专题一 微重点1 函数的公切线问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

函数的公切线问题 微重点1 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 考情分析 考点一 考点二 考点三 求两函数的公切线 与公切线有关的求值问题 判断公切线条数 内容索引 考点四 求参数的取值范围 专题强化练 求两函数的公切线 考点一 　(2024·扬州模拟)若直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=ex-2的切 线，则直线l的方程为　　　 .  例1 y=x-1或y=x 设直线l与y=ex-2和y=ln x的切点分别为(x1)，(x2，ln x2)， 由导数的几何意义可得k== 曲线y=ex-2在点(x1)处的切线方程为y-=(x-x1)， 即y=x+(1-x1) 曲线y=ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1， 则 解得 故直线l的方程为y=x-1或y=x. 规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y-f(x0)= f'(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. (2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为　　　　 　.  跟踪演练1 2x-y-e=0 设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f'(x)=2x，g'(x)= 由题意知f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)， 即解得 故切点为(e)， 切线斜率k=f'(x0)=2 所以切线方程为y-e=2(x-)， 即2x-y-e=0. 与公切线有关的求值问题 考点二 (2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=都相切， 则实数a的值为 A.0或2 B.-2或0 C.-1或0 D.0或1 例2 √ 依题意得，设直线l的方程为y=x+b， 由直线和圆x2+y2=相切可得=解得b=±1， 当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切， 设切点坐标为(x0，x0+1)， ∴解得 同理当b=-1时，y=x-1和y=ln(x+a)相切，可得a=0. 综上所述，a=2或a=0. 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程. 规律方法 (2024·河南省部分重点高中联考)若两个函数f(x)=ln x+a和g(x)= bex(a，b∈R)存在过点的公切线，设切点坐标分别为(x1，f(x1))， (x2，g(x2))，则(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]=　　　.  跟踪演练2 9 f'(x)=切点坐标为(x1，ln x1+a)，切线斜率为 切线方程为y-(ln x1+a)=(x-x1)， 将代入得ln x1+a=- 即f(x1)=-. g'(x)=bex，切点坐标为(x2，b)，切线斜率为b 切线方程为y-b=b(x-x2)， 将代入得b= 即g(x2)= 又因为=b= 可得x1=2(3-x2)，即x1+2x2=6， f(x1)+2g(x2)=-+2b=-+= 所以(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]=9. 判断公切线条数 考点三 (2024·广州模拟)曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 例3 设公切线与y=x2的切点为(x1)，与y=ln x的切点为(x2，ln x2)， y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'= 则在切点(x1)处的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x- 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1，∴ 整理得到-ln x1=1+ln 2， 令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)，则f'(x)=2x-= 令f'(x)>0，得x>；令f'(x)<0，得0<x< ∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， f(x)min=f=+ln 2<1+ln 2， 即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln 2有两个交点，则方程-ln x1 =1+ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是2. 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 规律方法 已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ 跟踪演练3 f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 设g(x)=x2+直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2x， 所以切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+ 则 (*) 整理得-2-=-2-=(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故上述方程有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 求参数的取值范围 考点四 (2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2： y=2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是 A. B. C. D.(-∞，2e] √ 例4 设点P的横坐标为n(n>0)，则由y=+ax-m可得y'=x+a， 又y=2a2ln x可得y'= 且两条曲线在点P处的切线重合， 所以切线的斜率k=n+a=(a>0)，解得n=a或n=-2a(舍去)， 即点P的横坐标为a(a>0)， 由点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点， 所以+a2-m=2a2ln a，即m=-2a2ln a+a2， 令f(a)=-2a2ln a+a2(a>0)， 则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)， 令f'(a)=0可得a= 由a>0知，当0<a<时，f'(a)>0， 当a>时，f'(a)<0， 所以f(a)在上单调递减，所以f(a)max=f= 当a→+∞时，f(a)→-∞，则实数m的取值范围为. 