专题10 解析几何（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题10 解析几何（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 3．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 4．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 二、填空题 5．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 7．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 9．（2025·上海奉贤·二模）抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 10．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 11．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 12．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 13．（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 14．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 15．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 16．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 17．（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 18．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 19．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 20．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 21．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 22．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 三、解答题 23．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 24．（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 25．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 26．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 27．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 28．（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 29．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 30．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 31．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 32．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 33．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 34．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 35．（2025·上海金山·二模）已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 36．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 37．（2025·上海青浦·二模）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海静安·二模）椭圆的离心率为　　． 2.（2025·上海静安·二模）如图，在直角坐标平面中，中为正三角形，且满足. （1）求点的横坐标关于正整数的表达式； （2）求证：点在抛物线上； （3）过（2）中抛物线的焦点作两条互相垂直的弦和，求四边形面积的最小值． 3.（2025·上海虹口·二模）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为　　． 【解析】直线斜率为1，且经过，则的方程为． 4.（2025·上海虹口·二模）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则　　． 5.（2025·上海虹口·二模）已知点和是双曲线的左、右焦点． （1）若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； （2）当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； （3）若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题10 解析几何（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 2．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 3．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 4．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 二、填空题 5．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 7．（2025·上海黄浦·二模）抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 9．（2025·上海奉贤·二模）抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 10．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 11．（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 12．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 13．（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心（坐标原点）旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为.已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线得几何性质即可求解. 【详解】由，可得渐近线为直线与轴， 因为渐近线得斜率为，所以该渐近线得倾斜角为， 所以两条渐近线与轴得夹角为， 所以将双曲线的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线， 所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 14．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      15．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 16．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 17．（2025·上海徐汇·二模）已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示：    在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 18．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 19．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 20．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 21．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 22．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 三、解答题 23．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 24．（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1） 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， （2） 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 25．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 26．（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线斜率必然存在，设其方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，消去即可得出结果. 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. （3）设，若直线的斜率不存在时，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线斜率必然存在，设其方程为， 代入中，得， 设、，则，， 因为，且， 所以， 显然，，则， 所以 故，即． 由题意，得，因此. 27．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 28．（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【答案】(1), (2), (3) 【详解】（1） 由椭圆方程知，，所以右焦点， 设，则，由代入得： ， 由于，对称轴， 所以， 即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点. （2） 由直线的斜率为1且经过，可得直线方程， 与椭圆联立方程组，消元得：， 解得，则代入得：，所以， 则， 设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得： ，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为， 即，解得， 根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值， 此时方程为， 代入直线得，则， 由点到直线的距离公式得： ， 所以面积的最大值为， 此时点； （3） 设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得： ， 由， 再由于交点D不在x轴上，即， 设交点，则有， 代入得：， 由于Q关于原点的对称点为点R，所以， 则直线方程为，与直线相交得： 点纵坐标为， 而直线与直线相交得： 点纵坐标为， 所以可得 当且仅当，即时，取到最小值. 即的取值范围是 29．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 30．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； （3）设直线和直线的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可. 【详解】（1）将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. （2）因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. （3）设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，        故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 31．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； (3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． （3）设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 32．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 33．（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 34．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 35．（2025·上海金山·二模）已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定圆 【分析】（1）求出，结合椭圆的定义即可得解； （2）设，由，可得，再根据点在椭圆上即可得解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，分布于椭圆方程联立，利用韦达定理求出两点的坐标，进而可求出的方程，进而可得出答案. 【详解】（1）由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； （2）设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； （3）， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 36．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意利用为正三角形得到，再求解离心率即可. （2）利用的面积求出基本量，进而得到椭圆方程设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，与椭圆联立方程组可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求得范围即可. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 37．（2025·上海青浦·二模）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为. 【分析】（1）将，分别代入椭圆及双曲线方程求解即可； （2）设直线方程为，联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解； （3）由得到，再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直线与椭圆交于两点，利用韦达定理将表示为斜率的函数求最值即可． 【详解】（1） 如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点. 将代入椭圆方程得，即，解得. 把代入双曲线方程，整理得， 设，则， 即， 解得或（舍去），所以， 即. （2） 当时，椭圆，双曲线. 联立， 解方程组求交点的坐标. 由得， 由得， 两式相减消去得， 代入双曲线方程得， 因为点在第一象限，所以. 设. ， 由得，即.故， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为， 此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为, 故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去； 同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线l方程为， （3） 如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而， 故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点， 联立， 则， 则， ， 令， 则， 在时成立，故单调递增且，所以递减， 所以当时取得最大值， 又 所以的最大值为. 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海静安·二模）椭圆的离心率为　　． 【答案】 2.（2025·上海静安·二模）如图，在直角坐标平面中，中为正三角形，且满足. （1）求点的横坐标关于正整数的表达式； （2）求证：点在抛物线上； （3）过（2）中抛物线的焦点作两条互相垂直的弦和，求四边形面积的最小值． 【解析】（1）， （4分） （2）点的坐标为， 则，即， 满足方程，故点在抛物线上．（6 分） （3）抛物线的焦点为．（1分） 互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，（1分） 代入，得，所以， 所以．（1分） 将上式式的用代换，得，（1分） 于分， 当且仅当时，上式取等号， 故四边形面积的最小值为18． （4分） 3.（2025·上海虹口·二模）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为　　． 【解析】直线斜率为1，且经过，则的方程为． 4.（2025·上海虹口·二模）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则　　． 【解析】法一：设，则， 解得或（舍去，不满足抛物线的）， 由韦达定理得． 法二：表示复数对应的点到的距离为2， 正好是抛物线的焦点，由抛物线定义得复数对应的点到准线的距离为2， 故复数对应的点的横坐标是1，即复数的实部为1， 由韦达定理得． 5.（2025·上海虹口·二模）已知点和是双曲线的左、右焦点． （1）若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； （2）当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； （3）若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线为， 由于是双曲线的一条渐近线，故．------------------------------2分 所以，故．------------------------------------4分 （2）由于点满足， 所以点落在椭圆上．------------------------------------6分 设，则，解得．------------------------------------8分 由于，所以的面积．---------10分 （3）由于存在实数使，故． 延长交双曲线于点，由双曲线的对称性，得与关于原点对称， 故四边形的面积与三角形的面积相等．------------------------12分 设的直线方程为，其中，设． 由得， 故,， 由于在第一象限，在第四象限， 故，解得．------------------------14分 所以三角形的面积．-------16分 由，故对有解， 化简得对有解． 设，则对有解． 设，则在严格减， 得恒成立，故， 即，由，解得．------------------------------------18分 试卷第52页，共52页 试卷第51页，共52页 学科网（北京）股份有限公司 $$