踪演练1　(1)(2024·辽宁实验中学模拟)已知α∈，3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由3sin 2α=cos 2α+1， 得6sin αcos α=2cos2α， 而α∈，即cos α>0，则tan α=， 所以tan 2α===. (2)已知f(x)=+，x∈，则函数y=f(x)的最小值为　　　　　.  答案　4 解析　由题意知，f(x)=+=， 令t=sin x+cos x=sin， 由0<x<，得<x+<， 所以<sin≤1， 则1<t≤. 由t=sin x+cos x， 得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x， 所以sin xcos x=， 则原函数可化为g(t)===， 显然函数y=t-在(1，]上单调递增， 故当t=时，y=t-取得最大值，此时g(t)取得最小值4，即函数y=f(x)的最小值为4. 考点二　三角函数的图象与解析式 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 例2　(1)(2024·海口模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=cos B.f(x)=cos C.f(x)=cos D.f(x)=cos 答案　D 解析　由题图可知，f(0)=-， 所以cos φ=-， 所以φ=+2kπ，k∈Z或φ=+2kπ，k∈Z， 因为-π<φ<0，所以φ=-， 又f=cos=0， 所以ω-=+kπ，k∈Z， 得ω=2+k，k∈Z， 又<<T，得<ω<3， 综上，ω=2，所以f(x)=cos. (2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　AD 解析　把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确. [规律方法]　由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=. (2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 跟踪演练2　(1)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(4x+φ)，先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于y轴对称，则f等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移个单位长度， 得到y=sin=sin的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到g(x)=sin的图象， 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 所以-+φ=kπ+，k∈Z， 即φ=+kπ，k∈Z， 又因为|φ|<，所以φ=-， 所以f(x)=sin， 所以f=sin=sin=. (2)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2cos B.g(x)=2cos C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2cos 2x 答案　D 解析　由图象可知A=2，=， 则f(x)的一个最低点为， f(x)的最小正周期T=，则ω==3， f=2cos=-2，即-φ=π+2kπ(k∈Z)， 所以φ=-2kπ(k∈Z)， 又因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2cos， 将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得y=2cos的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度， 得y=2cos=2cos 2x的图象，故g(x)=2cos 2x. 考点三　三角函数的性质 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 例3　(1)已知直线x=，x=是函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，且f-f=-4，则f(φ)等于(　　) A.- B. C.-1 D.1 答案　D 解析　由题意可知T=-=， 所以T=.由T=， 得=，所以ω=4， 因为f-f=-4， 且直线x=，x=是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴， 所以A=f=2， 所以f(x)=2sin(4x+φ)， 由f=2sin=2， 得4×+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 则f(φ)=f=2sin=2sin=1. (2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin+cos，则(　　) A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在[0，π]上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 答案　AC 解析　函数f(x)=sin+cos =sin+cos =sin+sin=2sin. 选项A，当x∈时，2x+∈， 所以sin∈， 所以f(x)的取值范围是，故A正确； 选项B，当x∈时，≤2x+， f(x)=2sin不单调，故B错误； 选项C，当x∈[0，π]时，≤2x+， 可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，在[0，π]上有2个零点，故C正确； 选项D，f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误. [规律方法]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 跟踪演练3　(1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin， 当x∈时，2x+∈， 显然sin=sin=-，sin =1， 且正弦函数y=sin x在上单调递减， 由f(x)在区间上的值域为， 得≤2m+， 解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是. (2)(多选)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若f=f=1，且∀x∈，都有f(x)<1，则(　　) A.y=f(x)在上单调递减 B.y=f(x)的图象关于点对称 C.若f=，则sin=- D.y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数g(x)是偶函数 答案　BC 解析　对于A，因为f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)， 所以f(x)max=1， 又f=f=1， 且∀x∈，都有f(x)<1， 所以T=-=π， 所以T==π，解得ω=2， 即f(x)=sin， 又f=sin=1， 所以-+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ=， 所以f(x)=sin， 当x∈时，2x+∈， 又y=sin x在上不单调， 所以y=f(x)在上不单调，故A错误； 对于B，因为f=sin=sin 2π=0， 所以y=f(x)的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由f=， 得sin=， 所以sin=sin =-cos 2=2sin2-1=-，故C正确； 对于D，将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin=sin的图象，显然g(x)是非奇非偶函数，故D错误. 专题强化练 (分值：84分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　因为角α的终边与单位圆相交于点P，所以sin α=，cos α=-， 所以cos=cos αcos-sin αsin =-×-×=-. 2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　) A.cos 4x B.-cos 4x C.cos x D.-cos x 答案　C 解析　将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin 2的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin 2的图象， 所以g(x)=sin=cos x. 3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ-+i是纯虚数，则tan 2θ等于(　　) A.- B.± C.- D.± 答案　A 解析　因为z=sin θ-+i是纯虚数， 所以所以sin θ=， 所以cos θ=-=-， 所以tan θ=-，故tan 2θ==-. 