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 规律方法 若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围 是　　　　 .  跟踪演练4 令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex，则f'(x)=-g'(x)=ex， 设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)， 即y=-x+ 设点B(x2，g(x2))，则曲线y=g(x)在点B处的切线为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)， 即y=x+(1-x2) 由题意 消去x1得-4k=(1-x2)2 由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根， 令φ(x)=(1-x)2ex，则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex， 当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增； 当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减； 故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=； 当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0， 当x→-∞时，φ(x)→0； 当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示， 由图可知0<-4k<即-<k<0. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B B ABC ABC x2+2x(答案不唯一) 题号 9 10 答案 (e2，e) 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为 A. B. C.e D.e2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)=ex，所以f(0)=1，f'(x)=ex，所以f'(0)=1， 所以切线方程为y=x+1， 又g(x)=ln(ax)，所以g'(x)= 设切线y=x+1与y=g(x)的切点为(m，n)， 可得切线的斜率为=1，即m=1， n=m+1=1+1=2，可得切点为(1，2)， 所以2=ln a，解得a=e2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a-b的值为 A.e-2 B.e+2 C.e D.e2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x， 所以f'(x)=ex-a，g'(x)=2x+1， 因为f(x)，g(x)在公共点A(1，2)处有相同的切线， 所以 所以a-b=e-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f'(x)=2x-4，g'(x)=-x-2，g'(n)=f'(m)= 解得m=-+2，代入化简得8n3-8n2+1=0， 构造函数h(x)=8x3-8x2+1， h'(x)=8x(3x-2)， 令h'(x)>0，得x<0或x>； 令h'(x)<0，得0<x< 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则h(x)在(-∞，0)上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)=1>0，极小值h=-<0，故函数 h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3-8n2+1=0有三个解，故公切线有3条. 答案 4.对于三次函数f(x)，若曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则f'(2)等于 A.-34 B.-14 C.-4 D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)， ∵f(0)=d=0，∴f(x)=ax3+bx2+cx， ∴f'(x)=3ax2+2bx+c，∴f'(0)=c==2， 设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2， 即a+b=0， ① 又∵g'(x)=f(x)+xf'(x)，∴g'(1)=f(1)+f'(1)=2，∴f'(1)=0， 即3a+2b+2=0， ② 由①②可得a=-2，b=2，∴f'(2)=-14. 5.已知函数f(x)=ex-1，g(x)=ex2，若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切 线，则l的方程为 A.ex-y=0 B.ex-y-e=0 C.x-y=0 D.x-y-1=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设直线l与曲线y=f(x)相切于点A(x0)， 与y=g(x)相切于点B 由f'(x)=ex-1，可得l的斜率k= 又由g'(x)=ex，可得k=ex1， 所以切线方程分别为y-=(x-x0)， y-e=ex1(x-x1)， 即y=·x+(1-x0)y=ex1x-e 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则 整理得x0-1=即ln(x0-1)=x0-2， 所以x0=2，则x1=2， 故所求直线l的方程为y-e=e(x-2)，即ex-y-e=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、多项选择题 6.已知曲线C1：f(x)=ex+a和曲线C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值可以为 A.-e B. C.2 D.e √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题知f'(x)=ex，g'(x)= 设斜率为1的切线在曲线C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2， 由题知==1， ∴x1=0，x2=1-b， 两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)， 故a+1=a2-1+b，即b=2+a-a2=-+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知l1，l2是函数y=aex与y=ln x-ln a的图象的两条公切线，记l1的倾斜角为α， l2的倾斜角为β，且l1，l2的夹角为θ则下列说法正确的有 A.sin α=cos β B.tan α+tan β≥2 C.