专题一 微重点2 导数中函数的构造问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微重点2　导数中函数的构造问题 [考情分析]　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 考点一　导数型构造函数 考向1　利用f(x)与x构造 例1　(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0成立，若 a=30.2f(30.2)，b=(ln 2)f(ln 2)，c=f则 a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 答案　A 解析　令g(x)=xf(x)，x∈R， 因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0， 所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，0]上单调递增， 又g(x)为奇函数， 所以g(x)在R上单调递增， 又因为a=30.2f(30.2)=g(30.2)， b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2)， c=f=g=g(-2)， -2<0<ln 2<ln e=1=30<30.2， 所以g(-2)<g(ln 2)<g(30.2)，即a>b>c. [规律方法]　(1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)； (2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. 跟踪演练1　(2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为(　　) A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) 答案　B 解析　根据题意可令g(x)=(x<0)⇒g'(x)=<0， 所以g(x)=在(-∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于<-1， 由g(x+2 025)=<-1=g(-1)⇒0>x+2 025>-1， 解得-2 026<x<-2 025，故解集为(-2 026，-2 025). 考向2　利用f(x)与ex构造 例2　(2024·菏泽统考)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2，∀x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不等式f(x)>e-x+1的解集为(　　) A.{x|x>1} B.{x|x>e} C.{x|x<0} D.{x|x>0} 答案　D 解析　因为f(x)+f'(x)>1， 所以f(x)+f'(x)-1>0， 所以构造函数F(x)=exf(x)-ex， 则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0， 所以F(x)在R上单调递增， 因为f(0)=2，所以F(0)=1， 所以不等式f(x)>e-x+1⇔exf(x)-ex>1⇔F(x)>F(0)， 因为F(x)在R上单调递增，所以x>0， 所以不等式的解集为{x|x>0}. [规律方法]　(1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)； (2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. 跟踪演练2　已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)<f'(x)恒成立，且当x>0时，f(x)>0，则下列式子不一定成立的是(　　) A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2) C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f 答案　D 解析　设F(x)= 因为F'(x)== 又f(x)<f'(x)，所以F'(x)>0，即F(x)在R上为增函数， 选项A，因为F(8)>F(4)，即> 化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立； 选项B，因为F(4)>F(2)，即> 化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立； 选项C，因为F(2)>F(1)，即> 化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立； 选项D，因为F(1)>F 即>化简得f(1)>f 而f<2f故D不一定成立. 考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　(2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则(　　) A.f<f B.f<f C.f>f D.f>f 答案　B 解析　令F(x)=x≠+kπ，k∈Z， 故F'(x)=>0恒成立， 故F(x)=在k∈Z上单调递增，故F<F 即<⇒< ⇒f<f. [规律方法]　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)=f(x)sin x， F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x； (2)F(x)= F'(x)=； (3)F(x)=f(x)cos x， F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x； (4)F(x)= F'(x)=. 跟踪演练3　(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　令函数g(x)=x∈(0，π)， 则g'(x)=<0， 因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x⇔> 即g(x)>g解得0<x< 所以原不等式的解集为. 