第10讲 平面与平面平行（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第10讲 平面与平面平行 课程标准 学习目标 1.掌握平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断； 2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题； 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）若平面平面，，则与的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．在内 D．无法判定 题型01 面面平行的判断与辨析 【典例1】（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 【变式1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【变式2】 （24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（     ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【变式3】 （24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 题型02 面面平行的证明 【典例2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【变式4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 题型03 根据面面平行证明线线平行 【典例3】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）如图，平面，，平面.    求证：； 【变式3】（23-24高一下·重庆·期末）如图所示的直三棱柱. 的每条棱长均为2，E，F分别是棱，的中点，，分别是棱，上的点，平面平面， 求证：是的中点； 【变式4】（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； 题型04 根据面面平行证线面平行 【典例4】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面； 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 【变式4】（23-24高一下·青海·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． 证明：平面． 题型05 根据面面平行求值 【典例5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【变式3】（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 【变式4】（24-25高二上·湖北恩施·期中）在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 题型06 面面平行中的探索性问题 【典例6】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【变式2】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【变式3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式4】（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 一、单选题 1．（24-25高一·全国·随堂练习）点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 2．（24-25高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（　　） A．l//β B．l⊂β C．l//β或l⊂β D．l，β相交 3．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）平面内两条直线，都平行于平面，则与的关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 5．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（    ） A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．夹在两个平行平面间的平行线段相等 10．（23-24高一下·河北唐山·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 三、填空题 12．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 13．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点、M、N作正方体的截面交于点Q，则 .    四、解答题 15．（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 17．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 18．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求点的位置，并说明理由. 19．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面. (1)当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面； (2)当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 平面与平面平行 课程标准 学习目标 1.掌握平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断； 2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题； 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为， 因为，，，，相交，所以， 同理可得， 所以，故①正确； ②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，， 故②错； ③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错. 故选：B. 知识点02 平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）若平面平面，，则与的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．在内 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用面面平行的性质定理即可得解. 【详解】，，利用线面平行的性质定理可得. 故选：B 题型01 面面平行的判断与辨析 【典例1】（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 【答案】A 【分析】对于选项A利用面面平行的判定定理即可判断正确，选项B,C,D利用举反例画图即可判断. 【详解】对于选项A：由任意两一直线与平面平行，一定能找到两条相交的直线a,b使得直线平面, 直线平面,又两条相交直线在平面内，由面面平行的判断定理即可得到. 对于选项B:由图可知直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内，但是平面与平面相交；故B错误 对于选项C:由图可知：直线平面，直线平面，且直线平面，直线平面，但是平面与平面相交，故C错误 对于选项D:平面内只要与直线a平行的线都与平面平行， 这样的线有无数条，但是平面与平面相交，故D错误 故选：A 【变式1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 【变式2】 （24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（     ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】D 【分析】由线面平行和面面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 若时，则不成立，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，，则或与相交，故C错误； 对于D：由面面平行的判定定理可知D正确. 故选：D. 【变式3】 （24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【答案】D 【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可 【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行， 若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合. 故选：D 题型02 面面平行的证明 【典例2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由图形的几何关系证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）结合（1）再利用线面平行的判定定理证明平面，然后由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】结合正四棱台的几何特征，根据面面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，． 由题意知，．平面，平面， 平面．又，，． 又E，F分别是AD，AB的中点，，则， ．． 又，．四边形为平行四边形．． 平面，平面，平面． ，，平面，平面平面． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。 【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形， 且有，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，得证. 【变式4】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用面面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用线面垂直的判定定理可证明平面，求得点到平面的距离，再由等体积法可得三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，如下图所示： 根据正方体性质可得，所以可得， 且，因此可得四边形为平行四边形，因此； 又平面,平面， 所以平面; 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又平面,平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）连接，如下图所示： 因为，平面，平面， 可得平面； 易知为正方形，所以； 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以； 又，平面， 因此平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，为； 所以三棱锥的体积为 即三棱锥的体积为. 题型03 根据面面平行证明线线平行 【典例3】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）证明的延长线与的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明平面平面．即可证，同理可证，即可证明结论. 【详解】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 【变式2】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）如图，平面，，平面.    求证：； 【分析】利用线面平行、面面平行的判定，面面平行的性质推理即得. 【详解】由，平面，平面，得平面， 而平面，平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. 【变式3】（23-24高一下·重庆·期末）如图所示的直三棱柱. 的每条棱长均为2，E，F分别是棱，的中点，，分别是棱，上的点，平面平面， 求证：是的中点； 【分析】利用面面平行的性质，以及平行关系的转化，即可证明； 【详解】连结，， 点分别是和的中点，所以，且， 因为平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以点是的中点. 【变式4】（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行. 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 故， 所以， 故E，F，B，D四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 题型04 根据面面平行证线面平行 【典例4】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【详解】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】设，连接，根据题意可得，，可证平面平面，再利用面面平行的性质分析证明即可得. 