专题一 微专题1 函数的图象与性质-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（标准版）（课件PPT+word教案）

微专题1　函数的图象与性质 [考情分析]　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 考点一　函数的概念与表示 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 例1　(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是(　　) A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+的定义域为(2，3] B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个 C.若函数f(lg x)=x，则f= D.函数y=的值域为 答案　ACD 解析　对于A，由题可知⇒⇒2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2，3]，故A正确； 对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为{-2}，{2}，{-2，2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误； 对于C，令lg x=得x=所以f=故C正确； 对于D，y==1- 因为≠0，所以y≠1， 所以值域为{y|y≠1}，故D正确. (2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是(　　) A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数 B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值 C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1 D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题 答案　A 解析　依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误； 由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确； 对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)=J(2n)-1，C正确； 对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n， 由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确. [规律方法]　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 跟踪演练1　(1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为sgn(x)= 当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，取x=-则ex-1<0，-x+1>0， 此时sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立； 当x>1时，ex-1>0，-x+1<0，所以sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1-1=0，即必要性成立， 所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件. (2)已知a>0，且a≠1，函数f(x)=若f(f(-1))=2，则a=　　　　　　，f(x)≤4的解集为　　　　　　.  答案　　 解析　由题可知，f(f(-1))=f(a-1)=loga(2a-2+1)=2， 则a2=2a-2+1，即a4-a2-2=0， 解得a2=2，故a=(舍负). 当x≥0时，f(x)=lo(2x2+1)≤4， 解得0≤x≤； 当x<0时，f(x)=()x≤4恒成立. 故不等式的解集为. 考点二　函数的图象 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点. 考向1　函数图象的识别 例2　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为(　　) 答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0， 故可排除D. 考向2　函数图象的变换及应用 例3　(1)(2024·长沙统考)已知函数f(x)=则f(2-x)的图象是(　　) 答案　C 解析　设g(x)=f(2-x)，则g(1)=f(1)=2，从而排除ABD. (2)(2024·渭南模拟)已知f(x)=若存在实数x1，x2，x3，x4，x5且x1<x2<x3<x4<x5，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)，则的取值范围为(　　) A. B. C.(-∞，4] D. 答案　D 解析　作出f(x)=的图象如图， 由题，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0， 所以=(x1+x2+x3+x4+x5)f(x1)=(x1+4)f(x1)=(x1+4) 令g(x)=(x+4)ex(x<0)， 则当x<-4时，g(x)<0； 当-4<x<0时，g(x)>0. g'(x)=(x+5)ex，当x<-5时，g'(x)<0，g(x)在(-∞，-5)上单调递减； 当-5<x<0时，g'(x)>0，g(x)在(-5，0)上单调递增. 所以g(x)min=g(-5)=-且g(x)<g(0)=4， 所以的取值范围为. [规律方法]　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. 跟踪演练2　(1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案　D 解析　对于选项A，因为f(1)=>0，与图象不符，故A错误；对于选项B，因为f(1)=>0，与图象不符，故B错误；对于选项C，因为f(1)=>0，与图象不符，故C错误. (2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(x-1)+1的图象(　　) A.关于点(1，1)对称 B.关于点(-1，1)对称 C.关于点(-1，0)对称 D.关于点(1，0)对称 答案　A 解析　因为f(x)=所以f(-x)==-f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数y=f(x-1)+1的图象关于点(1，1)对称. 