专题一 微重点4 切割线放缩-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微重点4　切割线放缩 [考情分析]　在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果. 考点一　切线放缩 常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立. ∀x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立. 当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x. 例1　(2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-ln x. (1)若曲线y=ln x在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值； (2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立. (1)解　由y=ln x，得y'=当x=1时，y'=1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线斜率为1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线方程为y=x-1， 由y=ex-m，得y'=ex-m， 设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x0，x0-1)， 则解得所以m的值为2. (2)证明　方法一　因为m≤2，所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 令h(x)=ex-2-ln x，x∈(0，+∞)， 所以h'(x)=ex-2- 令g(x)=ex-2-x∈(0，+∞)， 所以g'(x)=ex-2+>0， 所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为h'(1)=-1<0，h'(2)=1->0， 所以∃x0∈(1，2)，使得h'(x0)=-=0， ① 当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增， 所以h(x)min=h(x0)=-ln x0， 由①得=所以x0= 所以h(x0)=-ln x0=+x0-2== 因为x0∈(1，2)，所以h(x)min=h(x0)>0， 所以ex-2-ln x>0，故ex-m≥ex-2>ln x， 所以f(x)>0. 方法二　因为m≤2，所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 由(1)知曲线y=ex-2和y=ln x的公切线方程为y=x-1， 设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R， 则φ'(x)=ex-2-1， 当x<2时，φ'(x)<0，当x>2时，φ'(x)>0， 所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(2)=0， 故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立. 令m(x)=x-1-ln x，x∈(0，+∞)， 所以m'(x)=1-= 当x∈(0，1)时，m'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0， 所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln x，当且仅当x=1时等号成立， 所以ex-2≥x-1≥ln x，且两等号不能同时成立， 所以ex-2>ln x，即ex-2-ln x>0，即证得f(x)>0. [规律方法]　该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线. 跟踪演练1　已知函数f(x)=ex--1. (1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值； (2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围. 解　(1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)， 因为f'(x)=ex-x，则f'(x0)=-x0=1， 解得x0=0，则y0=f(x0)=0， 即0+a=0，解得a=0. (2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x. 故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方， 即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x， 即证当x∈(0，+∞)时，ex--x-1>0， 设h(x)=ex--x-1， 则h'(x)=ex-x-1， 设P(x)=h'(x)=ex-x-1，则P'(x)=ex-1， 因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为h'(0)=0， 所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x∈(0，+∞)时，h(x)>h(0)=0， 即ex--x-1>0， 即ex--1>x， 由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1]. 考点二　双切线放缩 例2　(2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0. (1)求a，b的值； (2)若方程f(x)=(e为自然对数的底数)有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明： x2-x1<1++. (1)解　因为f'(x)=+ln(x+b)， 所以f'(1)=+ln(1+b)=ln 2， 由题意知f(1)=0， 所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0，又因为b>0， 联立 解得 (2)证明　由(1)可知f(x)=(x-1)ln(x+1)，x>-1，f(0)=0，f(1)=0， f'(x)=1-+ln(x+1)，设u(x)=f'(x)， 则u'(x)=+>0， 所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln 2>0， 所以存在x0∈(0，1)，使得f'(x0)=0， 且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0， 当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增. 