考点二　构造具体函数比较大小 例4　(1)(2024·昆明模拟)设a=b=c=则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 答案　A 解析　设f(x)=则f'(x)= 当x∈(0，e)时，f'(x)>0， 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， ∵b=f(5)，c=f(6)，∴b>c， 又a-b=-==>0， 得a>b，∴a>b>c. (2)(2024·遵义模拟)设a=tan 0.01，b=ln 1.01，c=则下列关系正确的是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 答案　D 解析　b=ln 1.01=ln(1+0.01)， c=== 令f(x)=ln(1+x)-x∈ 则f'(x)=-=>0， 所以函数f(x)在上单调递增， 所以f(0.01)>f(0)=0， 即ln(1+0.01)>所以b>c； 令g(x)=ln(1+x)-x，x∈ 则g'(x)=-1=-<0， 所以g(x)在上单调递减， 所以g(0.01)<g(0)=0，即ln(1+0.01)<0.01， 令h(x)=x-tan x，x∈ 则h'(x)=1-=-tan2x<0， 所以函数h(x)在上单调递减， 所以h(0.01)<h(0)=0，即0.01<tan 0.01， 所以ln(1+0.01)<tan 0.01，即b<a， 综上所述，c<b<a. [规律方法]　构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小； (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小. 跟踪演练4　(1)(2024·德阳模拟)已知a=4ln 3π，b=3π，c=4ln π3，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 答案　B 解析　因为a=4ln 3π=4πln 3，b=3π，c=4ln π3=4×3ln π， 观察a，c的式子结构，构造函数f(x)= 则f'(x)= 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 因为π>3>e，所以f(π)<f(3)， 即< 所以3ln π<πln 3，即4×3ln π<4πln 3，即c<a； 又ln π>ln e=1， 所以3π<3×4<4×3ln π，即b<c， 综上，b<c<a. (2)(2024·石家庄模拟)已知a，b，c∈(1，+∞)===则下列大小关系正确的是(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b 答案　B 解析　设f(x)=xln x(x>1)，g(x)=(18-x)ln x(x≥10)， 因为= == 所以aln a=8ln 10，bln b=7ln 11，cln c=6ln 12， 即f(a)=g(10)，f(b)=g(11)，f(c)=g(12)， g'(x)=(18-x)'ln x+(18-x)(ln x)' =-ln x+-1， 令h(x)=g'(x)=-ln x+-1(x≥10)， 则h'(x)=--<0，g'(x)在[10，+∞)上单调递减， 所以g'(x)≤g'(10)<0，所以g(x)在[10，+∞)上单调递减， 所以g(10)>g(11)>g(12)，即f(a)>f(b)>f(c)， f'(x)=ln x+1，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a>b>c. 专题强化练 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，c=-2f(-2)，则(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c 答案　A 解析　因为f(x)为奇函数， 则f(-x)=-f(x)， 设g(x)=xf(x)，则g(x)的定义域为R， 且g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)， 所以g(x)是偶函数， 当x∈(-∞，0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0， 则g(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为a=3f(3)=g(3)，b=f(1)=g(1)，c=-2f(-2)=g(-2)=g(2)，所以a>c>b. 2.(2024·福州模拟)已知a=lnb=ln 2，c=-则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 答案　B 解析　因为b=ln 2>0，而a=ln<0，c<0，所以b最大， 构造函数f(x)=xln x(x>0)， 因为f'(x)=ln x+1(x>0)， 当0<x<时，f'(x)<0，当x>时，f'(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，又因为a=fc=f 所以f>f 即a>c，故b>a>c. 3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=e，当x>0时，f'(x)<+ex，则不等式>1的解集为(　　) A.(0，1) B.(0，+∞) C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞) 答案　A 解析　不等式>1等价于f(x)>ex+ln x，即f(x)-ex-ln x>0， 构造函数g(x)=f(x)-ex-ln x，x>0， 所以g'(x)=f'(x)-ex- 因为当x>0时，f'(x)<+ex， 所以g'(x)<0对∀x∈(0，+∞)恒成立， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又因为g(1)=f(1)-e-ln 1=0， 所以不等式f(x)-ex-ln x>0等价于g(x)>g(1)，所以0<x<1， 即>1的解集为(0，1). 4.(2024·银川模拟)设a=90.2，b=30.31，c=3ln 1.3，则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 答案　A 解析　根据题意，构造函数f(x)=x-1-ln x，则f'(x)= 当x≥1时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增， 可得f(1.3)>f(1)=0，即f(1.3)=1.3-1-ln 1.3=0.3-ln 1.3>0， 所以0.3>ln 1.3， 又指数函数y=3x在R上单调递增， 则30.31>30.3>3ln 1.3，即b>c， 因为a=90.2=30.4>30.31=b，所以c<b<a. 5.