4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=-2sin D.g(x)=-2sin 答案　D 解析　由题意可知f(x)的周期T满足 =-=2，得T=4， 即=4，得ω=， 所以f(x)=2sin， 因为点B是f(x)图象上的一个点， 所以f=2sin=2，sin=1， 则+φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 将f(x)的图象向右平移2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin =-2sin的图象. 5.(2024·长沙模拟)已知α∈，且cos 2α=sin，则sin 2α等于(　　) A.- B. C.-1 D.1 答案　B 解析　∵cos 2α=sin， ∴(cos2α-sin2α)=(sin α+cos α)， ∴(cos α+sin α)=0， 又α∈， 则sin α>0，cos α>0，即cos α+sin α>0， ∴cos α-sin α=， ∵α∈， ∴2α∈(0，π)，sin 2α>0. 由(cos α-sin α)2=1-sin 2α=， 得sin 2α=，符合题意. 综上，sin 2α=. 6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 7.(2024·广东省百日冲刺联合学业质量监测)已知cos2α-cos2β=-，sin(α-β)=，则cos(2α+2β)等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　因为cos2α-cos2β=- =(cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)sin(α-β)=-， 得到sin(α+β)sin(α-β)=， 又sin(α-β)=，所以sin(α+β)=， 所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-=. 8.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[，+∞) C.(1，) D.[1，] 答案　C 解析　若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在上不是单调函数， 易知f'(x)=acos x-sin x， 若函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0恒成立，即acos x-sin x≥0， 所以a≥=tan x在上恒成立，则a≥； 同理，若函数f(x)为减函数，则f'(x)≤0恒成立，得a≤1， 即若函数f(x)在上不单调，则1<a<. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2024·合肥模拟)已知x1，x2是函数f(x)=2sin(ω>0)的两个零点，且|x1-x2|的最小值是，则(　　) A.函数y=f为奇函数 B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 D.f(x)在上有且仅有1个零点 答案　BD 解析　由题意可知，函数f(x)的最小正周期T=2×=， 所以ω=2，f(x)=2sin. 对于A，f=2sin=-2cos 2x，为偶函数，故A错误； 对于B，因为f=2sin=2sin=-2， 所以f(x)的图象关于直线x=-对称，故B正确； 对于C，将g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y=2sin 2=2sin≠f(x)，故C错误； 对于D，当x∈时，2x-∈， 当且仅当2x-=π，即x=时，f(x)=0， 即f(x)在上有且仅有1个零点，故D正确. 10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)=，g(θ)=，则(　　) A.f(θ)=sin θ+cos θ B.g(θ)=sin C.若=2，则sin 2θ= D.f(θ)g(θ)是周期函数 答案　ABD 解析　由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|=m， 所以cos θ=，sin θ=， 则f(θ)==sin θ+cos θ=sin， g(θ)==sin θ-cos θ=sin，故A，B正确； ===2，解得tan θ=3， 又由sin 2θ=2sin θcos θ====，故C错误； f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ， 因为y=cos 2θ为周期函数， 所以f(θ)g(θ)=-cos 2θ为周期函数，故D正确. 11.(2024·日照模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列命题正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在上单调递减 C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于直线x=对称 D.若圆C的半径为，则f(x)=sin 答案　ACD 解析　A选项，由对称性可知C点的横坐标为=， 设f(x)的最小正周期为T，则T=-=，解得T=π，A正确； B选项，因为ω>0，所以ω==2，点在图象上，将其代入函数解析式得sin=0， 又0<φ<π，故φ=， 故f(x)=Asin， 当-<x<-时，-<2x+<-， 又A>0，令z=2x+，则y=sin z在上不单调， 故函数f(x)在上不单调递减，B错误； C选项，函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=Asin=Asin=Acos 2x的图象， 其中g=Acos π=-A，故g(x)的图象关于直线x=对称，C正确； D选项，若圆C的半径为，即|CM|=， 又xC=，故+|OM|2=， 解得|OM|=， 所以将代入f(x)=Asin中得，Asin =，解得A=， 则f(x)=sin，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值：　　　　　　.  答案　-(答案不唯一) 解析　由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin=sin， 又g(x)的图象关于y轴对称， 所以+φ=+kπ，k∈Z， 解得φ=kπ-，k∈Z， 令k=0，得φ=-. 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　方法一　由题意得tan(α+β) ===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 14.(2024·南通统考)已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　　　　.  答案　- 解析　f(x)=3sin-2cos2+1 =3sin-cos =sin， 其中sin φ=，cos φ=， 因为把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=f =sin=sin， 当x∈时，2x-φ∈[-φ，π-φ]， 因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根， 所以有=⇒x1+x2=+φ， 因此cos(x1+x2)=cos=-sin φ=-. 15题6分，16题5分，共11分 15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即=sec α. 下列结论正确的有(　　) A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝ D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 答案　ABD 解析　csc==-，A正确； cos α·sec α=cos α·=1，B正确； 函数f(x)=sec x的定义域为 ，C错误； sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++ =1+=1+≥5， 当sin 2α=±1时，等号成立，D正确. 16.在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式　　　　　　；  通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=　　　　　　.  答案　cos θ+cos+cos+…+cos=0，θ∈R，n≥3　 解析　记单位向量e，在边长为1的正n(n≥3)边形A1A2A3…An中， 因为e·(+++…+)=e·0=0， 所以e·+e·+e·+…+e· =cos θ+cos+cos+…+cos=0， cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°=++. 由恒等式cos θ+cos+cos=0对任意θ∈R恒成立， 可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0， 即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0， cos25°+sin225°+cos2125°=++=. 学科网（北京）股份有限公司 $$