由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0， 令h(x)=(x-1)ln 2， F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln 2， 则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln 2， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0. 所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 故F(x)≥F(1)=0，即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln 2，当且仅当x=1时等号成立. 因为方程f(x)=有两个实数根x1，x2，且x1<x2， 也就是f(x2)=f(x1)=>f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以-1<x1<0<x0<1<x2， 所以(x2-1)ln(x2+1)>(x2-1)ln 2， 即f(x2)>h(x2). 设方程h(x)=的根为x2'， 则 x2'=1+ 又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x2')=f(x2)>h(x2)， 故x2'>x2. ① 易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x， T(x)=f(x)-g(x)=(x-1)ln(x+1)+x，则T'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又 T'(0)=0， 所以当-1<x<0时，T'(x)<0，当x>0时，T'(x)>0， 所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立. 因为-1<x1<0，所以(x1-1)ln(x1+1)>-x1，即f(x1)>g(x1). 设方程g(x)=的根为x1'，则x1'=- 又g(x)在(-1，+∞)上单调递减， 所以g(x1')=f(x1)>g(x1)，所以x1'<x1， 从而-x1'>-x1. ② 由①②可知x2-x1<x2'-x1'=1++. [规律方法]　含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x1，x2，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明. 跟踪演练2　已知f(x)=x-xln x-1，记f(x)在x=处的切线方程为y=g(x). (1)证明：g(x)≥f(x)； (2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，证明：x1-x2>2m+2-e-. 证明　(1)f(x)=x-xln x-1的定义域为(0，+∞)， ∵f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x，∴f'=1， f=+-1=-1， ∴f(x)在x=处的切线方程为y-=x- 则g(x)=x+-1. 令F(x)=g(x)-f(x)=x+-1-(x-xln x-1)=+xln x，x∈(0，+∞)， 则F'(x)=1+ln x，令F'(x)=0，解得x= ∴当0<x<时，F'(x)<0，F(x)在上单调递减， 当x>时，F'(x)>0，F(x)在上单调递增， ∴F(x)min=F=0， ∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x). (2)由(1)知f'(x)=-ln x，令f'(x)=0，得x=1， ∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增， 当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减， ∴f(x)max=f(1)=0， 当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1， ∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，∴-1<m<0，且0<x1<1<x2<e， ∵f'(e)=-1，f(e)=-1， ∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，即y=-x+e-1. 下证f(x)≤-x+e-1， 令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xln x-1)=-2x+xln x+e，x∈(0，+∞)， 则h'(x)=-2+ln x+1=-1+ln x，令h'(x)=0，解得x=e， ∴当0<x<e时，h'(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减， 当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(e)=0， ∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1，当且仅当x=e时等号成立. ∵1<x2<e， ∴m=f(x2)<-x2+e-1，即-x2>m-e+1， 由(1)知，f(x)≤g(x)=x+-1， ∵0<x1<1，∴m=f(x1)≤x1+-1， 即x1≥m-+1，∴x1-x2>2m+2-e-. 专题强化练 (分值：30分) 1.(13分)已知函数f(x)=ln(x+1). (1)证明：当x>-1时，f(x)≤x；(5分) (2)已知n∈N*，证明：>ln(n+2).