考点三　函数的性质 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)，则函数y=f(x)的周期为2|a|. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. 考向1　单调性与奇偶性 例4　已知定义在R上的函数f(x)=ex-e-x，设a=20.7·f(20.7)，b=·fc=-log0.71.25·f(log0.70.8)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 答案　A 解析　令F(x)=xf(x)(x∈R)，因为 F(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=F(x)， 所以F(x)为偶函数. F'(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)， 因为当x≥0时，ex-e-x≥e0-e-0=0，x(ex+e-x)≥0，此时F'(x)≥0， 所以F(x)在[0，+∞)上单调递增. 因为a=20.7·f(20.7)=F(20.7)， b=·f=F c=-log0.71.25·f(log0.70.8)=log0.71.25-1·f(log0.70.8)=log0.70.8·f(log0.70.8)=F(log0.70.8)， 因为=20.8>20.7>1， 0<log0.70.8<log0.70.7=1， 所以>20.7>log0.70.8>0， 所以F>F(20.7)>F(log0.70.8)，即b>a>c. 考向2　奇偶性与周期性、对称性 例5　(多选)(2024·三门峡模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，且g(x)=f'(x)，若∀x∈R，f(x)=f(6-x)，g(4+x)=g(4-x)，则(　　) A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2 C.=0 D.f(0)+f(4)=2 答案　AC 解析　因为f(x)=f(6-x)，所以f(x)的图象关于直线x=3对称. 令x=-2，得f(-2)=f(8)，故A项正确； 因为f(x)=f(6-x)，所以f'(x)=-f'(6-x)，即g(x)=-g(6-x)， 所以g(4+x)=-g(2-x)，因为g(4+x)=g(4-x)，所以g(4-x)=-g(2-x)， 即g(x+2)=-g(x)，所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，则g(x)的一个周期为4. 因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x)的一个极值点， 所以g(3)=f'(3)=0，所以g(-1)=g(3)=0， 则g(-1)+g(3)=0，故B项错误； 由g(x+2)=-g(x)，得g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0， 即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，g(1)=0. 所以=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)=0，故C项正确； 设h(x)=f(x)+c(c为常数)，定义域为R， 则h'(x)=f'(x)=g(x)，h(3+x)=f(3+x)+c，h(3-x)=f(3-x)+c， 又f(3+x)=f(3-x)，所以h(3+x)=h(3-x)，显然h(x)=f(x)+c也满足题设， 即f(x)上、下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的值不确定，故D项错误. [二级结论]　(1)若f(x+a)=-f(x)则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的周期为2|a-b|. (3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的周期为4|a-b|. 跟踪演练3　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，有>0，若f(1)=0，则不等式(x-1)f(x)>0的解集是(　　) A.(-1，1)∪(1，+∞) B.(-1，1) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，1) 答案　A 解析　已知f(x)是定义在R上的偶函数， 则f(x)=f(-x)， 又对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， 则函数f(x)在(-∞，0)上单调递减， 又f(1)=0，所以f(-1)=f(1)=0， 根据函数f(x)的单调性可知，(x-1)f(x)>0等价为或 即或 解得x>1或-1<x<1， 即不等式的解集为(-1，1)∪(1，+∞). (2)(多选)(2024·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则(　　) A.f(0)=2 B.f(3-x)=f(3+x) C.f(x)是周期函数 D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinx 答案　ABC 解析　由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1， 令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，可得f(0)=2，故A正确； 令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，则f(y)=f(-y)， 又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，而f(x)=2sinx为奇函数，故D错误； f(1)=1，令y=1， 则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)， 所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)， 则f(x)=f(x-1)-f(x-2)， f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2)， 所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的周期为6，故C正确； 由于f(x)为偶函数且周期为6，故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，故B正确. 专题强化练 (分值：83分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.[3，+∞) B.(-∞，-1)∪[3，+∞) C.(-1，3] D.