专题12 概率统计（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题12 概率统计（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 3．（2025·上海普陀·二模）某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 5．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 8．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 9．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 10．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 11．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 二、填空题 12．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 13．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 14．（2025·上海徐汇·二模）如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 15．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 16．（2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 17．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 18．（2025·上海金山·二模）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 19．（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 20．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 21．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 22．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 23．（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 24．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 25．（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 26．（2025·上海黄浦·二模）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 27．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 28．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 29．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 30．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 31．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 32．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 33．（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为 ． 34．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 三、解答题 35．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 36．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 37．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 男 女 高一 1 0 高二 0 1 男 女 高一 0 1 高二 1 0 男 女 高一 1 0 高二 1 0 男 女 高一 0 1 高二 0 1 0 2 38．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 39．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 40．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 800 650 500 150 41．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望. 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 0 1 2 3 42．（2025·上海奉贤·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病 的关系，测得数据如表所示： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 283 患慢性气管炎者      总计 134 339 (1)估算样本中吸烟者中患慢性支气管炎的百分比； (2)有多少把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关？ 附：，其中，，，． 43．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． X 0 1 2 P 44．（2025·上海嘉定·二模）某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． (1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 45．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 0 1 2 46．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 47．（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 2.（2025·上海静安·二模）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为　　． 3.（2025·上海静安·二模）某校高三共有 300 名学生，分六个班，每班 50 人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了 8 名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表： （1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； （2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3，4.4，4.5，4.6，4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的概率． 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 4.（2025·上海虹口·二模）某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为　　． 5.（2025·上海虹口·二模）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为　　 A． B． C． D． 6.（2025·上海虹口·二模）某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数　　． 7.（虹口19）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 （1）已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率． （2）请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ （3）现从周平均服务时长超过2小时的人员中按䏷是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差． 附录：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题12 概率统计（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可. 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件. 故选：B 2．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 3．（2025·上海普陀·二模）某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的概念进行判断即可. 【详解】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10. 故选：C 4．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 5．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 6．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先分别求出事件、事件以及事件发生的概率，再根据事件与事件独立的性质来求解的值. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以. 根据对立事件概率之和为，可得. 事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况. 所以事件包含的情况共有种，则. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以. 因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，，等式不成立； 当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立. 所以. 故选：C. 7．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】C 【分析】首先通过分析正四面体的翻转操作，找出操作n次后正四面体与桌面贴合的面是的概率​的递推关系，再根据递推关系计算​，并分析​的性质判断​与​的大小关系. 【详解】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 8．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 9．