若tan θ=则a3= D.l1与l2的交点可能在第三象限 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，因为y=aex与y=ln x-ln a互为反函数， 故两函数的图象关于直线y=x对称，则l1，l2关于直线y=x对称， 故α+β=sin α=sin=cos β，故A正确； 由题意，α，β均为锐角，tan α>0，tan β>0，tan α+tan β =tan α+tan=tan α+≥2， 当且仅当tan α=1，即α=β=时取等号，故B正确； 设l1与两个函数图象分别切于M，N两点，与y=x交于点Q，∠OQN= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由tan θ=即= 解得tan=或-3(舍去)， 故kMN=tan==2， 对于y=ex，则y'=ex，令y'=ex=2， 解得x=ln 2，所以切点为(ln 2，2)， 所以曲线y=ex的斜率为2的切线方程为y=2x-2ln 2+2， 故曲线y=aex=ex+ln a的斜率为2的切线方程为y=2(x+ln a)-2ln 2+2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 同理可得y=ln x的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1， 故曲线y=ln x-ln a的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1-ln a， 所以-ln 2-1-ln a=2ln a-2ln 2+2， 则ln a3=ln 2-3，则a3=故C正确； 由图可知点Q必在第一象限，故D错误. 答案 三、填空题 8.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)=　　　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 x2+2x(答案不唯一) 因为f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x， 则f'(0)=2，f(0)=0，依题意只需满足g(0)=0，g'(0)=2即可， 不妨令g(x)=x2+2x，则g'(x)=2x+2， 则g'(0)=2，又g(0)=0，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为　　　 .  答案 (e2，e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数f(x)=aln x的定义域为(0，+∞)， 可得f'(x)=由g(x)=可得g'(x)= 设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0，y0)， 由于在公共点处有相同的切线，所以=所以x0=4a2(a>0)， 由f(x0)=g(x0)，可得aln x0= 联立可得 解得x0=e2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e2，e). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.(2024·茂名模拟)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线，则实数a的取 值范围是　　　　　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 两个函数求导分别为y'=y'=2x+2a， 设y=ln x，y=x2+2ax图象上的切点分别为(x1，ln x1)，(x2+2ax2)， 则切线方程分别为y=+ln x1-1，y=(2x2+2a)x- 则=2x2+2a，ln x1-1=- 所以2a=-2x2， 设f(x)=-2x，f'(x)=2(x-1)，f'(1)=0， 令g(x)=f'(x)=2(x-1)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以g'(x)=2(2x2+1)>0， 所以g(x)即f'(x)在R上单调递增，且f'(1)=0， 则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以2a≥f(1)=-1，故a≥-. 答案 本课结束 THANKS $$ 微重点1　函数的公切线问题 [考情分析]　函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 考点一　求两函数的公切线 例1　(2024·扬州模拟)若直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则直线l的方程为　　　　.  答案　y=x-1或y=x 解析　设直线l与y=ex-2和y=ln x的切点分别为(x1)，(x2，ln x2)， 由导数的几何意义可得k== 曲线y=ex-2在点(x1)处的切线方程为y-=(x-x1)， 即y=x+(1-x1) 曲线y=ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1， 则 解得或 故直线l的方程为y=x-1或y=x. [规律方法]　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 跟踪演练1　(2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为　　　　　.  答案　2x-y-e=0 解析　设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f'(x)=2x，g'(x)= 由题意知f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)， 即 解得 故切点为(e)， 切线斜率k=f'(x0)=2 所以切线方程为y-e=2(x-)， 即2x-y-e=0. 考点二　与公切线有关的求值问题 例2　(2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=都相切，则实数a的值为(　　) A.0或2 B.-2或0 C.-1或0 D.0或1 答案　A 解析　依题意得，设直线l的方程为y=x+b， 由直线和圆x2+y2=相切可得=解得b=±1， 当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切， 设切点坐标为(x0，x0+1)， ∴ 解得 同理当b=-1时，y=x-1和y=ln(x+a)相切，可得a=0. 综上所述，a=2或a=0. [规律方法]　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程. 