11.3.3 平面与平面平行（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.3.3 平面与平面平行 课程标准 学习目标 （1）掌握平面与平面的位置关系； （2）掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. （1）掌握空间两个平面的位置关系，并会判断； （2）掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题； （3）平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01 平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 【即学即练1】（23-24高一下·河南新乡·月考）设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对 知识点02 平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练2】（23-24高一下·北京·期中）已知平面，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型一：面面平行的命题判断】 例1．（23-24高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 变式1-1．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（    ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 变式1-2．（23-24高一下·重庆·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，，且 C．，， D．，，， 变式1-3．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，则 【方法技巧与总结】 加强对面面平行的判定定理和性质定理的理解，尤其是定理的作用以及定理的必备条件。 解题时，为了更加直观地判断直线、平面的位置关系可通过在“正方体”中寻找特殊位置验证。 【题型二：利用判定定理证明面面平行】 例2．（23-24高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 变式2-1．（23-24高一·全国·专题练习）如图，已知点P为所在平面外任一点，点D，E，F分别在射线，，上，并且．求证：平面平面． 变式2-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形， AC与BD交于点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．求证：平面平面PCD． 变式2-3．（23-24高一下·全国·专题练习）在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE． 【方法技巧与总结】 利用判定定理证明两平面平行的步骤 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 【题型三：利用性质定理证明线线平行】 例3．（22-23高三下·四川眉山·月考改编）如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：； 变式3-1．（23-24·甘肃·一模改编）如图，空间六面体中,，平面平面为正方形，求证：； 变式3-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由． 变式3-3．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【方法技巧与总结】 利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过所证两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）； 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由面面平行的性质定理得出结论。 【题型四：利用性质定理证明线面平行】 例4．（23-24高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面. 变式4-1．（23-24高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面. 变式4-2．（23-24高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面； 变式4-3．（22-23高一下·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面. 【方法技巧与总结】 如果两个平面平行，那么其中一个平面上的任何直线都与另一个平面平行。因此，如果我们能证明两个平面平行，就可以间接证明线面平行的关系。通过面面平行的性质定理证明线面平行的关键在于找到并证明过直线与已知平面平行的平面。 【题型五：面面平行中的动点探究】 例5．（23-24高二上·四川南充·月考）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为 ． 变式5-1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，，，平面． （1）证明：． （2）点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明． 变式5-2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 变式5-3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【方法技巧与总结】 探究性问题主要分两类： （1）结论性：从承认结论入手，探索出命题成立的条件； （2）存在性：先假设“存在”，若通过推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存在”。 一、单选题 1．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（    ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交 2．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·月考）设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行 3．（22-23高一下·四川巴中·期末）能使平面与平面平行的一个条件是（    ） A．与都平行于同一条直线 B．一条直线l分别与和所成的角相等 C．内有无数条直线都与平行 D．内的任何一条直线都与平行 4．（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 6．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（    ） A． B．与异面 C．平面 D．平面平面 7．（22-23高一下·河北石家庄·月考）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 8．（22-23高一下·河南焦作·期末）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一下·湖南长沙·月考）下列说法不正确的是（    ） A．若直线，不共面，则，为异面直线 B．若直线平面，则与内无数条直线平行 C．若直线平面，平面平面，则 D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 10．（22-23高一下·吉林·期中）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（    ） A．EG与为异面直线 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．平面平面EFG 三、填空题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 13．（22-23高一下·贵州贵阳·月考）如图，平面平面，平面，平面，，，，，，则 ． 14．（23-24高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 四、解答题 15．（22-23高一下·四川成都·月考）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若中点为，求证：平面平面. 16．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面∥平面． 17．（22-23高一下·甘肃永昌·期末）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求线段的最小值． 18．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； （1）求证：平面． （2）在上确定一点，使平面平面，并证明. 19．