第02讲 余弦定理（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第2讲 余弦定理 课程标准 学习目标 1．借助平面向量的数量积，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程； 2．掌握余弦定理及其推论 3．能用余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题； 2．能应用余弦定理判断三角形形状； 3．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题。 知识点01 余弦定理 1、余弦定理的描述 （1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 （2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 【解读】（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 知识点02 余弦定理在解三角形中的应用 1、已知三角形的三边解三角形 （1）连续用余弦定理求出两角； （2）由三角形内角和定理求出第三个角。 2、已知两边和它们的夹角解三角形 （1）用余弦定理求出第三边； （2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角； （3）由三角形内角和定理求出第三个角. 3、已知两边及其中一边的对角解三角形 利用余弦定理。例如，已知a，b及角A，可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素. 【即学即练2】 （24-25高二上·陕西·期末）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 题型01 已知两边及一角解三角形 【典例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【变式1】（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【变式4】（23-24高一下·吉林·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 题型02 已知三边解三角形 【典例2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 题型03 余弦定理的边角互化 【典例3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 题型04 判断三角形形状 【典例4】（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式1】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式3】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 题型05 最值与范围问题 【典例5】（24-25高一下·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·宁夏中卫·一模）的内角的对边分别为a，b，c，满足.若为锐角三角形，且a=3，则面积最大为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为 ． 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，，是角的角平分线，且. （1）的取值范围为 . （2）若，当最小时，的值为 . 题型06 与向量的综合问题 【典例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·广东惠州·期末）在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·安徽·期中）在中，角所对应的边分别为，向量，且，点为边的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高三下·全国·专题练习）在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C．4 D． 3．（2025·辽宁辽阳·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 8．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 9．（2025高一下·全国·专题练习）的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 10．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 11．（2025·河北沧州·一模）在中，若内角A，B，C满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）在△ABC中，角B为钝角，，则AC的取值范围是 ． 13．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ． 14．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 16．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知在中，，. (1)求的大小 (2)若AB边上的高等于1，求的面积. 17．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，. (1)求角； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 18．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. (1)求岸线上点与点之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围. 19．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的倍，则称该三角形为阶准直角三角形.在中，角的对边分别为，且. (1)证明：是2阶准直角三角形； (2)若，求的值； (3)若，求的面积的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 余弦定理 课程标准 学习目标 1．借助平面向量的数量积，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程； 2．掌握余弦定理及其推论 3．能用余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题； 2．能应用余弦定理判断三角形形状； 3．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题。 知识点01 余弦定理 1、余弦定理的描述 （1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 （2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 【解读】（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【答案】A 【解析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行判断． 【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错； 正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确； 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确； 当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确． 故选：A． 知识点02 余弦定理在解三角形中的应用 1、已知三角形的三边解三角形 （1）连续用余弦定理求出两角； （2）由三角形内角和定理求出第三个角。 2、已知两边和它们的夹角解三角形 （1）用余弦定理求出第三边； （2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角； （3）由三角形内角和定理求出第三个角. 3、已知两边及其中一边的对角解三角形 利用余弦定理。例如，已知a，b及角A，可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素. 【即学即练2】 （24-25高二上·陕西·期末）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由余弦定理可得 ，所以. 故选：A. 题型01 已知两边及一角解三角形 【典例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【变式3】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 【变式4】（23-24高一下·吉林·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求出. 【详解】根据余弦定理得， 即，解得（舍去）或2， 故选：A. 题型02 已知三边解三角形 【典例2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 【变式2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 【变式3】（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 题型03 余弦定理的边角互化 【典例3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 【变式1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：C 【变式3】（（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由得, 由于，所以，故， 故选：B 【变式4】（多选）（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故A错误，B正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为， ，， 则， 所以， 因为，所以，故D正确. 