第09讲 直线与平面平行（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第09讲 直线与平面平行 课程标准 学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系； 2.学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位置关系； 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题； 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确定理的作用，并能初步运用定理解决问题； 3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养. 知识点01空间直线与平面的位置关系 1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. 2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． 3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 【即学即练1】 （24-25高一·全国·课后作业）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（        ） A．0 B．0或1 C．1 D．2 知识点02 直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 2、符号语言：a∉α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A．B．C．D． 知识点03 直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 【即学即练3】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 题型01 线面平行的命题判断 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）有以下四个命题： ①若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则； ②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则； ③若直线a∥平面α，则上的所有直线； ④若直线a∥平面α上的无数条直线，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2025·吉林·三模）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 中位线法证明线面平行 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【变式4】长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面. 题型03 平行四边形法证明线面平行 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【变式3】如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点.求证：平面. 【变式4】（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 题型04 利用性质定理证线线平行 【典例4】（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 【变式2】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有 条． 【变式5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 题型05 根据线面平行求值 【典例5】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 题型06 线面平行中的探索性问题 【典例6】（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.线段上是否存在点，使得平面，并说明理由. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． 线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【变式3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【变式4】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 一、单选题 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（    ） A．l平行平面内的无数条直线 B．l平行于平面的法向量 C．l垂直于平面的法向量 D．l与平面没有公共点 4．（24-25高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 5．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ） A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列命题中的真命题是（    ） A．若直线a不在平面内，则a∥ B．若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C．若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 10．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二·云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，过三点的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为 .（填“平行”“相交”或“异面”） 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，分别为，的中点，是上一点，且，设点是平面内一点，且平面，则点的位置是 （写出一种即可）．    14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 16．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 17．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 18．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线与平面平行 课程标准 学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系； 2.学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位置关系； 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题； 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确定理的作用，并能初步运用定理解决问题； 3.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养. 知识点01空间直线与平面的位置关系 1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. 2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． 3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 【即学即练1】 （24-25高一·全国·课后作业）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（        ） A．0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】直线l在平面外，则直线l与平面相交或者平行，当直线l与平面相交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面平行时，公共点的个数是0个， 故选：B 知识点02 直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 2、符号语言：a∉α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 知识点03 直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 【即学即练3】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用直线与平面的位置关系，逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线与平面平行，则与平面没有公共点，与平面内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. 故选：B 题型01 线面平行的命题判断 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）有以下四个命题： ①若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则； ②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则； ③若直线a∥平面α，则上的所有直线； ④若直线a∥平面α上的无数条直线，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 【答案】A 【分析】根据线面平行的定义、判定定理和性质定理判断即可正确选项. 【详解】对于①，因为直线平面，直线平面，所以直线与的位置关系有平行、相交和异面，①错； 对于②，因为直线直线，直线平面，所以直线或，②错； 对于③，因为直线平面，所以直线平行平面上的无数条直线，但不是所有直线，③错； 对于④，因为直线平面上的无数条直线，所以直线平面或平面，④错. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）下列说法中，与“直线平面”等价的是（    ） A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 【答案】A 【分析】根据直线与平面平行的定义判断A，根据直线与平面的位置关系判断BCD. 【详解】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确； 若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误； 若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误； 若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误； 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系． 【详解】因为，，，则， 所以“”是“”的必要条件； 因为，，， 所以，且，所以， 所以“”是“”的充分条件； 则“”是“”的充要条件． 故选：C． 【变式3】（2025·吉林·三模）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 题型02 中位线法证明线面平行 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由已知可得，进而由线面平行的判定定理可证平面． 【详解】因为E，F分别是AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定即可证明. 【详解】连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与平行即可. 【详解】连接BD交AC于G，连接FG． ∵F、G分别为BE、BD的中点， ∴，平面ACF，DE 面， ∴平面ACF 【变式4】长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：连结、、. 由已知可得，点是的中点，点是的中点， 所以，是的中位线， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 题型03 平行四边形法证明线面平行 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可. 【详解】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】取CD中点，连接OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 【变式3】如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 【变式4】（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接，， 设，连接. 