(-1，0)∪(0，3] 答案　D 解析　要使函数有意义，则 解得-1<x≤3且x≠0. 2.(2024·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-x5-3x+a-1，则f(-a)的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f(0)=a-1=0，解得a=1，经过检验符合题意，所以当x≥0时，f(x)=-x5-3x，所以f(-a)=-f(a)=-f(1)=-(-1-3)=4. 3.(2024·攀枝花模拟)函数f(x)=cos x的部分图象大致是(　　) 答案　D 解析　f(x)=cos x的定义域为{x|x≠0}， f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A错误； 当x>0，且x趋近0时，x+>0，cos x>0， 所以f(x)>0，故C错误； 当x=π时，f(π)=cos π=-<0，故B错误. 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则f(99)等于(　　) A.1 B.2 C.- D.-2 答案　B 解析　因为f(x+2)=- 所以f(x+4)=-=-=f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2. 6.(2024·长春模拟)已知函数f(x)=|3x-3-x|，则不等式f(2x-1)-f(x)>0的解集为(　　) A.∪(1，+∞) B. C. D.(1，+∞) 答案　A 解析　f(x)=|3x-3-x|，定义域为R， 又f(-x)=|3-x-3x|=f(x)，故f(x)为偶函数； 又当x>0时，y=3x，y=-3-x均单调递增， 故g(x)=3x-3-x在(0，+∞)上单调递增； 又g(0)=0，故当x>0时，g(x)>0，则f(x)=g(x)在(0，+∞)上单调递增，故当x<0时，f(x)单调递减， f(2x-1)-f(x)>0，即f(2x-1)>f(x)， 则|2x-1|>|x|， 即(2x-1)2>x2，3x2-4x+1>0， 即(3x-1)(x-1)>0， 解得x∈∪(1，+∞). 7.(2024·保定模拟)若函数y=f(x)-1是定义在R上的奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1)等于(　　) A.3 B.2 C.-2 D.-3 答案　A 解析　设F(x)=f(x)-1，则F(x)+F(-x)=0，即f(x)-1+f(-x)-1=0， 即f(x)+f(-x)=2，所以f(1)+f(-1)=2. 因为F(0)=f(0)-1=0，所以f(0)=1， 所以f(-1)+f(0)+f(1)=2+1=3. 8.(2024·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)，则下列结论一定成立的是(　　) A.f(1)=1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)有最小值 D.f(x)在[0，1]上单调递增 答案　C 解析　由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)， 令y=1，则f(x)-xf(1)=x(x-1)，得f(x)=x2+[f(1)-1]x， 当x=1时，f(1)=12+[f(1)-1]恒成立，无法确定f(1)=1，A不一定成立； 由于f(1)=1不一定成立，故f(x)=x2+[f(1)-1]x不一定为偶函数，B不一定成立； 由于f(x)=x2+[f(1)-1]x的对称轴为x=-·[f(1)-1]与[0，1]的位置关系不确定， 故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，D不一定成立； 由于f(x)=x2+[f(1)-1]x表示开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，C一定成立. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.关于函数f(x)=lg下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(-1，1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 答案　ACD 解析　因为f(x)=lg=lg 则>0，解得-1<x<1， 所以f(x)的定义域为(-1，1)，故A正确； 因为f(-x)=lg =-f(x)，即f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为y=-1在(0，1)上单调递增，y=lg x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=lg在(0，1)上单调递增，故D正确. 10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(-x)=-f(x)；②∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时<0，则下列选项成立的是(　　) A.f(0)=0 B.f(-1)<-f(3) C.若xf(x)<0，则x∈(0，+∞) D.若f(m-1)<0，则m∈(-∞，1) 答案　AB 解析　由∀x∈R，f(-x)=-f(x)得，函数f(x)是R上的奇函数， 由∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时， <0得，f(x)在[0，+∞)上单调递减， 又f(x)是连续函数，故可得f(x)在R上单调递减. 对于A，f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(0)=0，故A正确； 对于B，由f(x)在R上单调递减，可得f(-1)<f(-3)，即f(-1)<-f(3)，故B正确； 对于C，对xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0， 由f(x)在R上单调递减，且f(0)=0可知， xf(x)<0的解集为{x|x≠0}，故C错误； 对于D，f(m-1)<0，即f(m-1)<f(0)，则m-1>0，解得m>1，故D错误. 11.(2024·赣州模拟)函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，f(x+1)和g(2x-1)都是奇函数，则(　　) A.g(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.g(x)是周期函数 D.