专题08 数列（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题08 数列（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 2．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 3．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 4．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 5．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 6．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 8．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 9．（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 10．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 11．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 12．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    13．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 14．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 15．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 16．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 17．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 18．（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 三、解答题 19．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 20．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 21．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 22．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 23．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 24．（2025·上海虹口·二模） 已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题08 数列（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 2．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 3．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 【答案】B 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，结合题意与二次函数的表达式合并后由二次方程解的个数求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则第项满足， 每个二次函数满足， 变形为， 对于固定的，这是一个关于的二次方程，最多有两个整数解，因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的值. 所以总共2025个值需要覆盖，因此需要个，但为整数，所以需要1013个. 故选：B 4．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再结合“数列”的概念判断①②的真假即可. 【详解】对数列：① ② ①－②得：， 所以是以3为公比的等比数列， 令， 对①：若，. 因为，且为整数，，其余. 以为例，. 若，则，这与矛盾. 所以不能恒成立.故①为真. 对②：以为例： 设， 令，则方程的解有，，，，5个满足. 即时，数列的“数列”有5个. 当时，， 令，则方程满足的解的个数更多. 即时，数列的“数列”多于5个. …… 依次类推：当数列至少5个，故②为真. 故选：A 5．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 6．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 二、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 8．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 9．（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【答案】 【分析】利用公式法可求. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 10．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 11．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 12．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    【答案】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    13．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 14．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直接求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 15．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 16．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 【答案】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 18．（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 三、解答题 19．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 20．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无罪小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为． （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 21．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 22．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 23．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 24．（2025·上海虹口·二模） 已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 解：(1) ，即．…………2分 故………………………4分 解得．……………………………6分 (2) 由于，，成等比数列，故， 即对有解．……………………………8分 令， 所以．………10分 所以对有解．………………12分 由于，等号当且仅当，即时成立． 所以，故的最小值为．14分 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$