在三棱台中，，为中点， 可得 所以四边形为平行四边形，所以为的中点． 又为的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 题型04 利用性质定理证线线平行 【典例4】（2025高三下·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面，则GH与EF的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】B 【分析】应用线面平行的性质定理分别得出及即可判断. 【详解】因为平面，平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，且平面平面，所以， 因此. 故选：B. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则（    ） A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定和性质进行判断. 【详解】如图：    由，，，得． 又，，所以， 结合，，得． 故选：C 【变式2】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）在四棱锥中，分别为侧棱上一点（不含端点），则“”是“平面”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用线面平行的判定定理和性质定理来判断“”与“平面”之间的条件关系. 【详解】由，平面，平面BEF，得平面． 由平面，平面PCD，平面平面，得． 故“”是“平面”的充要条件． 故选：A 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    【答案】矩形 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有 条． 【答案】1 【分析】结合基本事实一的推论和线面平行的性质定理确定结论. 【详解】由已知，点不在直线上，故存在唯一平面过点和直线， 设，又直线平面，， 则， 所以过点且平行于直线的直线有只有1条． 故答案为： 1. 【变式5】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明平面，利用线面平行的性质可得，从而可证平面. 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 题型05 根据线面平行求值 【典例5】（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【分析】根据线面平行可得线线平行，结合三角形相似可得参数值. 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 题型06 线面平行中的探索性问题 【典例6】（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.线段上是否存在点，使得平面，并说明理由. 【答案】存在，且为中点，证明见解析 【分析】根据题意，取中点，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明线面平行. 【详解】 存在，且为中点，证明如下： 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． 线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点，证明见解析. 【分析】取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证. 【详解】线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 【变式2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质即可求证， （2）根据线面平行的判定即可求证. 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 【变式3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【分析】如图，连接AC，BD交于点，可得，则可得平面． 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 【变式4】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 一、单选题 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 2．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，，有可能，A错误； 对于B，，有可能异面，B错误； 对于C，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确． 故选：D 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（    ） A．l平行平面内的无数条直线 B．l平行于平面的法向量 C．l垂直于平面的法向量 D．l与平面没有公共点 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项． 【详解】对A：没有强调，故A错误； 对B：平行于平面的法向量，可得，故B错误； 对C：同A一样，没有强调，故C错误； 对D:根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行. 所以“直线与平面没有公共点”是“”的充要条件.故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 【答案】D 【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可． 【详解】A错误，直线还可以在平面内，同时存在无数条直线与之平行； B错误，直线在平面外，包括平行和相交； C错误，还可以与平面相交或在平面内； D正确，直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线. 故选：D． 5．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得出平面，由直线与平面平行的性质定理可知，当平面时，有，从而可得出正确选项. 【详解】由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面， 当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求. 故选：C. 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面和平面的交线图，结合中位线定理即可得解. 【详解】设，连接， 而平面，平面， 则平面平面， 作出平面和平面的交线如图所示： 另一方面：由正方形的性质可知分别是的中点， 从而，同理有， 对比选项可知与平面和平面的交线平行的直线. 故选：A. 7．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ） A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据比值关系，利用线面平行判定定理证明平面，然后证明平行且不相等即可. 【详解】如图所示，在平面内，​ ，又平面，平面 平面． 分别是的中点， ． 又​， ．在四边形中，且​ 四边形为梯形． 故选：B． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误；②，在①基础上得到交于一点，故②错误；③，作出辅助线，得到为平行四边形，，③错误；④，作出辅助线，得到面面平行，进而得到线面平行. 【详解】①，连接， 因为分别是的中点， 所以， 因为，所以， 故四点共面，故与是共面直线，①错误； ②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点， 故平面，平面， 所以平面与平面的交线， 即， 故交于一点，所以不相交于一点，②错误； ③，取的中点，连接，则且， 又且， 故且， 故四边形为平行四边形， 故，故不平行，③错误； ④，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，④正确 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）下列命题中的真命题是（    ） A．若直线a不在平面内，则a∥ B．若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C．若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D．平行于同一平面的两直线可以相交 【答案】CD 【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在与相交，且都与平面平行，可得D正确. 【详解】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题； 对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； 对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； 对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题. 故选：CD 10．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；根据线面平行的判定定理可判断B，C； 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 11．（24-25高二·云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】BD 【分析】B选项，根据正方体和平行四边形的性质得到，然后利用线面平行的判定定理即可得到平面；D选项，利用中位线的性质得到，然后利用平行的传递性得到，即可证明点在平面内；A选项，根据图形即可判断；C选项，根据平面判断. 【详解】    连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确； 再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误； 由平面，可知点不在平面内，故C错误. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，过三点的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为 .（填“平行”“相交”或“异面”） 【答案】平行 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知：， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面平面，平面， 所以. 故答案为：平行 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，分别为，的中点，是上一点，且，设点是平面内一点，且平面，则点的位置是 （写出一种即可）．    【答案】是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】根据线线平行证明证明线面平行 【详解】点可以是线段上靠近点的三等分点． 证明如下：    如图所示，连接， 因为，，所以， 又，分别为，的中点， 所以，所以， 又平面，平面， 所以平面. 故答案为：是线段上靠近的三等分点（答案不唯一） 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【答案】 【分析】由线面平行的性质可得，结合已知可求的长. 【详解】平面，平面平面，平面ADC， ．是AD的中点， 是的中点， ． 16．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【答案】(1)点为的中点，理由见解析； (2) 【分析】（1）连接，然后由线面平行性质可得答案； （2）分别计算各个面的表面积可得答案. 【详解】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 17．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【详解】（1）连结，交于点，连结.    在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，    又为的中点， 又平面，平面，    平面. （2）由已知，梯形中，，，， 过作，交于点，    ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 18．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$