=2 024 答案　BC 解析　对于A，因为g(2x-1)是奇函数，所以g(-2x-1)=-g(2x-1)， 则有g(-x-1)=-g(x-1)，g(x)的图象关于点(-1，0)对称，故A错误； 对于B，f(x+1)是奇函数，其图象关于原点对称， f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后可得f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确； 对于C，因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)， 所以-f'(-x+1)=-f'(x+1)，所以f'(-x+1)=f'(x+1)， 所以g(-x+1)=g(x+1)，所以g(-x+2)=g(x)， ① 因为g(-x-1)=-g(x-1)，所以g(x)=-g(-x-2)， ② 由①②可得，g(-x+2)=-g(-x-2)，所以g(x)=-g(x-4)， 所以g(x+4)=-g(x)，g(x+8)=-g(x+4)=g(x)， 所以8是函数g(x)的一个周期，所以g(x)是周期函数，故C正确； 对于D，因为g(x+4)=-g(x)，所以g(1)=-g(5)， g(2)=-g(6)，g(3)=-g(7)，g(4)=-g(8)， 所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=0， 而=253[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]=0，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)=sin x为偶函数，则a=　　　　　.  答案　1 解析　由f(x)=sin x， 得f(-x)=sin(-x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)， 即sin(-x)=sin x， 所以-==解得a=1. 13.已知函数f(x)=若x∈[-1，1]，则f(x)的值域为　　　　　　　；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，2]　(-∞，-1]∪[0，+∞) 解析　当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]， 故当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]， 因为f(x)在(-∞，0]，(0，+∞)上分别单调递增， 若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0. 14.(2024·三明模拟)已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x3-3x2+3x，则f(x+1)+f(1-x)=　　　　　　，若实数x，y满足f(3x2)+f(2y2-4)=2，则x+y的最大值为　　　　　　.  答案　2　 解析　f(x+1)=ex-e-x+(x+1)3-3(x+1)2+3(x+1)=ex-e-x+x3+1， f(-x+1)=e-x-ex+(-x+1)3-3(-x+1)2+3(-x+1)=e-x-ex-x3+1， 则f(x+1)+f(-x+1)=2， 又因为f(3x2)+f(2y2-4)=2， 所以3x2+2y2-4=2，即3x2+2y2=6， 设x+y=t， 则直线x+y=t与椭圆3x2+2y2=6有交点， 联立 得5x2-4tx+2t2-6=0， 则Δ=16t2-20(2t2-6)≥0，解得-≤t≤ 所以x+y的最大值为. 每小题5分，共10分 15.(2024·温州模拟)已知定义在(0，1)上的函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在(0，1)上单调递增 D.f(x)有最小值 答案　A 解析　对于BC，由题意可知，f=f=1， 显然f(x)的图象不关于点对称，而-+<-故B，C错误； 对于D，若x为有理数，则f(x)= 显然当n→+∞时，f(x)→0，函数无最小值，故D错误； 对于A，若x=是有理数，即m，n(m<n)互质，则n-m，n也互质，即f==f 若x为无理数，则1-x也为无理数，即f(x)=f(1-x)=1， 所以f(x)的图象关于直线x=对称，故A正确. 下证：m，n互质，则n-m，n也互质. 反证法：若m，n互质，n-m，n不互质，不妨设n-m=ka，n=kb，其中a，b，k∈N*，且a≠b，k>1， 则m=k(b-a)，n=kb，所以m，n不互质，此时与假设矛盾，所以n-m，n也互质. 16.(2024·安阳模拟)我们称为“二阶行列式”，规定其运算为=ad-bc.已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(x)≠0，若对定义域内的任意x，y都有=0，则(　　) A.f(1)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)没有极值点 答案　D 解析　由=0， 得xf(x)-yf(y)=0，(*) 令y=1代入(*)式，得xf(x)-f(1)=0，且x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，得f(x)= 对于A，取f(x)=-显然满足(*)式，此时f(1)=-1，故A错误； 对于B，f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 则f(-x)==-=-f(x)成立， 所以f(x)是奇函数，故B错误； 对于C，假设非零常数T为函数f(x)的周期，即f(x+T)=f(x)， 则f(x+T)===f(x)，其中f(1)≠0， 即得x+T=x，T=0，这与假设T为非零常数矛盾， 所以f(x)不是周期函数，故C错误； 对于D，由于f(x)=则f'(x)=-显然f'(x)=0没有实数解，所以f(x)没有极值点，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的图象与性质 微专题1 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 考情分析 考点一 考点二 考点三 函数的概念与表示 函数的图象 函数的性质 专题强化练 内容索引 函数的概念与表示 考点一 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 　(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是 A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+的定义域 为(2，3] B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个 C.若函数f(lg x)=x，则f = D.