专题一 微拓展 导数新定义问题的应用-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

导数新定义问题的应用 微拓展 随着高考的改革，各地模拟试题越来越新颖，压轴题更是百花齐放，泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等以高等数学为背景的题目出现的频率越来越高，在解决部分题目时往往使问题简捷巧妙，甚至可以“秒杀”，在突破难点方面起到了降维打击的作用. 考情分析 考点一 考点二 泰勒展开式 帕德近似 内容索引 考点三 拉格朗日中值定理 泰勒展开式 考点一 1.泰勒公式 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)， 有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)， 其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式. 2.麦克劳林公式 f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)， 虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量) (1)ex=1+x++…++o(xn)； (2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)； (3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)； (4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)，x∈(-1，1]； (5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)； (6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn)，x∈(-1，1). 4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用) (1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)； (2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1). 　(1)已知a=ln 1.01，b=c=则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 例1 √ 由≤ln x≤x-1知 ln 1.01>==c， ∴a>c， ln 1.01<1.01-1=0.01= 又b=>=>> ∴b>a，故b>a>c. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=c=-ln 0.9，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b √ b=≈0.111， 由公式ex=1+x++…， 可得e0.1≈1+0.1+=1.105， 则a=0.1e0.1≈0.110 5， c=-ln 0.9=ln=ln 由公式ln(1+x)=x-++…， 得c=ln≈-≈0.104 9，所以c<a<b. 规律方法 涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用超越不等式或其变形公式解决问题. (1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln 2.02，则 A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 跟踪演练1 √ 设x=0.02，则a=e0.02=1+0.02++…， 显然a>b>1>c. (2)(2022·全国甲卷)已知a=b=cosc=4sin则 A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b √ 根据题意，构造函数f(x)=1- g(x)=cos x，h(x)= 则a=fb=gc=h. 由于较小，所以对g(x)，h(x)在x=0处进行泰勒展开： g(x)=1-++o(x4)， h(x)=1-++o(x4). 显然，在x=时，a=f<b=g<c=h故a<b<c. 帕德近似 考点二 帕德近似：帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近 似定义为R(x)= 且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0). 其中f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[ f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]'. 高中常见的帕德近似公式 ln(1+x)≈x∈(-1，1)， ex≈x∈[-2，2]， sin x≈x∈(-1，1)， cos x≈x∈(-1，1)， tan x≈x∈. 　(1)已知a=e0.3，b=+1，c=则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 例2 √ 利用帕德近似可得， a=e0.3≈=≈1.349 9， b=+1≈×+1=×+1≈1.202 7， 由公式(1+x)α=1+αx+x2+…， 得c==≈1+×0.5-×0.52=1.218 75. 综上，b<c<a. (2)(2024·益阳模拟)若a=2ln 1.1，b=0.21，c=tan 0.21，则 A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c √ 由帕德近似公式得 a=2ln 1.1=2ln(1+0.1) ≈2×=≈0.190 6， c=tan 0.21≈=≈0.213， 又b=0.21，∴c>b>a. 