故答案为：BCD. 【变式5】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 题型04 判断三角形形状 【典例4】（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【变式3】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 题型05 最值与范围问题 【典例5】（24-25高一下·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形三边关系，即可得到结果. 【详解】因为是钝角三角形，，且是最大边， 由余弦定理可得，于是可得，且，解得， 又，所以边的取值范围是. 故选：D 【变式1】（2025·宁夏中卫·一模）的内角的对边分别为a，b，c，满足.若为锐角三角形，且a=3，则面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：， 即，由余弦定理得，在锐角中，， 而，因此，当且仅当时取等号， 于是的面积， 所以当时，的面积取得最大值. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为 ． 【答案】 【分析】设，余弦定理表示出，结合基本不等式求最小值和最小值成立的条件. 【详解】设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故，即的最小值为， 此时也取最小值，有，即此时. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，，是角的角平分线，且. （1）的取值范围为 . （2）若，当最小时，的值为 . 【答案】 / 【分析】（1）由三角形内角平分线的性质可得，；在和中，分别利用余弦定理可得，由此解得的取值范围． （2）若，得到，由余弦定理可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1） 设，，，， 由角平分线定理，，， 由余弦定理，，      所以， 化简得，因为，故； （2） 由题意，，因此， 由余弦定理，， 故， 当且仅当时等号成立，此时.显然为锐角， 由代入中，得，负值舍去， 由（1）知，此时. 故答案为：； 题型06 与向量的综合问题 【典例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得. 【详解】由可得，即可得， 所以， 因此，又， 所以. 故选：A 【变式1】（23-24高二下·广东惠州·期末）在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·安徽·期中）在中，角所对应的边分别为，向量，且，点为边的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行向量的坐标表示求出，由余弦定理可得，，解方程求出，再由正弦定理求解即可. 【详解】由，则，即，所以， ， 在中，，即①， 在中，，即②， 由①②解得， 在中，，则. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得 ， 所以，即，是直角三角形， 又，所以点是的外心，且点是斜边的中点， 的等边三角形，且， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：C.    一、单选题 1．（2025高三下·全国·专题练习）在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B. 3．（2025·辽宁辽阳·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，的面积为. 故选：A. 4．（2025高一下·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知及余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】由，则，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 5．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据正弦定理角化边，可得，再由余弦定理即可得到结果. 【详解】因为，则， 又， 所以. 故选：B. 7．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理可得，，再结合几何性质运算求解即可. 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 8．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 二、多选题 9．（2025高一下·全国·专题练习）的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 【答案】ABC 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得A正确；由面积公式可得，再结合基本不等式可得B正确；由余弦定理可得C正确，由正弦定理和三角形的面积公式结合正弦展开式可得D错误； 【详解】A：， ， ， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又为的内角，故， 所以，故A正确； B：， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以若面积为，则周长的最小值为12，故B正确； C：由余弦定理可得， 所以，解得或（舍去），故C正确； D：由正弦定理可得， 所以，所以 ，故D错误； 故选：ABC. 10．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 11．（2025·河北沧州·一模）在中，若内角A，B，C满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由， 得，不妨令，，， 对于A，由余弦定理得，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，则， ，C正确； 对于D，，， 又，则，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）在△ABC中，角B为钝角，，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】已知两边及其夹角，故而采用余弦定理计算即可. 【详解】在中利用余弦定理， 则， 角B为钝角，故，即，解得， 又中， 故AC的取值范围是． 故答案为：. 13．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）的内角、、所对边长分别为、、，且，则 ． 【答案】 【分析】应用余弦定理求出角即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 16．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知在中，，. (1)求的大小 (2)若AB边上的高等于1，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，得到； （2）作出辅助线，结合（1）求出各边长，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】（1）， 又，故； （2），故， 过点作⊥于点，AB边上的高等于1，故， 故， 由（1）知，，所以， 所以， 所以. 17．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，. (1)求角； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. （2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 18．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. (1)求岸线上点与点之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围. 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得 即岸线上点A与点之间的直线距离为千米. （2）在中，设， ， 故有， ， 设两段网箱获得的经济总收益为万元，则 ， 故的取值范围为. 19．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的倍，则称该三角形为阶准直角三角形.在中，角的对边分别为，且. (1)证明：是2阶准直角三角形； (2)若，求的值； (3)若，求的面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及余弦边角关系化简条件为，即可证； （2）由正弦边角关系有，结合（1）结论和余弦定理求； （3）由已知和余弦定理得，结合，应用三角形面积公式、基本不等式求面积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由及余弦定理，得， 整理，得，故是2阶准直角三角形. （2）由正弦定理，得，则， 由（1）得，所以. （3）由，得， 整理得，又，所以，由（1）得， 所以的面积为 当且仅当时，取得等号，故的面积的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$