专题02 集合与逻辑（16区二模新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题02 集合与逻辑（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 2．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 3．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 4．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由绝对值不等式确定结合，再由集合得交集、补集运算即可求解. 【详解】，可得 可得：， 所以， 故选：D 二、填空题 5．（2025·上海黄浦·二模）设，集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，且， 所以. 故答案为：2. 6．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 7．（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】由交集的定义可得， 故答案为： 8．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 9．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 【答案】 【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集. 【详解】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为： 10．（2025·上海杨浦·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】由交集的运算可得. 【详解】因为集合中大于1且小于4的数只有2，3，所以. 故答案为：. 11．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 【答案】 【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果. 【详解】因为函数，要使， 则周期，即， 因为，所以一个充分条件是， 故答案为： 12．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【答案】 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 13．（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14．（2025·上海闵行·二模）设全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 15．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 【答案】 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 16．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 17．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】由集合运算求出，然后得到. 【详解】，∴， 故答案为： 18.（2025·上海虹口·二模）已知全集，若，则　　． 【答案】 19.（2025·上海青浦·二模）已知集合，则　　． 【解析】，则． 20.（2025·上海静安·二模）“”是“一元二次不等式的解集为”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解析】若一元二次不等式的解集为，则， 所以，故为必要非充分条件，故选． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题02 集合与逻辑（16区二模新题速递） 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 2．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·二模）中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．（2025·上海浦东新·二模）已知集合，集合，全集为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·上海黄浦·二模）设，集合，，若，则 ． 6．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 7．（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 8．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 9．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 10．（2025·上海杨浦·二模）已知集合，则 . 11．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是 . 12．（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 13．（2025·上海金山·二模）已知集合，则 . 14．（2025·上海闵行·二模）设全集，若集合，则 ． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知集合，集合，则＝ ． 16．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ． 17．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 18.（2025·上海虹口·二模）已知全集，若，则　　． 19.（2025·上海青浦·二模）已知集合，则　　． 20.（2025·上海静安·二模）“”是“一元二次不等式的解集为”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$