第九章 解三角形章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第九章 解三角形章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025高一下·全国·专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（   ）米. A．54 B．30 C． D． 6．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则有两解 C．面积的最大值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，已知，，，则 . 13．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 14．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求的值； (2)若时，求的面积． 16．（15分）（24-25高一下·河北唐山·期中）锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为3，求. 17．（15分）（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 18．（17分）（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 19．（17分）（24-25高一下·浙江宁波·期中）设A是直线外一点，点M在直线上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对施以视角运算”：若点M在线段上，记；若点M在线段外，记.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上. (1)若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求的值； (2)若，，，由A点对BC施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 解三角形章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025高一下·全国·专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，所以，， 故选：A 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D．120° 【答案】B 【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解. 【详解】由，令， ， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为. 故选：B. 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再求出对应角. 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 则或. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理可得： ， 所以， 所以， 故选：C 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（   ）米. A．54 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以. 故选：B． 6．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 7．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 8．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦定理边角互化结合正弦函数值域可判断选项正误 【详解】对于AB，注意到，又，则，然后由正弦定理边角互化可得，故A错误，B正确； 对于CD，由正弦定理边角互化，，故C正确； ，题目条件不足，无法判断. 故选：BC 10．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，则角最大， 由余弦定理可得， 即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则有两解 C．面积的最大值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围为. 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，即，得, 且，则，则有一解，故A正确； B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误； C.由余弦定理，，当时等号成立， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.由，则，，且，得， 所以，, 所以的范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】直接利用三角形面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 14．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求的值； (2)若时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【详解】（1），由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． （2）由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 16．（15分）（24-25高一下·河北唐山·期中）锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为3，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化、两角和差正弦公式和同角三角函数的关系可得结果； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得结果. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 则，即， 因为，所以， 因为为锐角，所以. （2）由，得. 由余弦定理得， 故. 17．（15分）（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 18．（17分）（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又，     ，即， 又，则 ，则. （2）由（1）及题设可得，即，     将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得，     所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 19．（17分）（24-25高一下·浙江宁波·期中）设A是直线外一点，点M在直线上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对施以视角运算”：若点M在线段上，记；若点M在线段外，记.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上. (1)若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求的值； (2)若，，，由A点对BC施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3)36 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1） 由定义可知：， 在三角形中，，即， 在三角形中，，即， 因为D是BC的中点，且, 所以 （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$