(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)+f(-x)=0.对于任意的实数x，均有f(x)<成立，若f(-3)=-16，则不等式f(x)>2x+1的解集为(　　) A.(-∞，-3) B.(-∞，3) C.(-3，+∞) D.(3，+∞) 答案　D 解析　f(x)<⇔f'(x)-f(x)ln 2>0， 令g(x)= 则g'(x)= =>0， 则g(x)在R上单调递增. 由f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数， 由f(-3)=-16，f(x)为奇函数，得f(3)=16， 则g(3)==2， 从而原不等式f(x)>2x+1可化为>2， 即g(x)>g(3). 由于g(x)在R上单调递增，故g(x)>g(3)等价于x>3，所以不等式的解集为(3，+∞). 6.(2024·武汉统考)若函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)-cos x的零点为(　　) A.0 B.± C.±2 D.2kπ(k∈Z) 答案　B 解析　因为函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x， 所以f(x)=x2+cos x+c，c为常数， 设g(x)=f'(x)=x-sin x，则g'(x)=1-cos x≥0恒成立，g(x)在R上单调递增， 又g(0)=0，所以当x∈(-∞，0)时，g(x)<0，即f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=0处取得最小值， 即f(x)min=f(0)=1+c=0，故c=-1， 所以f(x)=x2+cos x-1， 故y=f(x)-cos x=x2-1， 令x2-1=0，解得x=± 函数y=f(x)-cos x的零点为±. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·池州模拟)下列不等关系中正确的是(　　) A.< B.bea>aeb(a>b>1) C.cos < D.sin 1.2> 答案　ABD 解析　对于A项<⇔3ln 2<2ln 3⇔ln 8<ln 9，故A项正确； 对于B项，设k(x)=x>1，则k'(x)=>0在(1，+∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，+∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以k(a)>k(b)，即>故bea>aeb，故B项正确； 对于C项，cos<⇔cos<1-=1- 故构造f(x)=cos x-1+x2(x>0)， 则f'(x)=x-sin x>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，f=cos->f(0)=0， 即cos >故C项错误； 对于D项，sin 1.2>sin=故D项正确. 8.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，则下列判断正确的是(　　) A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 答案　AC 解析　设F(x)= 则F'(x)== ∵函数f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0， 当x>1时，f'(x)-f(x)>0，∴F'(x)>0， ∴F(x)在(1，+∞)上单调递增； 当x<1时，f'(x)-f(x)<0，∴F'(x)<0， ∴F(x)在(-∞，1)上单调递减， 又由f(2-x)=f(x)e2-2x⇔=⇔ F(2-x)=F(x)， ∴F(x)关于直线x=1对称，从而F(1)<F(0)=F(2)<F(3)<F(4)， 由F(1)<F(0)，∴<∴f(1)<ef(0)，故A正确； 由F(0)=F(2)，∴=∴f(2)=e2f(0)，故B错误； 由F(0)<F(3)，∴< ∴f(3)>e3f(0)，故C正确； 由F(0)<F(4)，∴< ∴f(4)>e4f(0)，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若a=b=c=则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(用“<”连接)  答案　c<b<a 解析　因为a==b== c==所以令g(x)= 则a=g(e)，b=g(8)，c=g(9)， g'(x)= 当x∈(+∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(+∞)上单调递减. 又<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a. 10.(2024·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为其导函数是f'(x).若f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则关于x的不等式f(x)>2fcos x的解集为　　　　　　　　　.  答案　 解析　依题意令F(x)=x∈ 则F'(x)= 因为当-<x<时，f'(x)cos x+f(x)sin x<0， 所以当x∈时，F'(x)<0， 所以F(x)在上单调递减， 则f(x)>2fcos x等价于> 即F(x)>F 所以 解得-<x< 所以所求不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数中函数的构造问题 微重点2 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 考情分析 专题强化练 考点一 考点二 导数型构造函数 构造具体函数比较大小 内容索引 导数型构造函数 考点一 　(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0]时， f(x)+xf'(x)>0成立，若 a=30.2f(30.2)，b=(ln 2)f(ln 2)，c=f 则 a，b，c的大小关系是 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 例1 考向1　利用f(x)与x构造 √ 令g(x)=xf(x)，x∈R， 因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0， 所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，0]上单调递增， 又g(x)为奇函数， 所以g(x)在R上单调递增， 又因为a=30.2f(30.2)=g(30.2)， b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2)， c=f=g=g(-2)， -2<0<ln 2<ln e=1=30<30.2， 所以g(-2)<g(ln 2)<g(30.2)，即a>b>c. 