规律方法 对于含指数、对数、正弦、余弦、正切的比较大小，利用帕德近似公式求近似值，非常直接，但是要注意公式的使用条件，公式不能记错. (2024·济宁模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的 [m，n]阶帕德近似定义为R(x)=且满足f(0)=R(0)，f'(0) =R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)= [f″(x)]'，f(4)(x)=[f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数).已知 f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1，1]阶帕德近似为R(x)=. (1)求实数a，b的值； 跟踪演练2 由f(x)=ln(x+1)，R(x)=有f(0)=R(0)， 则f'(x)=f″(x)=-R'(x)=R″(x)= 由题意f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)， 所以所以 (2)比较f(x)与R(x)的大小； 由(1)知，R(x)=令φ(x)=f(x)-R(x)=ln(x+1)-(x>-1)， 则φ'(x)=-=≥0， 所以φ(x)在(-1，+∞)上为增函数， 又φ(0)=f(0)-R(0)=0， 所以当x>0时，φ(x)=f(x)-R(x)>φ(0)=0； 当-1<x<0时，φ(x)=f(x)-R(x)<φ(0)=0； 所以当x>0时，f(x)>R(x)；当x=0时，f(x)=R(x)； 当-1<x<0时，f(x)<R(x). (3)证明：∀n∈N*+++…+<ln 2. 由(2)得当x>0时，f(x)>R(x)， 即ln(x+1)>即当x>0时<ln(x+1). (*) 令=m∈N*，得x= 代入(*)式得<ln. 取m=n+1，n+2，…，2n，n∈N*得 <ln<ln<ln 上面各式相加得++…+<ln<ln 2. 拉格朗日中值定理 考点三 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得 f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点， 在该点处的切线平行于弦AB. 　(2024·襄阳模拟)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足： ①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线； ②在(a，b)内可导； ③对∀x∈(a，b)，g'(x)≠0，则∃ξ∈(a，b)，使得=. 特别地，取g(x)=x，则∃ξ∈(a，b)，使得=f'(ξ)，此情形称之为拉 格朗日中值定理. (1)设函数f(x)满足f(0)=0，其导函数f'(x)在(0，+∞)上单调递增，证明：函 数y=在(0，+∞)上单调递增； 例3 由题= 由拉格朗日中值定理知，对∀x>0，∃ξ∈(0，x)， 使得=f'(ξ)，即=f'(ξ)， 又f'(x)在(0，+∞)上单调递增，则f'(x)>f'(ξ)， 即f'(x)>即当x>0时，xf'(x)-f(x)>0， 所以'=>0， 故y=在(0，+∞)上单调递增. (2)若∀a，b∈(0，e)且a>b，不等式-+m≤0恒成立，求实数m 的取值范围. 因为a>b，所以-+m≤0⇔≤m， 取f(x)=xln x，g(x)=x2， 因为a>b，且a，b∈(0，e)， 所以由柯西中值定理，∃ξ∈(b，a)， 使得=== 由题意得≤m， 设G(x)=(0<x<e)， G'(x)= 当0<x<1时，G'(x)>0，当1<x<e时，G'(x)<0， 所以G(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 所以G(x)max=G(1)=故m≥ 所以实数m的取值范围是. 规律方法 利用拉格朗日中值定理求参数的步骤： (1)分离参数； (2)构造成的形式，求其最值(范围). (1)设函数f(x)=x2+aln x，对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有≥2，则实数a的取值范围是　　　　　.  跟踪演练3 不妨令x1>x2>0， 由拉格朗日中值定理知，∃x0∈(x2，x1)， 使f'(x0)= 故f'(x0)≥2恒成立， 即f'(x0)=2x0+≥2， 即a≥2x0-2x0∈(0，+∞)， 又当x0=时，(2x0-2)max= 所以a≥故实数a的取值范围是 (2)已知函数f(x)=ex-e-x.若对任意x≥0，都有f(x)≥ax，则实数a的取值范围为　　　　.  (-∞，2] 当x=0时，对任意a，都有f(x)≥ax； 当x>0时，f(x)≥ax即a≤对任意x>0恒成立，又= 由拉格朗日中值定理知，在(0，+∞)内至少存在一点ξ， 使得f'(ξ)= 又f'(ξ)=eξ+e-ξ≥2=2，当且仅当ξ=0时等号成立，但ξ>0， 故f'(ξ)>2，所以a≤2， 综上，实数a的取值范围是(-∞，2]. 拓展练习 思维提升 1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算， 则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+…，其中 f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f″' (x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1精确到0.01的近似值为 A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88 √ 根据题意，f(x)=sin x，f'(x)=cos x，f″(x)=-sin x，f″'(x)=-cos x，…， 取x0=0，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…， 则f(x)=sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+… =x-x3+x5-…， 令x=1，代入上式可得f(1)=sin 1=1-+-…=-…≈0.84， 所以sin 1≈0.84. 