【分析】设，连接， 因为为正方形，则为的中点， 又因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 由题意可知：四边形是平行四边形，， 且平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面.    【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行，面面平行定理即可证明. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行，最后由面面平行性质证明线面平行. 【详解】因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． 【变式4】（23-24高一下·青海·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． 证明：平面． 【分析】取棱BC的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证. 【详解】（1）如图，取棱BC的中点，连接DF，EF，由D是棱AB的中点，得， 而平面平面，则平面， 在三棱柱中，， 由E，F分别是棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，又平面平面， 则平面，而平面DEF，且， 因此平面平面，又平面DEF， 所以平面. 题型05 根据面面平行求值 【典例5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 【变式1】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，结合面面平行性质定理证明，证明，结合相似三角形性质证明结论. 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    【变式2】（2025高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 【变式3】（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 【答案】C 【分析】由面面平行的性质定理确定为中点，为中点，进而逐个计算每个面的面积即可. 【详解】由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 正方体中易知， 所以，为中点，为中点， 同理， 为中点， 所以， 所以四边形的面积等于， 所以四边形的面积等于， 易知四边形为等腰梯形，其中， 如图，过作，易得， 所以四边形的面积为， 同理四边形的面积为， 所以多面体的表面积为， 故选：C 【变式4】（24-25高二上·湖北恩施·期中）在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 【答案】 【分析】先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面的周长. 【详解】 如图，取的中点,连接,易得，则, 过点在平面内作,交于点，则； 再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得, 过点在平面内作,交于点，则， 连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行， 同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行， 故五边形即点的正方体的截面. 因则,， 由可得，则有：, 即得：,则,; 又由可得,则有：, 即得：，则 则. 故五边形截面的周长为： 故答案为：. 题型06 面面平行中的探索性问题 【典例6】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 【变式2】（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 【变式3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为的中点 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：如图，连接交于，连接．   正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，，   为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 【变式4】（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为点，理由见解析. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. 【详解】（1）由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； （2）连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 一、单选题 1．（24-25高一·全国·随堂练习）点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】假设过点P且平行于平面的平面有两个，可判断重合. 【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个， 则由面面平行的性质知， 又都过P点，故重合， 所以过点P且平行于平面的平面只有一个. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（　　） A．l//β B．l⊂β C．l//β或l⊂β D．l，β相交 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质结合选项可得答案. 【详解】因为平面α//平面β，直线l//α， 所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内． 故选：C. 3．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）平面内两条直线，都平行于平面，则与的关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】D 【分析】利用面面平行的判定并举例说明作答. 【详解】若直线与直线为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得， 若，如图：可能，也可能与相交．      故选：D 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以， 又，，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 5．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【详解】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 6．（2025高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面， 平面，同理可证平面， ，面，因此平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面， 又平面平面，则平面平面， 但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以平面，同理可证平面， ，面，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 7．（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的是（    ） A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．夹在两个平行平面间的平行线段相等 【答案】BCD 【分析】直接判断直线与平面的位置关系可判断A，根据面面平行的判定定理判断B，根据面面平行的性质可判断CD. 【详解】对于A，一条直线与两个平行平面中的一个平面平行， 则该直线与另外一个平面平行或该直线在另外一个平面内，故A错误； 对于B，一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行， 根据面面平行的判定定理知这两个平面平行，故B正确； 对于C，由面面平行的性质可知，平行于同一个平面的两平面平行，故C正确； 对于D，如下图所示： 已知平面平面，、，、，， 那么直线、可确定平面， ，，，，则四边形为平行四边形， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高一下·河北唐山·期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A：若，，则也成立，A选项错误； 若，，则无公共点，所以无公共点，所以，B选项正确； 若，，，则或异面，C选项错误； 若，，则或异面或相交，D选项错误； 故选：ACD. 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】根据，，，四点不共面可判断A；由是的中点，可知在平面，根据，可知在平面，得到截面图形可判断B；利用线面平行的判定定理可判断C；利用面面平行的判定定理可判断D. 【详解】 对于A，由图知，，，在平面内，不在平面内， 所以，，，四点不共面，直线与为异面直线，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以点在平面， 因为，所以点在平面， 所以截面为平行四边形，故B错误； 对于C，连接，和分别为和的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 且，平面，平面， 所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用面面平行得出线线平行，进而得出三角形相似，结合相似比可得答案. 【详解】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为， 有，且，同理可得，， ，,所以与相似，， 又， 所以. 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【答案】在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点、M、N作正方体的截面交于点Q，则 .    【答案】 【分析】根据面面平行的性质定理说明，再利用三角形相似可得到对应线段的比例关系，即可求得答案. 【详解】如图，连接，则平面即为过点、M、N作的正方体的截面，    因为平面平面，且平面，平面， 故，又，且的对应两边的射线方向一致， 故，而， 故∽，故，而 故，则， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得，，则由线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案. 【详解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE． ∵平面ADE，，平面BCF， ∴平面平面． 又平面平面，平面平面， ∴． 17．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明即可得证四点共面；与是两条相交的直线，证明直线过它们的交点即可得证三线共点. （2）证明平面和平面即可根据面面平行的判定定理得证平面平面. 【详解】（1）分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. （2）分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 18．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求点的位置，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)M为AC上靠近C的三等分点处，理由见解析. 【分析】（1）取AB中点N，连接，结合中位线利用线面平行判定定理证明平面，平面，进而面面平行判定定理得平面平面，从而利用面面平行的性质定理证明线面平行； （2）根据线面平行的判定定理可得平面，结合平面，根据面面平行的判定定理得平面平面，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解. 【详解】（1）取AB中点N，连接，    由三棱台中，是的中点，N是的中点可得， 又，所以，平面，平面， 故平面，又，分别是，的中点， 所以，平面，平面，故平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； （2）在等腰梯形中，，，所以， 又平面，平面，故平面， 由平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，在中，，所以， 即M为AC上靠近C的三等分点处. 19．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面. (1)当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面； (2)当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用面面平行的判定定理证明即可； （2）应用面面平行的性质定理得出线线平行再由勾股定理求出二次函数最值计算即得. 【详解】（1）因为，分别是线段，的中点，所以. 又，从而. 因为，平面，平面，所以平面 因为平面，又平面，， ，平面，所以平面平面 （2）过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接. 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面，所以平面平面 因为平面平面，平面平面，所以. 设，，则，，又棱长为2， 则.在梯形中，， ， 时，线段的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$