规律方法 (1)出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)； (2)出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. (2024·石家庄二中统考)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) 跟踪演练1 √ 根据题意可令g(x)=(x<0)⇒g'(x)=<0， 所以g(x)=在(-∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于<-1， 由g(x+2 025)=<-1=g(-1)⇒0>x+2 025>-1， 解得-2 026<x<-2 025，故解集为(-2 026，-2 025). 　(2024·菏泽统考)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2，∀x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不等式f(x)>e-x+1的解集为 A.{x|x>1} B.{x|x>e} C.{x|x<0} D.{x|x>0} 例2 考向2　利用f(x)与ex构造 √ 因为f(x)+f'(x)>1， 所以f(x)+f'(x)-1>0， 所以构造函数F(x)=exf(x)-ex， 则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0， 所以F(x)在R上单调递增， 因为f(0)=2，所以F(0)=1， 所以不等式f(x)>e-x+1⇔exf(x)-ex>1⇔F(x)>F(0)， 因为F(x)在R上单调递增，所以x>0， 所以不等式的解集为{x|x>0}. 规律方法 (1)出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)； (2)出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. 已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)<f'(x) 恒成立，且当x>0时，f(x)>0，则下列式子不一定成立的是 A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2) C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f 跟踪演练2 √ 设F(x)= 因为F'(x)== 又f(x)<f'(x)，所以F'(x)>0，即F(x)在R上为增函数， 选项A，因为F(8)>F(4)，即> 化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立； 选项B，因为F(4)>F(2)，即> 化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立； 选项C，因为F(2)>F(1)，即> 化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立； 选项D，因为F(1)>F 即>化简得f(1)>f 而f<2f故D不一定成立. 　(2024·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x>0，则 A.f<f B.f<f C.f>f D.f>f 例3 考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造 √ 令F(x)=x≠+kπ，k∈Z， 故F'(x)=>0恒成立， 故F(x)=k∈Z上单调递增， 故F<F 即<⇒< ⇒f<f. 规律方法 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)=f(x)sin x，F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x； (2)F(x)=F'(x)=； (3)F(x)=f(x)cos x，F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x； (4)F(x)=F'(x)=. (2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式 f(x)>2fsin x的解集为 A. B. C. D. 跟踪演练3 √ 令函数g(x)=x∈(0，π)， 则g'(x)=<0， 因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fsin x⇔> 即g(x)>g解得0<x< 所以原不等式的解集为. 构造具体函数比较大小 考点二 　(1)(2024·昆明模拟)设a=b=c=则 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 例4 √ 设f(x)=则f'(x)= 当x∈(0，e)时，f'(x)>0， 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， ∵b=f(5)，c=f(6)，∴b>c， 又a-b=-==>0， 得a>b，∴a>b>c. (2)(2024·遵义模拟)设a=tan 0.01，b=ln 1.01，c=则下列关系正确的是 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a √ b=ln 1.01=ln(1+0.01)， c=== 令f(x)=ln(1+x)-x∈ 则f'(x)=-=>0， 所以函数f(x)在上单调递增， 所以f(0.01)>f(0)=0， 即ln(1+0.01)>所以b>c； 令g(x)=ln(1+x)-x，x∈ 则g'(x)=-1=-<0， 所以g(x)在上单调递减， 所以g(0.01)<g(0)=0，即ln(1+0.01)<0.01， 令h(x)=x-tan x，x∈则h'(x)=1-=-tan2x<0， 所以函数h(x)在上单调递减， 所以h(0.01)<h(0)=0，即0.01<tan 0.01， 所以ln(1+0.01)<tan 0.01，即b<a， 综上所述，c<b<a. 