(8分) 证明　(1)令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)， 则h'(x)=-1=- 当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增， 当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x. (2)由(1)可得ln(x+1)≤x， 当且仅当x=0时取等号，令x=n∈N*， ∴>ln=ln 1+++…+>ln+ln+ln+…+ln=ln(n+1)， 即1+++…+>ln(n+1)， 则>n+1， ① 又由(1)知，ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时取等号， 令x=n+1，又n∈N*， ∴ln(n+2)<n+1 ， ② 由①②得>ln(n+2). 2.(17分)[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x0作为r的初始近似值，若f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴相交于点(x1，0)，称x1是r的一次近似值；用x1替代x0重复上面的过程，得到x2，称x2是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：x0，x1，x2，…，xn，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn-1，xn(n∈N*)的近似值相等时，该值即作为函数f(x)的一个零点r. (1)若f(x)=x3+3x2+x-3，当x0=0时，求方程f(x)=0的根的二次近似值(保留到小数点后两位)；(4分) (2)求函数g(x)=ex-3在点(2，g(2))处的切线方程，并证明：ln 3<1+；(5分) (3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-ln x)，关于x的方程h(x)=a的两个根分别为x1，x2(x1<x2)，证明：x2-x1>e-ea.(8分) (1)解　f'(x)=3x2+6x+1， 当x0=0时，f'(0)=1，f(0)=-3， f(x)在点(0，-3)处的切线方程为y+3=x，与x轴的交点横坐标为(3，0)， 所以x1=3，f'(3)=46，f(3)=54， f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为所以方程f(x)=0的根的二次近似值为≈1.83. (2)解　由题意可知，g(2)=e2-3，g'(x)=ex，g'(2)=e2， 所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)，即e2x-y-e2-3=0. 设m(x)=ln x-1-x>1， 则m'(x)=- 显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减， 令m'(x)=0，解得x=e2， 所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0，则m(x)在(1，e2)上单调递增， 当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0，则m(x)在(e2，+∞)上单调递减， 所以m(x)≤m(e2)=ln e2-1-=0， 当且仅当x=e2时等号成立， 所以m(3)<m(e2)， 即ln 3-1-<0，所以ln 3<1+. (3)证明　由h(x)=x-xln x(x>0)，得h'(x)=-ln x， 当0<x<1时，h'(x)>0；当x>1时，h'(x)<0， 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是h(x)的极大值点，也是h(x)的最大值点，即h(x)max=h(1)=1， 又当x→0时，h(x)→0，当x→+∞时，h(x)→-∞，h(e)=0， 所以当方程h(x)=a有两个根时，必满足0<a<1， 且0<x1<1<x2<e； 曲线y=h(x)过点(1，1)和点(e，0)的割线方程为y=(x-e)， 下面证明当1≤x≤e时，h(x)≥(x-e)， 设u(x)=h(x)-(x-e)(1≤x≤e)， 则u'(x)=-ln x+=- 所以当1<x<时，u'(x)>0； 当<x<e时，u'(x)<0， 所以u(x)在上单调递增，u(x)≥u(1)=0； u(x)在上单调递减，u(x)≥u(e)=0， 所以当1≤x≤e时，u(x)≥0，即h(x)≥(x-e)(1≤x≤e)(当且仅当x=1或x=e时取等号)， 由于1<x2<e，所以a=h(x2)>(x2-e)， 解得x2>a-ea+e. ① 下面证明当0<x≤1时，h(x)≥x， 设n(x)=h(x)-x=-xln x(0<x≤1)， 因为当0<x≤1时，ln x≤0，所以n(x)≥0， 即h(x)≥x(当且仅当x=1时取等号)， 由于0<x1<1，所以a=h(x1)>x1， 则-x1>-a， ② 由①②可知x2-x1>e-ea. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 切割线放缩 微重点4 在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果. 考情分析 专题强化练 考点一 考点二 切线放缩 双切线放缩 内容索引 切线放缩 考点一 常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立. ∀x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立. 当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x. 　(2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-ln x. (1)若曲线y=ln x在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值； 例1 由y=ln x，得y'=当x=1时，y'=1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线斜率为1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线方程为y=x-1， 由y=ex-m，得y'=ex-m， 设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x0，x0-1)， 则所以m的值为2. (2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立. 