专题03 三角函数与解三角形（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 三角函数与解三角形（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 7．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 8．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 9．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 10．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 11．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 12．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 13．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 14．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 15．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 16．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 17．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 18．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 19．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 20．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 21．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 22．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 23．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 24．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 25．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 26．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 27．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 三、解答题 28．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 29．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 30．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海虹口·二模）若，则　　． 2.（2025·上海虹口·二模）若的三条边的长分别为4,5,6，则的外接圆面积为　　（结果保留）． 3.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 4.（2025·上海静安·二模）设某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上 3 点达到最大值 18 米，之后持续减少，并在上午 9 点达到最小值 14 米．则该港口水的深度（米）关于时间（时）的函数的近似表达式为　　． 5.（2025·上海静安·二模）在边长为 1 的正三角形的边上分别取点，若沿线段折叠该三角形时，顶点恰好落在边上，则线段的长度的最小值为　　． 6.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 三角函数与解三角形（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 2．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 3．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 4．（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 5．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 二、填空题 6．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 7．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     8．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 9．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 10．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解. 【详解】 如图等腰三角形中，，过作交于， 所以为角平分线， 所以，即， 由已知可得， 所以， 所以. 故答案为：. 11．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 12．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 13．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 【答案】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 14．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 15．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 16．（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 17．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 18．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 19．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 20．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可, 【详解】设底面半径为，母线长为l 由，得， 又，由勾股定理， 所以，解得， 底面圆周长，扇形中心角， 故答案为： 21．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 22．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 23．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 24．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 25．（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 26．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 27．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 三、解答题 28．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 29．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 30．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 题目补充：（虹口和静安区） 1.（2025·上海虹口·二模）若，则　　． 【解析】． 2.（2025·上海虹口·二模）若的三条边的长分别为4,5,6，则的外接圆面积为　　（结果保留）． 【解析】设边长为4的边所对的角为，由余弦定理得， 则，由正弦定理得外接圆半径满足， 的外接圆面积为． 3.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 【解析】． 4.（2025·上海静安·二模）设某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上 3 点达到最大值 18 米，之后持续减少，并在上午 9 点达到最小值 14 米．则该港口水的深度（米）关于时间（时）的函数的近似表达式为　　． 【解析】由题意得半周期，则，且，所以， 且，取，则． 5.（2025·上海静安·二模）在边长为 1 的正三角形的边上分别取点，若沿线段折叠该三角形时，顶点恰好落在边上，则线段的长度的最小值为　　． 【解析】设落在，，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以，所以 ，故线段的长度的最小值为． 6.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【解析】（1），（4分） 故函数的最小正周期为（2分） （2）．（2 分） 由函数为奇函数，得（此处也可以用诱导公式推得） 即，（4分） 由常数，解得．（2分） 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$