2.(2024·安康模拟)已知a=e0.2-1，b=ln 1.2，c=则 A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a √ 由帕德近似公式得 a=e0.2-1≈-1≈0.221 4， b=ln 1.2=ln(1+0.2)≈≈0.182 3， c=≈0.166 7，故c<b<a. 3.已知a=e0.1-1，b=sin 0.1，c=ln 1.1，则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a √ ∵sin x=x-+-…， ln(1+x)=x-+-…， ex=1+x+++…， ∴sin 0.1=0.1-+-…， ln 1.1=0.1-+-…， e0.1=1+0.1+++…， 则e0.1-1=0.1+++…， ∴ln 1.1<sin 0.1<0.1<e0.1-1， 故c<b<a. 4.若a=sinb=2ln 3-3ln 2，c=则 A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.a<c<b √ 由帕德近似公式得 a=sin ≈=≈0.062 5， b=2ln 3-3ln 2=ln 9-ln 8=ln =ln ≈=≈0.117 8， c=≈≈0.054 1， ∴c<a<b. 5.已知a=tan b=c=则 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b √ a=tan ≈=≈0.545 5， b=≈0.571 4， c= ≈× ≈0.838 6，∴c>b>a. 6.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x=x-+-+…+(-1)n-1 +…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC=30°，气球的视角α=2°，则该气球的高BC约为　　 米. (精确到1米)  86 由题意过点B作切线的垂线交于点D， 在△ABD中，BD=3， sin 1°= 所以AB= 在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin 30°= 联立可得BC==≈≈86. 7.设函数f(x)=. (1)求f(x)的单调区间； f'(x)= =. 当2kπ-<x<2kπ+(k∈Z)时， -<cos x≤1，即f'(x)>0； 当2kπ+<x<2kπ+(k∈Z)时，-1≤cos x<-即f'(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(k∈Z)， 单调递减区间为(k∈Z). (2)如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围. 当x=0时，f(x)≤ax即为0≤a·0， 所以a∈R； 当x>0时，f(x)≤ax等价于≤a， 由拉格朗日中值定理得，存在x0>0， 使得=f'(x0)， 故只需证当x>0时，a≥f'(x0)恒成立即可. 又f'(x0)= =-3+∈ 所以a≥. 综上，实数a的取值范围为. 8.(2024·绍兴模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)， f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).已知f(x)=ex在x=0处的[1，1]阶帕德近 似为R(x)=. (注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[ f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…) (1)求实数a，b的值； 由题意得R'(x)== R″(x)= f(0)=f'(0)=f″(0)=1，故R'(0)=a-b=1，R″(0)=-2b(a-b)=1， 解得a=b=-. (2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小； 由上可得R(x)==要比较f(x)与R(x)的大小，只需比较ex与的 大小， 只需比较1与e-x的大小， 令g(x)=e-x，x∈(0，1)， g'(x)=e-x=e-x>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=1，即>ex，所以f(x)<R(x). (3)定义数列{an}：a1=an=-1，求证：≤an<. 设u(x)=ex-x-1，u'(x)=ex-1， 当x<0时，u'(x)<0，u(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x>0时，u'(x)>0，u(x)在(0，+∞)上单调递增， 故u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立. 由题意知a1=an=-1，an≠0， 则=>=1，故可得an>0； -=- = 令m(x)=(1-x)ex，x>0，m'(x)=-xex<0， 故m(x)在(0，+∞)上单调递减， 又当x→0+时，y=→0-， 故可得-<0， 即an+1<an，可得0<an≤； 一方面，由(2)可得=<= 又因为>an+1+1，所以可得an+1+1< 即an+1<即>-1， 即-1>2 故-1>2n-1=2n-1， 即>2n-1，所以an<. 