方法一　因为m≤2，所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 令h(x)=ex-2-ln x，x∈(0，+∞)，所以h'(x)=ex-2- 令g(x)=ex-2-x∈(0，+∞)，所以g'(x)=ex-2+>0， 所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为h'(1)=-1<0，h'(2)=1->0， 所以∃x0∈(1，2)，使得h'(x0)=-=0， ① 当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增， 所以h(x)min=h(x0)=-ln x0， 由①得=所以x0= 所以h(x0)=-ln x0=+x0-2== 因为x0∈(1，2)，所以h(x)min=h(x0)>0， 所以ex-2-ln x>0，故ex-m≥ex-2>ln x， 所以f(x)>0. 方法二　因为m≤2，所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 由(1)知曲线y=ex-2和y=ln x的公切线方程为y=x-1， 设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R， 则φ'(x)=ex-2-1， 当x<2时，φ'(x)<0，当x>2时，φ'(x)>0， 所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(2)=0， 故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立. 令m(x)=x-1-ln x，x∈(0，+∞)， 所以m'(x)=1-= 当x∈(0，1)时，m'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0， 所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln x，当且仅当x=1时等号成立， 所以ex-2≥x-1≥ln x，且两等号不能同时成立， 所以ex-2>ln x，即ex-2-ln x>0，即证得f(x)>0. 规律方法 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜 率相等的切线. 已知函数f(x)=ex--1. (1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值； 跟踪演练1 设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)， 因为f'(x)=ex-x，则f'(x0)=-x0=1， 解得x0=0，则y0=f(x0)=0， 即0+a=0，解得a=0. (2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围. 因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x. 故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方， 即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x， 即证当x∈(0，+∞)时，ex--x-1>0， 设h(x)=ex--x-1，则h'(x)=ex-x-1， 设P(x)=h'(x)=ex-x-1，则P'(x)=ex-1， 因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为h'(0)=0，所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x∈(0，+∞)时，h(x)>h(0)=0， 即ex--x-1>0，即ex--1>x， 由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1]. 双切线放缩 考点二 　(2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0. (1)求a，b的值； 例2 因为f'(x)=+ln(x+b)， 所以f'(1)=+ln(1+b)=ln 2， 由题意知f(1)=0， 所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0，又因为b>0， 联立解得 (2)若方程f(x)=(e为自然对数的底数)有两个实数根x1，x2，且x1<x2， 证明： x2-x1<1++. 由(1)可知f(x)=(x-1)ln(x+1)，x>-1，f(0)=0，f(1)=0， f'(x)=1-+ln(x+1)，设u(x)=f'(x)， 则u'(x)=+>0， 所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln 2>0， 所以存在x0∈(0，1)，使得f'(x0)=0， 且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0， 当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增. 由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0， 令h(x)=(x-1)ln 2， F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln 2， 则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln 2， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0. 所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 故F(x)≥F(1)=0，即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln 2，当且仅当x=1时等号成立. 因为方程f(x)=有两个实数根x1，x2，且x1<x2， 也就是f(x2)=f(x1)=>f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以-1<x1<0<x0<1<x2， 所以(x2-1)ln(x2+1)>(x2-1)ln 2， 即f(x2)>h(x2). 