专题07 平面向量（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 平面向量（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    2．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 二、填空题 3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 4．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【答案】118 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 5．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设、、，不妨设，，，可得，将绕点逆时针旋转得到，可得出，即可得解. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，    不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 6．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 7．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 8．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 9．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 10．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 11．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 三、解答题 12．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 13．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题07 平面向量（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 4．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 5．（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 6．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数 . 7．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 8．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 9．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 10．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 11．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 三、解答题 12．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 13．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$