跟踪演练2　(2024·河南省部分重点高中联考)若两个函数f(x)=ln x+a和g(x)=bex(a，b∈R)存在过点的公切线，设切点坐标分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，则(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]=　　　　　.  答案　9 解析　f'(x)=切点坐标为(x1，ln x1+a)，切线斜率为 切线方程为y-(ln x1+a)=(x-x1)， 将代入得ln x1+a=- 即f(x1)=-. g'(x)=bex，切点坐标为(x2，b)，切线斜率为b 切线方程为y-b=b(x-x2)， 将代入得b= 即g(x2)= 又因为=b= 可得x1=2(3-x2)，即x1+2x2=6， f(x1)+2g(x2)=-+2b=-+= 所以(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]=9. 考点三　判断公切线条数 例3　(2024·广州模拟)曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　设公切线与y=x2的切点为(x1)， 与y=ln x的切点为(x2，ln x2)， y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'= 则在切点(x1)处的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x- 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1，∴ 整理得到-ln x1=1+ln 2， 令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)， 则f'(x)=2x-= 令f'(x)>0，得x>； 令f'(x)<0，得0<x< ∴f(x)在区间上单调递减， 在区间上单调递增， f(x)min=f=+ln 2<1+ln 2， 即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln 2有两个交点，则方程-ln x1=1+ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是2. [规律方法]　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 跟踪演练3　已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 设g(x)=x2+直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2x， 所以切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+ 则(*) 整理得-2-=-2-=(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故上述方程有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 考点四　求参数的取值范围 例4　(2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D.(-∞，2e] 答案　C 解析　设点P的横坐标为n(n>0)，则由y=+ax-m可得y'=x+a， 又y=2a2ln x可得y'= 且两条曲线在点P处的切线重合， 所以切线的斜率k=n+a=(a>0)，解得n=a或n=-2a(舍去)， 即点P的横坐标为a(a>0)， 由点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点， 所以+a2-m=2a2ln a， 即m=-2a2ln a+a2， 令f(a)=-2a2ln a+a2(a>0)， 则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)， 令f'(a)=0可得a= 由a>0知，当0<a<时，f'(a)>0， 当a>时，f'(a)<0， 所以f(a)在上单调递增，在上单调递减，所以f(a)max=f= 当a→+∞时，f(a)→-∞， 则实数m的取值范围为. [规律方法]　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 跟踪演练4　若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是　　　　.  答案　 解析　令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex， 则f'(x)=-g'(x)=ex， 设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)， 即y=-x+ 设点B(x2，g(x2))，则曲线y=g(x)在点B处的切线为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)， 即y=x+(1-x2) 由题意 消去x1得-4k=(1-x2)2 由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根， 令φ(x)=(1-x)2ex， 则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex， 当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增； 当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减； 故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=； 当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0， 当x→-∞时，φ(x)→0； 当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示， 由图可知0<-4k<即-<k<0. 专题强化练 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为(　　) A. B. C.e D.e2 答案　D 解析　因为f(x)=ex，所以f(0)=1，f'(x)=ex，所以f'(0)=1， 所以切线方程为y=x+1， 又g(x)=ln(ax)，所以g'(x)= 设切线y=x+1与y=g(x)的切点为(m，n)， 可得切线的斜率为=1，即m=1， n=m+1=1+1=2，可得切点为(1，2)， 所以2=ln a，解得a=e2. 2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a-b的值为(　　) A.e-2 B.e+2 C.e D.e2 答案　A 解析　因为f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x， 所以f'(x)=ex-a，g'(x)=2x+1， 因为f(x)，g(x)在公共点A(1，2)处有相同的切线， 所以即 所以a-b=e-2. 