函数y=的值域为 √ √ √ 例1 对于A，由题可知⇒⇒2<x≤3，故函数F(x)的定 义域为(2，3]，故A正确； 对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为{-2}，{2}，{-2，2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误； 对于C，令lg x=得x=所以f =故C正确； 对于D，y==1- 因为≠0，所以y≠1， 所以值域为{y|y≠1}，故D正确. (2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是 A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数 B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值 C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1 D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题 √ 依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误； 由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确； 对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)= J(2n)-1，C正确； 对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n， 由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确. 规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. (1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex－1)+ sgn(－x+1)=0”是“x>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪演练1 √ 因为sgn(x)= 当sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=0时，取x=－则ex－1<0，－x＋1>0， 此时sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=－1＋1=0，则x>1不成立，即充分性不成立； 当x>1时，ex－1>0，－x＋1<0，所以sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=1－1=0，即必要性成立， 所以“sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=0”是“x>1”的必要不充分条件. (2)已知a>0，且a≠1，函数f(x)=若f(f(－1))=2，则 a=　　　，f(x)≤4的解集为　　　　　　.  由题可知，f(f(－1))=f(a－1)=loga(2a－2＋1)=2， 则a2=2a－2＋1，即a4－a2－2=0， 解得a2=2，故a=(舍负). 当x≥0时，f(x)=lo(2x2＋1)≤4， 解得0≤x≤； 当x<0时，f(x)=()x≤4恒成立. 故不等式的解集为. 函数的图像 考点二 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点. (2024·全国甲卷)函数f(x)=－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为 例2 考向1　函数图象的识别 √ f(－x)=－x2＋(e－x－ex)sin(－x) =－x2＋(ex－e－x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[－2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=－1＋sin 1>－1＋sin=－1－>>0， 故可排除D. (1)(2024·长沙统考)已知函数f(x)＝则f(2－x)的图象是 考向2　函数图象的变换及应用 √ 设g(x)＝f(2－x)，则g(1)＝f(1)＝2，从而排除ABD. 例3 (2)(2024·渭南模拟)已知f(x)＝若存在实数x1，x2，x3， x4，x5且x1<x2<x3<x4<x5，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝f(x5)，则 的取值范围为 A. B. C.(－∞，4] D. √ 作出f(x)＝的图象如图， 由题，x2＋x3＝1，x4＋x5＝3，x1<0， 所以＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)f(x1)＝(x1＋4)f(x1)＝(x1＋4) 令g(x)＝(x＋4)ex(x<0)， 则当x<－4时，g(x)<0； 当－4<x<0时，g(x)>0. g'(x)＝(x＋5)ex，当x<－5时，g'(x)<0，g(x)在(－∞，－5)上单调递减； 当－5<x<0时，g'(x)>0，g(x)在(－5，0)上单调递增. 所以g(x)min＝g(－5)＝－且g(x)<g(0)＝4， 所以 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. 规律方法 (1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能为 A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 跟踪演练2 √ 对于选项A，因为f(1)＝>0，与图象不符，故A错误； 对于选项B，因为f(1)＝>0，与图象不符，故B错误； 对于选项C，因为f(1)＝>0，与图象不符，故C错误. (2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x－1)＋1的图象 A.关于点(1，1)对称 B.关于点(－1，1)对称 C.关于点(－1，0)对称 D.关于点(1，0)对称 √ 因为f(x)＝所以f(－x)＝＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x－1)＋1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称. 函数的性质 考点三 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 已知定义在R上的函数f(x)＝ex－e－x，设a＝20.7·f(20.7)，b＝· f c＝－log0.71.25·f(log0.70.8)，则a，b，c的大小关系是 A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 考向1　单调性与奇偶性 √ 例4 令F(x)＝xf(x)(x∈R)，因为 F(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝F(x)， 所以F(x)为偶函数. F'(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)， 因为当x≥0时，ex－e－x≥e0－e－0＝0，x(ex＋e－x)≥0，此时F'(x)≥0， 所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增. 