规律方法 构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小； (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小. (1)(2024·德阳模拟)已知a=4ln 3π，b=3π，c=4ln π3，则a，b，c的大小关系是 A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 跟踪演练4 √ 因为a=4ln 3π=4πln 3，b=3π，c=4ln π3=4×3ln π， 观察a，c的式子结构，构造函数f(x)=则f'(x)= 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 因为π>3>e，所以f(π)<f(3)， 即<所以3ln π<πln 3，即4×3ln π<4πln 3，即c<a； 又ln π>ln e=1，所以3π<3×4<4×3ln π，即b<c， 综上，b<c<a. (2)(2024·石家庄模拟)已知a，b，c∈(1，+∞)=== 则下列大小关系正确的是 A.c>b>a B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b √ 设f(x)=xln x(x>1)，g(x)=(18-x)ln x(x≥10)， 因为=== 所以aln a=8ln 10，bln b=7ln 11，cln c=6ln 12， 即f(a)=g(10)，f(b)=g(11)，f(c)=g(12)， g'(x)=(18-x)'ln x+(18-x)(ln x)'=-ln x+-1， 令h(x)=g'(x)=-ln x+-1(x≥10)， 则h'(x)=--<0，g'(x)在[10，+∞)上单调递减， 所以g'(x)≤g'(10)<0，所以g(x)在[10，+∞)上单调递减， 所以g(10)>g(11)>g(12)，即f(a)>f(b)>f(c)， f'(x)=ln x+1，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a>b>c. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A A D B ABD AC 题号 9 10 答案 c<b<a 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、单项选择题 1.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf'(x)<0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，c=-2f(-2)，则 A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)为奇函数， 则f(-x)=-f(x)， 设g(x)=xf(x)，则g(x)的定义域为R， 且g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)， 所以g(x)是偶函数， 当x∈(-∞，0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0， 则g(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为a=3f(3)=g(3)，b=f(1)=g(1)，c=-2f(-2)=g(-2)=g(2)，所以a>c>b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2024·福州模拟)已知a=lnb=ln 2，c=-则 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为b=ln 2>0，而a=ln<0，c<0，所以b最大， 构造函数f(x)=xln x(x>0)， 因为f'(x)=ln x+1(x>0)， 当0<x<时，f'(x)<0，当x>时，f'(x)>0， 所以f(x)在上单调递增， 又因为a=fc=f 所以f>f即a>c，故b>a>c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(1)=e，当x>0时，f'(x) <+ex，则不等式>1的解集为 A.(0，1) B.(0，+∞) C.(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 不等式>1等价于f(x)>ex+ln x，即f(x)-ex-ln x>0， 构造函数g(x)=f(x)-ex-ln x，x>0，所以g'(x)=f'(x)-ex- 因为当x>0时，f'(x)<+ex，所以g'(x)<0对∀x∈(0，+∞)恒成立， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又因为g(1)=f(1)-e-ln 1=0， 所以不等式f(x)-ex-ln x>0等价于g(x)>g(1)，所以0<x<1， 即>1的解集为(0，1). 答案 4.(2024·银川模拟)设a=90.2，b=30.31，c=3ln 1.3，则 A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 根据题意，构造函数f(x)=x-1-ln x，则f'(x)= 当x≥1时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增， 可得f(1.3)>f(1)=0，即f(1.3)=1.3-1-ln 1.3=0.3-ln 1.3>0， 所以0.3>ln 1.3， 又指数函数y=3x在R上单调递增， 则30.31>30.3>3ln 1.3，即b>c， 因为a=90.2=30.4>30.31=b，所以c<b<a. 5.