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断. 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 10．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 11．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 二、填空题 12．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 13．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可. 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 14．（2025·上海徐汇·二模）如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【分析】完善列联表即可求解. 【详解】由表格有， 故答案为：. 15．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即， 故答案为：7. 16．（2025·上海青浦·模拟预测）如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 【答案】21.5 【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大排列后，根据中位数的定义即可求得. 【详解】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31， 因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为. 故答案为：21.5. 17．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 【答案】/ 【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可. 【详解】首先计算. 因为回归直线过样本中心点，把代入， 可得，解得. 故答案为：. 18．（2025·上海金山·二模）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ． 【答案】 【详解】该同学通过测试的概率为，故答案为. 19．（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【分析】根据正态分布的范围求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 20．（2025·上海闵行·二模）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 21．（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 22．（2025·上海青浦·模拟预测）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.4 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 23．（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 【答案】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 24．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 25．（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 【答案】/0.2 【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个， 其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共， 故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为. 故答案为：. 26．（2025·上海黄浦·二模）若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率. 【详解】因为，所以的正约数为共15个数， 其中完全平方数有共6个数， 所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为. 故答案为：. 27．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 28．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【详解】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 29．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 【答案】 【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算. 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： 30．（2025·上海长宁·二模）某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 31．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 32．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式可求过第一、二关的概率，从而可得连过两关的概率. 【详解】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为， 则过第一关的概率为， 第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为： ， 故过第二关系的概率为， 故一个人连过第一、二关的概率为， 故答案为：. 33．（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为 ． 【答案】9 【分析】由方差和平均数的计算公式结合已知计算即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 又， 即，即， 所以的平均数为9. 故答案为：9. 34．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 三、解答题 35．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 所以期望. 36．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 37．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析； 【分析】（1）结合题意，由古典概率求解即可； （2）由条件概率计算公式即可； （3）列出的可能取值，求出相应概率，然后再由期望公式求出期望即可. 【详解】（1）逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，故概率为. （2）记事件为恰好抽选了1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生， 由条件概率可得. （3）因为共抽取了2名学生，所以男生人数与女生人数之差只能为偶数，分两种情况讨论： 当时， 男 女 高一 1 0 高二 0 1 或 男 女 高一 0 1 高二 1 0 所以； 当时， 男 女 高一 1 0 高二 1 0 或 男 女 高一 0 1 高二 0 1 所以， 所以的分布列为 0 2 . 38．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】(1)，不独立； (2)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 39．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 40．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②选择方案 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 41．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 42．（2025·上海奉贤·二模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病 的关系，测得数据如表所示： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 283 患慢性气管炎者      总计 134 339 (1)估算样本中吸烟者中患慢性支气管炎的百分比； (2)有多少把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关？ 附：，其中，，，． 【答案】(1)20.98% (2)有把握 【分析】（1）计算可得吸咽者为，吸烟者中患有慢性支气管炎的人数为， （2）利用表格中的数据计算的观测值，再与临界值比对得解. 【详解】（1）因为，解得，，解得， 所以吸咽者为，吸烟者中患有慢性支气管炎的人数为， 所以， 所以，估算样本中吸烟者约有20.98%患有慢性支气管炎. （2）零假设：假设患慢性支气管炎与吸烟无关， 计算， ， ，从而不成立， 所以我们有把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关. 43．（2025·上海崇明·二模）某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 【答案】(1) (2)18 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率； （2）根据方差公式列出关于的方程，然后求解； （3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望. 【详解】（1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 （2）4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9， 因此，设4月14日的温差为x， 则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x， 因此， 解得，因此，4月11日这天最高气温是18． （3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天 X可能取值为0，1，2. ，， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的期望. 44．（2025·上海嘉定·二模）某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． (1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 【答案】(1)平均课外阅读时间小时/月； (2)； (3). 