因为a＝20.7·f(20.7)＝F(20.7)， b＝·f ＝F c＝－log0.71.25·f(log0.70.8)＝log0.71.25－1·f(log0.70.8)＝log0.70.8·f(log0.70.8)＝F(log0.70.8)， 因为＝20.8>20.7>1， 0<log0.70.8<log0.70.7＝1， 所以>20.7>log0.70.8>0， 所以F>F(20.7)>F(log0.70.8)，即b>a>c. (多选)(2024·三门峡模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，且g(x)＝f'(x)，若∀x∈R，f(x)＝f(6－x)，g(4＋x)＝g(4－x)，则 A.f(－2)＝f(8) B.g(－1)＋g(3)＝2 C.=0 D.f(0)＋f(4)＝2 考向2　奇偶性与周期性、对称性 √ 例5 √ 因为f(x)＝f(6－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称. 令x＝－2，得f(－2)＝f(8)，故A项正确； 因为f(x)＝f(6－x)，所以f'(x)＝－f'(6－x)，即g(x)＝－g(6－x)， 所以g(4＋x)＝－g(2－x)，因为g(4＋x)＝g(4－x)， 所以g(4－x)＝－g(2－x)， 即g(x＋2)＝－g(x)，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，则g(x)的一个周期为4. 因为f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以x＝3是f(x)的一个极值点， 所以g(3)＝f'(3)＝0，所以g(－1)＝g(3)＝0， 则g(－1)＋g(3)＝0，故B项错误； 由g(x＋2)＝－g(x)，得g(1)＋g(3)＝0，g(2)＋g(4)＝0， 即g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，g(1)＝0. 所以＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＝g(1)＝0，故C项正确； 设h(x)＝f(x)＋c(c为常数)，定义域为R， 则h'(x)＝f'(x)＝g(x)，h(3＋x)＝f(3＋x)＋c，h(3－x)＝f(3－x)＋c， 又f(3＋x)＝f(3－x)，所以h(3＋x)＝h(3－x)，显然h(x)＝f(x)＋c也满足题设， 即f(x)上、下平移均满足题设，显然f(0)＋f(4)的值不确定，故D项错误. 二级结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有>0，若f(1)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是 A.(－1，1)∪(1，＋∞) B.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1) 跟踪演练3 √ 已知f(x)是定义在R上的偶函数， 则f(x)＝f(－x)， 又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0， 根据函数f(x)的单调性可知， (x－1)f(x)>0等价为或 即或 解得x>1或－1<x<1， 即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞). (2)(多选)(2024·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 A.f(0)＝2 B.f(3－x)＝f(3＋x) C.f(x)是周期函数 D.f(x)的解析式可能为f(x)＝2sinx √ √ √ 由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1， 令x＝1，y＝0，有f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，可得f(0)＝2，故A正确； 令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，则f(y)＝f(－y)， 又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，而f(x)＝2sinx为奇函数， 故D错误； f(1)＝1，令y＝1， 则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)， 所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 则f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， f(x＋1)＝[f(x－1)－f(x－2)]－f(x－1)＝－f(x－2)， 所以f(x)＝－f(x－3)＝f(x－6)，则f(x)的周期为6，故C正确； 由于f(x)为偶函数且周期为6，故f(3－x)＝f(x－3)＝f(3＋x)，故B正确. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B B A A C 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ACD AB BC 1 (-∞，2]　(-∞，-1]∪[0，+∞) 2 A D 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数f(x)＝的定义域为 A.[3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－1，3] D.(－1，0)∪(0，3] √ 要使函数有意义，则　解得－1<x≤3且x≠0. 素养提升 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2024·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x5－3x＋a－1，则f(－a)的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经过检验符合题意，所以当x≥0时，f(x)＝ －x5－3x，所以f(－a)＝－f(a)＝－f(1)＝－(－1－3)＝4. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2024·攀枝花模拟)函数f(x)＝cos x的部分图象大致是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝cos x的定义域为{x|x≠0}， f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A错误； 当x>0，且x趋近0时，x＋>0，cos x>0， 所以f(x)>0，故C错误； 当x＝π时，f(π)＝cos π＝－<0，故B错误. 