(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)+f(-x) =0.对于任意的实数x，均有f(x)<成立，若f(-3)=-16，则不等式f(x)>2x+1 的解集为 A.(-∞，-3) B.(-∞，3) C.(-3，+∞) D.(3，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)<⇔f'(x)-f(x)ln 2>0， 令g(x)= 则g'(x)==>0， 则g(x)在R上单调递增. 由f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数， 由f(-3)=-16，f(x)为奇函数，得f(3)=16， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则g(3)==2， 从而原不等式f(x)>2x+1可化为>2， 即g(x)>g(3). 由于g(x)在R上单调递增，故g(x)>g(3)等价于x>3， 所以不等式的解集为(3，+∞). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2024·武汉统考)若函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x，f(x)的最小值为0，则函数y=f(x)-cos x的零点为 A.0 B.± C.±2 D.2kπ(k∈Z) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为函数f(x)的导数f'(x)=x-sin x， 所以f(x)=x2+cos x+c，c为常数， 设g(x)=f'(x)=x-sin x，则g'(x)=1-cos x≥0恒成立，g(x)在R上单调递增， 又g(0)=0，所以当x∈(-∞，0)时，g(x)<0，即f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=0处取得最小值， 即f(x)min=f(0)=1+c=0，故c=-1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以f(x)=x2+cos x-1， 故y=f(x)-cos x=x2-1， 令x2-1=0，解得x=± 函数y=f(x)-cos x的零点为±. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、多项选择题 7.(2024·池州模拟)下列不等关系中正确的是 A.< B.bea>aeb(a>b>1) C.cos < D.sin 1.2> √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于A项<⇔3ln 2<2ln 3⇔ln 8<ln 9，故A项正确； 对于B项，设k(x)=x>1，则k'(x)=>0在(1，+∞)上恒成立， 故函数k(x)在(1，+∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以k(a)>k(b)，即>故bea>aeb，故B项正确； 对于C项，cos<⇔cos<1-=1- 故构造f(x)=cos x-1+x2(x>0)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则f'(x)=x-sin x>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，f=cos->f(0)=0， 即cos >故C项错误； 对于D项，sin 1.2>sin=故D项正确. 答案 8.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，则下列判断正确的是 A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 √ 设F(x)= 则F'(x)== ∵函数f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0， 当x>1时，f'(x)-f(x)>0，∴F'(x)>0， ∴F(x)在(1，+∞)上单调递增； 当x<1时，f'(x)-f(x)<0，∴F'(x)<0， ∴F(x)在(-∞，1)上单调递减， 又由f(2-x)=f(x)e2-2x⇔=⇔F(2-x)=F(x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ∴F(x)关于直线x=1对称，从而F(1)<F(0)=F(2)<F(3)<F(4)， 由F(1)<F(0)，∴<∴f(1)<ef(0)，故A正确； 由F(0)=F(2)，∴=∴f(2)=e2f(0)，故B错误； 由F(0)<F(3)，∴< ∴f(3)>e3f(0)，故C正确； 由F(0)<F(4)，∴< ∴f(4)>e4f(0)，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.若a=b=c=则a，b，c的大小关系为　　　 . (用“<”连接)  答案 c<b<a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为a==b== c==所以令g(x)= 则a=g(e)，b=g(8)，c=g(9)， g'(x)= 当x∈(+∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(+∞)上单调递减. 又<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.(2024·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为其导函数是f'(x). 若f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则关于x的不等式f(x)>2fcos x的解集 为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依题意令F(x)=x∈ 则F'(x)= 因为当-<x<时，f'(x)cos x+f(x)sin x<0， 所以当x∈时，F'(x)<0， 所以F(x)在上单调递减， 则f(x)>2fcos x等价于> 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即F(x)>F 所以 解得-<x< 所以所求不等式的解集为. 答案 本课结束 THANKS $$