3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 答案　A 解析　设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f'(x)=2x-4，g'(x)=-x-2，g'(n)=f'(m)= 解得m=-+2，代入化简得8n3-8n2+1=0， 构造函数h(x)=8x3-8x2+1， h'(x)=8x(3x-2)， 令h'(x)>0，得x<0或x>； 令h'(x)<0，得0<x< 则h(x)在(-∞，0)上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)=1>0，极小值h=-<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3-8n2+1=0有三个解，故公切线有3条. 4.对于三次函数f(x)，若曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则f'(2)等于(　　) A.-34 B.-14 C.-4 D.14 答案　B 解析　设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)， ∵f(0)=d=0，∴f(x)=ax3+bx2+cx， ∴f'(x)=3ax2+2bx+c， ∴f'(0)=c==2， 设g(x)=xf(x)， 则g(1)=f(1)=a+b+2=2， 即a+b=0， ① 又∵g'(x)=f(x)+xf'(x)， ∴g'(1)=f(1)+f'(1)=2，∴f'(1)=0， 即3a+2b+2=0， ② 由①②可得a=-2，b=2，∴f'(2)=-14. 5.已知函数f(x)=ex-1，g(x)=ex2，若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则l的方程为(　　) A.ex-y=0 B.ex-y-e=0 C.x-y=0 D.x-y-1=0 答案　B 解析　设直线l与曲线y=f(x)相切于点A(x0)，与y=g(x)相切于点B 由f'(x)=ex-1，可得l的斜率k= 又由g'(x)=ex，可得k=ex1， 所以切线方程分别为y-=(x-x0)， y-e=ex1(x-x1)， 即y=·x+(1-x0) y=ex1x-e 则 整理得x0-1=即ln(x0-1)=x0-2， 所以x0=2，则x1=2， 故所求直线l的方程为y-e=e(x-2)，即ex-y-e=0. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 6.已知曲线C1：f(x)=ex+a和曲线C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值可以为(　　) A.-e B. C.2 D.e 答案　ABC 解析　由题知f'(x)=ex，g'(x)= 设斜率为1的切线在曲线C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2， 由题知==1， ∴x1=0，x2=1-b， 两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)， 故a+1=a2-1+b，即b=2+a-a2=-+. 7.已知l1，l2是函数y=aex与y=ln x-ln a的图象的两条公切线，记l1的倾斜角为α，l2的倾斜角为β，且l1，l2的夹角为θ则下列说法正确的有(　　) A.sin α=cos β B.tan α+tan β≥2 C.若tan θ=则a3= D.l1与l2的交点可能在第三象限 答案　ABC 解析　如图，因为y=aex与y=ln x-ln a互为反函数， 故两函数的图象关于直线y=x对称，则l1，l2关于直线y=x对称， 故α+β=sin α=sin=cos β，故A正确； 由题意，α，β均为锐角，tan α>0，tan β>0，tan α+tan β=tan α+tan=tan α+≥2， 当且仅当tan α=1，即α=β=时取等号，故B正确； 设l1与两个函数图象分别切于M，N两点，与y=x交于点Q，∠OQN= 由tan θ= 即= 解得tan=或-3(舍去)， 故kMN=tan==2， 对于y=ex，则y'=ex，令y'=ex=2， 解得x=ln 2，所以切点为(ln 2，2)， 所以曲线y=ex的斜率为2的切线方程为y=2x-2ln 2+2， 故曲线y=aex=ex+ln a的斜率为2的切线方程为y=2(x+ln a)-2ln 2+2， 同理可得y=ln x的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1， 故曲线y=ln x-ln a的斜率为2的切线方程为y=2x-ln 2-1-ln a， 所以-ln 2-1-ln a=2ln a-2ln 2+2， 则ln a3=ln 2-3，则a3=故C正确； 由图可知点Q必在第一象限，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 8.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)=　　　　　　.  答案　x2+2x(答案不唯一) 解析　因为f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x， 则f'(0)=2，f(0)=0，依题意只需满足g(0)=0，g'(0)=2即可， 不妨令g(x)=x2+2x，则g'(x)=2x+2， 则g'(0)=2，又g(0)=0，符合题意. 9.已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为　　　　　　　　.  答案　(e2，e) 解析　函数f(x)=aln x的定义域为(0，+∞)， 可得f'(x)=由g(x)= 可得g'(x)= 设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0，y0)， 由于在公共点处有相同的切线，所以= 所以x0=4a2(a>0)， 由f(x0)=g(x0)，可得aln x0= 联立可得 解得x0=e2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e2，e). 10.(2024·茂名模拟)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　两个函数求导分别为y'=y'=2x+2a， 设y=ln x，y=x2+2ax图象上的切点分别为(x1，ln x1)，(x2+2ax2)， 则切线方程分别为y=+ln x1-1，y=(2x2+2a)x- 则=2x2+2a，ln x1-1=- 所以2a=-2x2， 设f(x)=-2x，f'(x)=2(x-1)，f'(1)=0， 令g(x)=f'(x)=2(x-1)， 所以g'(x)=2(2x2+1)>0， 所以g(x)即f'(x)在R上单调递增，且f'(1)=0， 则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以2a≥f(1)=-1，故a≥-. 学科网（北京）股份有限公司 $$