设方程h(x)=的根为x2'， 则 x2'=1+ 又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x2')=f(x2)>h(x2)， 故x2'>x2. ① 易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x， T(x)=f(x)-g(x)=(x-1)ln(x+1)+x，则T'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又 T'(0)=0， 所以当-1<x<0时，T'(x)<0，当x>0时，T'(x)>0， 所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立. 因为-1<x1<0，所以(x1-1)ln(x1+1)>-x1，即f(x1)>g(x1). 设方程g(x)=的根为x1'，则x1'=- 又g(x)在(-1，+∞)上单调递减， 所以g(x1')=f(x1)>g(x1)，所以x1'<x1， 从而-x1'>-x1. ② 由①②可知x2-x1<x2'-x1'=1++. 规律方法 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x1，x2，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明. 已知f(x)=x-xln x-1，记f(x)在x=处的切线方程为y=g(x). (1)证明：g(x)≥f(x)； 跟踪演练2 f(x)=x-xln x-1的定义域为(0，+∞)， ∵f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x，∴f'=1，f=+-1=-1， ∴f(x)在x=处的切线方程为y-=x-则g(x)=x+-1. 令F(x)=g(x)-f(x)=x+-1-(x-xln x-1)=+xln x，x∈(0，+∞)， 则F'(x)=1+ln x，令F'(x)=0，解得x= ∴当0<x<时，F'(x)<0，F(x)在上单调递减， 当x>时，F'(x)>0，F(x)在上单调递增， ∴F(x)min=F=0，∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x). (2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)， 证明：x1-x2>2m+2-e-. 由(1)知f'(x)=-ln x，令f'(x)=0，得x=1， ∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增， 当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减， ∴f(x)max=f(1)=0， 当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1， ∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，∴-1<m<0，且0<x1<1<x2<e， ∵f'(e)=-1，f(e)=-1， ∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，即y=-x+e-1. 下证f(x)≤-x+e-1， 令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xln x-1)=-2x+xln x+e，x∈(0，+∞)， 则h'(x)=-2+ln x+1=-1+ln x，令h'(x)=0，解得x=e， ∴当0<x<e时，h'(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减， 当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(e)=0， ∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1，当且仅当x=e时等号成立. ∵1<x2<e，∴m=f(x2)<-x2+e-1，即-x2>m-e+1， 由(1)知，f(x)≤g(x)=x+-1，∵0<x1<1，∴m=f(x1)≤x1+-1， 即x1≥m-+1，∴x1-x2>2m+2-e-. 专题强化练 1 2 答案 (1)令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)， 则h'(x)=-1=-， 当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增， 当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x. (2)由(1)可得ln(x+1)≤x， 当且仅当x=0时取等号， 令x=，n∈N*， ∴>ln=ln ， 1. 1 2 答案 1+++…+>ln+ln+ln+…+ln=ln(n+1)， 即1+++…+>ln(n+1)， 则>n+1， ① 又由(1)知，ln(x+1)≤x， 当且仅当x=0时取等号， 令x=n+1，又n∈N*， ∴ln(n+2)<n+1 ， ② 由①②得，>ln(n+2). 1. 1 2 答案 (1) f'(x)=3x2+6x+1， 当x0=0时，f'(0)=1，f(0)=-3， f(x)在点(0，-3)处的切线方程为y+3=x， 与x轴的交点横坐标为(3，0)， 所以x1=3，f'(3)=46，f(3)=54， f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为，所以方程f(x)=0的根的二次近似值为≈1.83. 2. 1 2 答案 (2)由题意可知，g(2)=e2-3， g'(x)=ex，g'(2)=e2， 所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)， 即e2x-y-e2-3=0. 设m(x)=ln x-1-，x>1， 则m'(x)=-， 显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减， 令m'(x)=0，解得x=e2， 所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0， 则m(x)在(1，e2)上单调递增， 当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0， 2. 1 2 答案 则m(x)在(e2，+∞)上单调递减， 所以m(x)≤m(e2)=ln e2-1-=0， 当且仅当x=e2时等号成立， 所以m(3)<m(e2)， 即ln 3-1-<0， 所以ln 3<1+. (3)由h(x)=x-xln x(x>0)， 得h'(x)=-ln x， 当0<x<1时，h'(x)>0； 当x>1时，h'(x)<0， 2. 