答案 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 则需满足 解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1，0]. 答案 5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－当 x∈(2，4)时，f(x)＝1＋log3x，则f(99)等于 A.1 B.2 C.－ D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x＋2)＝－ 所以f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(99)＝f(3＋96)＝f(3)＝1＋log33＝2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2024·长春模拟)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为 A.∪(1，＋∞) B. C. D.(1，＋∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝|3x－3－x|，定义域为R， 又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故f(x)为偶函数； 又当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均单调递增， 故g(x)＝3x－3－x在(0，＋∞)上单调递增； 又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x<0时，f(x)单调递减， f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)， 则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2，3x2－4x＋1>0， 即(3x－1)(x－1)>0，解得x∈∪(1，＋∞). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·保定模拟)若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)等于 A.3 B.2 C.－2 D.－3 √ 设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2. 因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1， 所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案 8.(2024·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy(x－y)，则下列结论一定成立的是 A.f(1)＝1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)有最小值 D.f(x)在[0，1]上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy(x－y)， 令y＝1，则f(x)－xf(1)＝x(x－1)，得f(x)＝x2＋[f(1)－1]x， 当x＝1时，f(1)＝12＋[f(1)－1]恒成立，无法确定f(1)＝1，A不一定成立； 由于f(1)＝1不一定成立，故f(x)＝x2＋[f(1)－1]x不一定为偶函数，B不一定成立； 由于f(x)＝x2＋[f(1)－1]x的对称轴为x＝－·[f(1)－1]与[0，1]的位置关系不确定， 故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，D不一定成立； 由于f(x)＝x2＋[f(1)－1]x表示开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，C一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.关于函数f(x)＝lg下列说法正确的有 A.f(x)的定义域为(－1，1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＝lg＝lg 则>0，解得－1<x<1， 所以f(x)的定义域为(－1，1)，故A正确； 因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，即f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝lg在(0，1)上单调递增，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时<0，则下列选项成立的是 A.f(0)＝0 B.f(－1)<－f(3) C.若xf(x)<0，则x∈(0，＋∞) D.若f(m－1)<0，则m∈(－∞，1) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由∀x∈R，f(－x)＝－f(x)得，函数f(x)是R上的奇函数， 由∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时， <0得，f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 又f(x)是连续函数，故可得f(x)在R上单调递减. 对于A，f(－x)＝－f(x)，令x＝0，得f(0)＝0，故A正确； 对于B，由f(x)在R上单调递减，可得f(－1)<f(－3)，即f(－1)<－f(3)，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，对xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0， 由f(x)在R上单调递减，且f(0)＝0可知， xf(x)<0的解集为{x|x≠0}，故C错误； 对于D，f(m－1)<0，即f(m－1)<f(0)，则m－1>0，解得m>1，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2024·赣州模拟)函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，f(x＋1)和g(2x－1)都是奇函数，则 A.g(x)的图象关于直线x＝－1对称 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.g(x)是周期函数 D.