【分析】（1）根据直方图的平均值求法求该校学生的平均课外阅读时间； （2）由直方图估计时间位于区间的频率，即可得概率； （3）根据已知得其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为，且其他年级学生占比为，进而求出其他年级学生中喜欢阅读的比例. 【详解】（1）由直方图知，平均课外阅读时间为小时/月； （2）由直方图知，时间位于区间的频率为， 所以该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率为. （3）由题设，初一年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 所以其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 故其他年级学生中喜欢阅读的比例. 45．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 【答案】(1)；该校这次初赛的平均分数为68分 (2)分布列见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得值，由区间的中值乘以纵坐标值再乘以区间宽度后相加可得平均数； （2）先由频率分布直方图计算出优秀与非优秀人数，再由组合数结合古典概率求出相应的概率，然后列出分布列即可； （3）按照答题顺序分六种情况，由乘法公式计算相应概率，然后求出期望比较即可. 【详解】（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得： ， 解得； 该校这次初赛的平均分数为. （2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人， 由题意可得的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）按照不同题目顺序分类讨论： 填空，选择，简答： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同； 填空，简答，选择： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同； 选择，填空，简答： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同； 所以， 小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序. 46．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 【答案】(1)，51分钟； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据表中数据分别求出，代入回归方程即可求出，将代入回归方程可求出平均等待时间； （2）利用条件概率公式，结合分步计数乘法原理和分类计数加法原理以及组合数，计算即可求得概率； （3）通过计算得到小王参加第二关获得的游园币数的期望，根据每道题答对的概率的取值分类讨论，做出相关决策. 【详解】（1）， 代入回归方程，得，解得. 当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟. （2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”， 因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有： ①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. 由条件概率公式得. （3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为， 则 所以. 所以，当时，，不建议小王继续闯关； 当时，，小王可根据自己的情况随机选择； 当时，，建议小王继续闯关. 47．（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【答案】(1)平均数小时，中位数小时 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数，中位数的公式计算得解； （2）以样本估计总体的线上学习时间不少于3小时的概率，记从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为，则服从二项分布，根据二项分布概率计算公式列出不等式组解出值即可. 【详解】（1）（小时）. 因为学习时间小于3小时的频率为， 所以中位数在内，由，解得小时. （2）由频率分布直方图可知，学习时间不小于3小时的频率为. 设从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 其中有4人周末线上学习时间不小于3小时的概率为， 所以.要使最大， 则， 解不等式组得，因为为正整数，所以. 所以时，最大. 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海静安·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为　　． 【解析】，则． 2.（2025·上海静安·二模）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为　　． 【解析】． 3.（2025·上海静安·二模）某校高三共有 300 名学生，分六个班，每班 50 人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了 8 名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表： （1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； （2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3，4.4，4.5，4.6，4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的概率． 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 【解析】（1）高三（1）班抽取的 8 名学生视力的平均值为 ， 据此估计高三（1）班学生视力的平均值约为4.7． （6分） （2）因为高三六个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.7,4.8， 所以任意抽取两个班学生视力的平均值数对有 ， ， ，共15种情形；（3分） 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有 ， ，共10种．（3分） 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率 为． （2分） 4.（2025·上海虹口·二模）某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为　　． 【解析】由正态分布的对称性得， 设对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米 为事件，则，所以． 5.（2025·上海虹口·二模）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】法一：第一次掷骰子直接掷出6，概率，弟弟直接吃1颗花生，游戏结束． 第一次掷骰子掷出（非6），然后在轮流掷骰子的过程中，先被掷出（而非6）： 第一次掷出（非6）的概率（因为）． 在轮流掷骰子的过程中，被先掷出的概率需要进一步计算． 因此，总概率可以表示为， 接下来，我们需要计算， 在轮流掷骰子的过程中，参与者是小明和弟弟，顺序是小明先掷，然后弟弟， 然后小明，依此类推． 我们需要计算在轮流掷骰子的过程中，先被掷出（而非6）的概率． 定义：在当前轮到某人掷骰子时，被先掷出的概率． 每次掷骰子的结果有三种可能： 掷出（概率）：被掷出，弟弟吃1颗花生． 掷出6（概率）：6被掷出，小明吃3颗花生，游戏结束． 掷出其他点数（概率）：游戏继续，轮到下一个人掷骰子． 因为是小明先掷骰子，所以是小明先掷时被先掷出的概率， 设：当前掷骰子的人（小明）先掷出的概率． ：对手（弟弟）在下一轮先掷出的概率． 对于小明，有， 这里概率掷出：直接成功，概率1．概率掷出6：直接失败，概率0． 概率掷出其他：轮到弟弟掷骰子，弟弟先掷出的概率是， 因此小明先掷出的概率是． 对于弟弟，有， 这里概率掷出：直接成功，概率1．概率掷出6：直接失败，概率0． 概率掷出其他：轮到小明掷骰子，小明先掷出的概率是， 因此弟弟先掷出的概率是． 由，解得， 所以弟弟吃到1颗花生的总概率，故选． 【注】这里可利用对称性直接得出． 法二：设事件：弟弟第一次掷出的点数为6， 则事件：弟弟第一次掷出的点数不为6． 设事件：任意一次游戏中弟弟吃到1颗花生． 由题意得．下面计算． 假设弟弟第一次掷出的点数为1， 若弟弟能吃到花生，则两人轮流掷骰子应该先掷出1且不能掷出6． 每次掷出点数为1的概率为，掷出点数不为1且不为6的概率为． 故可用表示前轮未掷出1或者6且第轮掷出1的概率． 所以， 由全概率公式得， 故选． 6.（2025·上海虹口·二模）某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数　　． 【解析】， 代入，得，所以． 7.（虹口19）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 （1）已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率． （2）请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ （3）现从周平均服务时长超过2小时的人员中按䏷是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差． 附录：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）事件表示志愿者是“志愿模范队”成员， 事件表示其周平均服务时长超过2小时， 则．------------------------------------2分 （2）得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 提出原假设：是否“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过 2小时”无关，确定显著性水平．------------------------------------4分 得．------------------------------6分 由于，拒绝原假设，即有的把握， 认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关--10分 （3）由列联表得“志愿模范队”成员中“周平均服务时长超过2小时” 占全部的． 选取的8人中“周平均服务时长超过2小时”为6人， “周平均服务时长不超过2小时”为2人，． ， 的分布为．------------------------------------8分 ．------------------------------------10分 又由于．所以．------------14分 试卷第38页，共39页 试卷第39页，共39页 学科网（北京）股份有限公司 $$