1 2 答案 所以h(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是h(x)的极大值点，也是h(x)的最大值点， 即h(x)max=h(1)=1， 又当x→0时，h(x)→0，当x→+∞时，h(x)→-∞，h(e)=0， 所以当方程h(x)=a有两个根时，必满足0<a<1， 且0<x1<1<x2<e； 曲线y=h(x)过点(1，1)和点(e，0)的割线方程为y=(x-e)， 下面证明当1≤x≤e时，h(x)≥(x-e)， 设u(x)=h(x)-(x-e)(1≤x≤e)， 2. 1 2 答案 则u'(x)=-ln x+=-， 所以当1<x<时，u'(x)>0； 当<x<e时，u'(x)<0， 所以u(x)在上单调递增， u(x)≥u(1)=0； u(x)在上单调递减， u(x)≥u(e)=0， 所以当1≤x≤e时，u(x)≥0， 即h(x)≥(x-e)(1≤x≤e)(当且仅当x=1或x=e时取等号)， 2. 1 2 答案 由于1<x2<e， 所以a=h(x2)>(x2-e)， 解得x2>a-ea+e. ① 下面证明当0<x≤1时，h(x)≥x， 设n(x)=h(x)-x=-xln x(0<x≤1)， 因为当0<x≤1时，ln x≤0， 所以n(x)≥0， 即h(x)≥x(当且仅当x=1时取等号)， 由于0<x1<1，所以a=h(x1)>x1， 则-x1>-a， ② 由①②可知x2-x1>e-ea. 2. 1 2 1.已知函数f(x)=ln(x+1). (1)证明：当x>-1时，f(x)≤x； 答案 令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)， 则h'(x)=-1=- 当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增， 当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x. 1 2 答案 (2)已知n∈N*，证明：>ln(n+2). 1 2 答案 由(1)可得ln(x+1)≤x， 当且仅当x=0时取等号，令x=n∈N*，∴>ln=ln 1+++…+>ln+ln+ln+…+ln=ln(n+1)，即1+++…+>ln(n+1)， 则>n+1， ① 又由(1)知，ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时取等号， 令x=n+1，又n∈N*， ∴ln(n+2)<n+1 ， ② 由①②得>ln(n+2). 1 2 2.[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x0作为r的初始近似值，若f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴相交于点(x1，0)，称x1是r的一次近似值；用x1替代x0重复上面的过程，得到x2，称x2是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：x0，x1，x2，…，xn，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn-1，xn(n∈N*)的近 似值相等时，该值即作为函数f(x)的一个零点r. (1)若f(x)=x3+3x2+x-3，当x0=0时，求方程f(x)=0的 根的二次近似值(保留到小数点后两位)； 答案 1 2 答案 f'(x)=3x2+6x+1， 当x0=0时，f'(0)=1，f(0)=-3， f(x)在点(0，-3)处的切线方程为y+3=x， 与x轴的交点横坐标为(3，0)， 所以x1=3，f'(3)=46，f(3)=54， f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为所以方程f(x)=0的根的二次近似值为≈1.83. 1 2 答案 (2)求函数g(x)=ex-3在点(2，g(2))处的切线方程，并证明：ln 3<1+； 1 2 答案 由题意可知，g(2)=e2-3，g'(x)=ex，g'(2)=e2， 所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)，即e2x-y-e2-3=0. 设m(x)=ln x-1-x>1， 则m'(x)=- 显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减， 令m'(x)=0，解得x=e2， 所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0，则m(x)在(1，e2)上单调递增， 当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0，则m(x)在(e2，+∞)上单调递减， 1 2 答案 所以m(x)≤m(e2)=ln e2-1-=0， 当且仅当x=e2时等号成立， 所以m(3)<m(e2)， 即ln 3-1-<0，所以ln 3<1+. 1 2 答案 (3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-ln x)，关于x的方程h(x)=a的两个根分别为x1，x2(x1<x2)，证明：x2-x1>e-ea. 1 2 答案 由h(x)=x-xln x(x>0)，得h'(x)=-ln x， 当0<x<1时，h'(x)>0；当x>1时，h'(x)<0， 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以x=1是h(x)的极大值点，也是h(x)的最大值点，即h(x)max=h(1)=1， 又当x→0时，h(x)→0，当x→+∞时，h(x)→-∞，h(e)=0， 所以当方程h(x)=a有两个根时，必满足0<a<1，且0<x1<1<x2<e； 曲线y=h(x)过点(1，1)和点(e，0)的割线方程为y=(x-e)， 下面证明当1≤x≤e时，h(x)≥(x-e)， 1 2 答案 设u(x)=h(x)-(x-e)(1≤x≤e)，则u'(x)=-ln x+=- 所以当1<x<时，u'(x)>0； 当<x<e时，u'(x)<0， 所以u(x)在上单调递增，u(x)≥u(1)=0； u(x)在上单调递减，u(x)≥u(e)=0， 所以当1≤x≤e时，u(x)≥0，即h(x)≥(x-e)(1≤x≤e)(当且仅当x=1或x=e时取等号)， 1 2 答案 由于1<x2<e，所以a=h(x2)>(x2-e)， 解得x2>a-ea+e. ① 下面证明当0<x≤1时，h(x)≥x， 设n(x)=h(x)-x=-xln x(0<x≤1)， 因为当0<x≤1时，ln x≤0，所以n(x)≥0， 即h(x)≥x(当且仅当x=1时取等号)，由于0<x1<1，所以a=h(x1)>x1， 则-x1>-a， ② 由①②可知x2-x1>e-ea. 本课结束 THANKS $$