＝2 024 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为g(2x－1)是奇函数，所以g(－2x－1)＝－g(2x－1)， 则有g(－x－1)＝－g(x－1)，g(x)的图象关于点(－1，0)对称，故A错误； 对于B，f(x＋1)是奇函数，其图象关于原点对称， f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后可得f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确； 对于C，因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以－f'(－x＋1)＝－f'(x＋1)，所以f'(－x＋1)＝f'(x＋1)， 所以g(－x＋1)＝g(x＋1)，所以g(－x＋2)＝g(x)， ① 答案 因为g(－x－1)＝－g(x－1)，所以g(x)＝－g(－x－2)， ② 由①②可得，g(－x＋2)＝－g(－x－2)，所以g(x)＝－g(x－4)， 所以g(x＋4)＝－g(x)，g(x＋8)＝－g(x＋4)＝g(x)， 所以8是函数g(x)的一个周期，所以g(x)是周期函数，故C正确； 对于D，因为g(x＋4)＝－g(x)，所以g(1)＝－g(5)， g(2)＝－g(6)，g(3)＝－g(7)，g(4)＝－g(8)， 所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＋g(7)＋g(8)＝0， 而＝253[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＋g(7)＋g(8)]＝0，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)＝sin x为偶函数，则a＝　　.  1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝sin x， 得f(－x)＝sin(－x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即sin(－x)＝sin x， 所以－解得a＝1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)＝若x∈[－1，1]，则f(x)的值域 为　　　　　；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　.  (－∞，2] (－∞，－1]∪[0，＋∞) 当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为(－∞，2]， 因为f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增， 若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2024·三明模拟)已知函数f(x)＝ex－1－e1－x＋x3－3x2＋3x，则f(x＋1)＋f(1－x)＝　　　，若实数x，y满足f(3x2)＋f(2y2－4)＝2，则x＋y的最大值为　　　.  2 答案 f(x＋1)＝ex－e－x＋(x＋1)3－3(x＋1)2＋3(x＋1)＝ex－e－x＋x3＋1， f(－x＋1)＝e－x－ex＋(－x＋1)3－3(－x＋1)2＋3(－x＋1) ＝e－x－ex－x3＋1， 则f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2， 又因为f(3x2)＋f(2y2－4)＝2， 所以3x2＋2y2－4＝2，即3x2＋2y2＝6， 设x＋y＝t， 则直线x＋y＝t与椭圆3x2＋2y2＝6有交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 联立 得5x2－4tx＋2t2－6＝0， 则Δ＝16t2－20(2t2－6)≥0，解得－≤t≤ 所以x＋y的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2024·温州模拟)已知定义在(0，1)上的函数f(x)＝ 则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于直线x＝对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在(0，1)上单调递增 D.f(x)有最小值 √ 思维创新 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于BC，由题意可知，f ＝f ＝1， 显然f(x)的图象不关于点对称，而－<故B，C错误； 对于D，若x为有理数，则f(x)＝ 显然当n→＋∞时，f(x)→0，函数无最小值，故D错误； 对于A，若x＝是有理数，即m，n(m<n)互质，则n－m，n也互质，即f ＝f 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若x为无理数，则1－x也为无理数，即f(x)＝f(1－x)＝1， 所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确. 下证：m，n互质，则n－m，n也互质. 反证法：若m，n互质，n－m，n不互质，不妨设n－m＝ka，n＝kb，其中a，b，k∈N*，且a≠b，k>1， 则m＝k(b－a)，n＝kb，所以m，n不互质，此时与假设矛盾，所以n－m，n也互质. 答案 16.(2024·安阳模拟)我们称为“二阶行列式”，规定其运算为＝ad－bc.已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)≠0，若对定义域内的任意x，y都有＝0，则 A.f(1)＝1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)没有极值点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由＝0， 得xf(x)－yf(y)＝0， (*) 令y＝1代入(*)式，得xf(x)－f(1)＝0，且x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，得 f(x)＝ 对于A，取f(x)＝－显然满足(*)式，此时f(1)＝－1，故A错误； 对于B，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则f(－x)＝＝－＝－f(x)成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以f(x)是奇函数，故B错误； 对于C，假设非零常数T为函数f(x)的周期，即f(x＋T)＝f(x)， 则f(x＋T)＝＝f(x)，其中f(1)≠0， 即得x＋T＝x，T＝0，这与假设T为非零常数矛盾， 所以f(x)不是周期函数，故C错误； 对于D，由于f(x)＝则f'(x)＝－显然f'(x)＝0没有实数解，所 以f(x)没有极值点，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 本课结束 THANKS $$