另一方面，当n=1时，a1=要证an≥即证an+1≥an≥ 令g(x)=--x，x>0， g'(x)=+-1>0， 所以g(x)在上单调递增， 所以g(an)>g(0)=0， 即--an>0 ⇒> ⇒> ⇒an+1>an，得证. 本课结束 THANKS $$ 微拓展　导数新定义问题的应用 [考情分析]　随着高考的改革，各地模拟试题越来越新颖，压轴题更是百花齐放，泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等以高等数学为背景的题目出现的频率越来越高，在解决部分题目时往往使问题简捷巧妙，甚至可以“秒杀”，在突破难点方面起到了降维打击的作用. 考点一　泰勒展开式 1.泰勒公式 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)， 有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)， 其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式. 2.麦克劳林公式 f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)， 虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量) (1)ex=1+x++…++o(xn)； (2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)； (3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)； (4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)，x∈(-1，1]； (5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)； (6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn)，x∈(-1，1). 4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用) (1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)； (2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1). 例1　(1)已知a=ln 1.01，b=c=则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 答案　D 解析　由≤ln x≤x-1知 ln 1.01>==c， ∴a>c， ln 1.01<1.01-1=0.01= 又b=>=>> ∴b>a，故b>a>c. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=c=-ln 0.9，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 答案　C 解析　b=≈0.111， 由公式ex=1+x++…， 可得e0.1≈1+0.1+=1.105， 则a=0.1e0.1≈0.110 5， c=-ln 0.9=ln=ln 由公式ln(1+x)=x-++…， 得c=ln≈-≈0.104 9， 所以c<a<b. [规律方法]　涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用超越不等式或其变形公式解决问题. 跟踪演练1　(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln 2.02，则(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 答案　B 解析　设x=0.02，则a=e0.02=1+0.02++…， 显然a>b>1>c. (2)(2022·全国甲卷)已知a=b=cosc=4sin则(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 答案　A 解析　根据题意，构造函数f(x)=1- g(x)=cos x，h(x)= 则a=fb=gc=h. 由于较小，所以对g(x)，h(x)在x=0处进行泰勒展开： g(x)=1-++o(x4)， h(x)=1-++o(x4). 显然，在x=时，a=f<b=g<c=h故a<b<c. 考点二　帕德近似 帕德近似：帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)= 且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0). 其中f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[ f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]'. 高中常见的帕德近似公式 ln(1+x)≈x∈(-1，1)， ex≈x∈[-2，2]， sin x≈x∈(-1，1)， cos x≈x∈(-1，1)， tan x≈x∈. 例2　(1)已知a=e0.3，b=+1，c=则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 答案　B 解析　利用帕德近似可得， a=e0.3≈=≈1.349 9， b=+1≈×+1=×+1≈1.202 7， 由公式(1+x)α=1+αx+x2+…， 得c==≈1+×0.5-×0.52=1.218 75. 综上，b<c<a. (2)(2024·益阳模拟)若a=2ln 1.1，b=0.21，c=tan 0.21，则(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c 答案　D 解析　由帕德近似公式得 a=2ln 1.1=2ln(1+0.1) ≈2×=≈0.190 6， c=tan 0.21≈=≈0.213， 又b=0.21，∴c>b>a. [规律方法]　对于含指数、对数、正弦、余弦、正切的比较大小，利用帕德近似公式求近似值，非常直接，但是要注意公式的使用条件，公式不能记错. 跟踪演练2　(2024·济宁模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…，f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数).已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1，1]阶帕德近似为R(x)=. (1)求实数a，b的值； (2)比较f(x)与R(x)的大小； (3)证明：∀n∈N*+++…+<ln 2. (1)解　由f(x)=ln(x+1)，R(x)=有f(0)=R(0)， 则f'(x)=f″(x)=- R'(x)=R″(x)= 由题意f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，所以 所以 (2)解　由(1)知，R(x)=令φ(x)=f(x)-R(x)=ln(x+1)-(x>-1)， 则φ'(x)=-=≥0， 所以φ(x)在(-1，+∞)上为增函数， 又φ(0)=f(0)-R(0)=0， 所以当x>0时，φ(x)=f(x)-R(x)>φ(0)=0； 当-1<x<0时，φ(x)=f(x)-R(x)<φ(0)=0； 所以当x>0时，f(x)>R(x)；当x=0时，f(x)=R(x)； 当-1<x<0时，f(x)<R(x). (3)证明　由(2)得当x>0时，f(x)>R(x)， 即ln(x+1)> 即当x>0时<ln(x+1).(*) 令=m∈N*，得x= 代入(*)式得<ln. 取m=n+1，n+2，…，2n，n∈N*得 <ln<ln…<ln 上面各式相加得++…+<ln<ln 2. 考点三　拉格朗日中值定理 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB. 例3　(2024·襄阳模拟)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足： ①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线； ②在(a，b)内可导； ③对∀x∈(a，b)，g'(x)≠0，则∃ξ∈(a，b)，使得=. 特别地，取g(x)=x，则∃ξ∈(a，b)，使得=f'(ξ)，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数f(x)满足f(0)=0，其导函数f'(x)在(0，+∞)上单调递增，证明：函数y=在(0，+∞)上单调递增； (2)若∀a，b∈(0，e)且a>b，不等式-+m≤0恒成立，求实数m的取值范围. (1)证明　由题= 由拉格朗日中值定理知，对∀x>0，∃ξ∈(0，x)， 使得=f'(ξ)，即=f'(ξ)， 又f'(x)在(0，+∞)上单调递增，则f'(x)>f'(ξ)， 即f'(x)>即当x>0时，xf'(x)-f(x)>0， 所以'=>0， 故y=在(0，+∞)上单调递增. (2)解　因为a>b，所以-+m≤0⇔≤m， 取f(x)=xln x，g(x)=x2， 因为a>b，且a，b∈(0，e)， 所以由柯西中值定理，∃ξ∈(b，a)， 使得= == 由题意得≤m， 设G(x)=(0<x<e)， G'(x)= 当0<x<1时，G'(x)>0，当1<x<e时，G'(x)<0， 所以G(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 所以G(x)max=G(1)=故m≥ 所以实数m的取值范围是. [规律方法]　利用拉格朗日中值定理求参数的步骤： (1)分离参数； (2)构造成的形式，求其最值(范围). 跟踪演练3　(1)设函数f(x)=x2+aln x，对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有≥2，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　不妨令x1>x2>0， 由拉格朗日中值定理知，∃x0∈(x2，x1)， 使f'(x0)= 故f'(x0)≥2恒成立， 即f'(x0)=2x0+≥2， 即a≥2x0-2x0∈(0，+∞)， 又当x0=时，(2x0-2)max= 所以a≥故实数a的取值范围是. (2)已知函数f(x)=ex-e-x.若对任意x≥0，都有f(x)≥ax，则实数a的取值范围为　　　　　.  答案　(-∞，2] 解析　当x=0时，对任意a，都有f(x)≥ax； 当x>0时，f(x)≥ax即a≤对任意x>0恒成立， 又= 由拉格朗日中值定理知，在(0，+∞)内至少存在一点ξ， 使得f'(ξ)= 又f'(ξ)=eξ+e-ξ≥2=2， 当且仅当ξ=0时等号成立，但ξ>0， 故f'(ξ)>2，所以a≤2， 综上，实数a的取值范围是(-∞，2]. 1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f″' (x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1精确到0.01的近似值为(　　) A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88 答案　B 解析　根据题意，f(x)=sin x，f'(x)=cos x，f″(x)=-sin x，f″'(x)=-cos x，…， 取x0=0，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…， 则f(x)=sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+…=x-x3+x5-…， 令x=1，代入上式可得f(1)=sin 1=1-+-…=-…≈0.84， 所以sin 1≈0.84. 2.(2024·安康模拟)已知a=e0.2-1，b=ln 1.2，c=则(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 答案　D 解析　由帕德近似公式得 a=e0.2-1≈-1≈0.221 4， b=ln 1.2=ln(1+0.2)≈≈0.182 3， c=≈0.166 7，故c<b<a. 3.已知a=e0.1-1，b=sin 0.1，c=ln 1.1，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 答案　D 解析　∵sin x=x-+-…， ln(1+x)=x-+-…， ex=1+x+++…， ∴sin 0.1=0.1-+-…， ln 1.1=0.1-+-…， e0.1=1+0.1+++…， 则e0.1-1=0.1+++…， ∴ln 1.1<sin 0.1<0.1<e0.1-1， 故c<b<a. 4.若a=sinb=2ln 3-3ln 2，c=则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.a<c<b 答案　C 解析　由帕德近似公式得 a=sin ≈=≈0.062 5， b=2ln 3-3ln 2=ln 9-ln 8 =ln =ln ≈=≈0.117 8， c=≈≈0.054 1， ∴c<a<b. 5.已知a=tan b=c=则(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 答案　B 解析　a=tan ≈=≈0.545 5， b=≈0.571 4， c= ≈× ≈0.838 6，∴c>b>a. 6.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x=x-+-+…+(-1)n-1+…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC=30°，气球的视角α=2°，则该气球的高BC约为　　　　米.(精确到1米)  答案　86 解析　由题意过点B作切线的垂线交于点D， 在△ABD中，BD=3， sin 1°= 所以AB= 在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin 30°= 联立可得BC== ≈≈86. 7.设函数f(x)=. (1)求f(x)的单调区间； (2)如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围. 解　(1)f'(x)= =. 当2kπ-<x<2kπ+(k∈Z)时， -<cos x≤1，即f'(x)>0； 当2kπ+<x<2kπ+(k∈Z)时，-1≤cos x<-即f'(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(k∈Z)， 单调递减区间为(k∈Z). (2)当x=0时，f(x)≤ax即为0≤a·0， 所以a∈R； 当x>0时，f(x)≤ax等价于≤a， 由拉格朗日中值定理得，存在x0>0， 使得=f'(x0)， 故只需证当x>0时，a≥f'(x0)恒成立即可. 又f'(x0)= =-3+∈ 所以a≥. 综上，实数a的取值范围为. 8.(2024·绍兴模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0).已知f(x)=ex在x=0处的[1，1]阶帕德近似为R(x)=. (注：f″(x)=[f'(x)]'，f'″(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[ f'″(x)]'，f(5)(x)=[f(4)(x)]'，…) (1)求实数a，b的值； (2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小； (3)定义数列{an}：a1=an=-1，求证：≤an<. (1)解　由题意得R'(x)== R″(x)= f(0)=f'(0)=f″(0)=1，故R'(0)=a-b=1，R″(0)=-2b(a-b)=1， 解得a=b=-. (2)解　由上可得R(x)==要比较f(x)与R(x)的大小，只需比较ex与的大小， 只需比较1与e-x的大小， 令g(x)=e-x，x∈(0，1)， g'(x)=e-x=e-x>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=1，即>ex，所以f(x)<R(x). (3)证明　设u(x)=ex-x-1，u'(x)=ex-1， 当x<0时，u'(x)<0，u(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x>0时，u'(x)>0，u(x)在(0，+∞)上单调递增， 故u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立. 由题意知a1=an=-1，an≠0， 则=>=1，故可得an>0； -=- = 令m(x)=(1-x)ex，x>0，m'(x)=-xex<0， 故m(x)在(0，+∞)上单调递减， 又当x→0+时，y=→0-， 故可得-<0， 即an+1<an，可得0<an≤； 一方面，由(2)可得=<= 又因为>an+1+1，所以可得an+1+1< 即an+1<即>-1， 即-1>2 故-1>2n-1=2n-1， 即>2n-1，所以an<. 另一方面，当n=1时，a1=要证an≥即证an+1≥an≥ 令g(x)=--x，x>0， g'(x)=+-1>0， 所以g(x)在上单调递增， 所以g(an)>g(0)=0， 即--an>0 ⇒> ⇒> ⇒an+1>an，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$