（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为． （1）要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积； （2）证明：面； （3）直线上是否存在一个点，使得面面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3.3 平面与平面平行 课程标准 学习目标 （1）掌握平面与平面的位置关系； （2）掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. （1）掌握空间两个平面的位置关系，并会判断； （2）掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题； （3）平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 知识点01 平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 【即学即练1】（23-24高一下·河南新乡·月考）设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】A选项，若这些无数条直线均平行，此时无法推出，A错误； B选项，由面面平行的判定定理得到B正确，故D错误. C选项，如图，，平行于同一条直线，但，不平行，C错误；故选：B 知识点02 平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 4、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练2】（23-24高一下·北京·期中）已知平面，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，， 所以由面面平行的性质定理可得，则充分性成立； 因为，可知，所以，则， 又，则， 当时，由线面平行的性质定理可知，则必要性不成立； 综上所述，是的充分不必要条件.故选：A. 【题型一：面面平行的命题判断】 例1．（23-24高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【答案】B 【解析】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误；故选：B. 变式1-1．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（    ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】ABC 【解析】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误； 选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误； 选项D中，若，，，，， 依据面面平行的判定定理可知，故D正确．故选：ABC． 变式1-2．（23-24高一下·重庆·期中）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，，且 C．，， D．，，， 【答案】C 【解析】对于A，由，，得平行或相交，A错误； 对于B，由，，得且或 或 ，B错误； 对于C，由，，，根据面面平行的性质得，C正确； 对于D，由，，，，得平行或相交，D错误.故选：C 变式1-3．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：当，，，且与相交时，故B错误； 对于C：若，，则或与异面，故C错误； 对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.故选：D 【方法技巧与总结】 加强对面面平行的判定定理和性质定理的理解，尤其是定理的作用以及定理的必备条件。 解题时，为了更加直观地判断直线、平面的位置关系可通过在“正方体”中寻找特殊位置验证。 【题型二：利用判定定理证明面面平行】 例2．（23-24高一下·全国·专题练习）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：平面平面 【答案】证明见解析 【解析】因为N，M，O分别为，，的中点，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面， 同理平面， 又平面,平面,且， 所以平面平面． 变式2-1．（23-24高一·全国·专题练习）如图，已知点P为所在平面外任一点，点D，E，F分别在射线，，上，并且．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】因为，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 变式2-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形， AC与BD交于点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．求证：平面平面PCD． 【答案】证明见解析 【解析】由于点，分别是棱的中点，所以， 因为为菱形，，， 平面，平面，故平面， 又是的中点，所以， 平面，平面，故平面， 由于，平面 ，所以平面平面. 变式2-3．（23-24高一下·全国·专题练习）在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE． 【答案】证明见解析 【解析】在圆柱中，，平面，平面，故平面； 连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，， 故， 则为正三角形，故，则， 平面，平面，故平面； 又平面， 故平面平面． 【方法技巧与总结】 利用判定定理证明两平面平行的步骤 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 【题型三：利用性质定理证明线线平行】 例3．（22-23高三下·四川眉山·月考改编）如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：； 【答案】证明见解析 【解析】连接，如图， ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 面，面，∴面. 又∵面，，与在同一个平面. ∴面面. 又∵面面，面面，∴. 变式3-1．（23-24·甘肃·一模改编）如图，空间六面体中,，平面平面为正方形，求证：； 【答案】证明见解析 【解析】平面平面， 平面. 为正方形，， 同理可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面 平面平面，. 变式3-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由． 【答案】平行，证明见解析 【解析】取的四等分点且，连接，， ．， ， ，， ∵平面，平面，∴平面， 同理可得平面， ，平面． 平面平面， 延长与相交于点，连接， 直线MN与PB确定一个平面，平面与平面PAD的交线l即直线， 平面，平面，则有. 变式3-3．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【解析】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 【方法技巧与总结】 利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过所证两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）； 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由面面平行的性质定理得出结论。 【题型四：利用性质定理证明线面平行】 例4．（23-24高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为直四棱柱中， 又，且平面，平面， 平面，平面 而，平面, 平面平面， 又平面平面 变式4-1．（23-24高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示： 取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形， 所以且， 因为为的中点，所以且， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以且，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，故平面． 变式4-2．（23-24高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，如下图所示： 因为，且，分别是棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 变式4-3．（22-23高一下·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面. 【答案】证明过程见解析 【解析】设是的中点，连接和， 因为是直三棱柱，所以四边形是矩形， 因为是的中点，所以， 而平面，平面，所以平面， 因为是的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 【方法技巧与总结】 如果两个平面平行，那么其中一个平面上的任何直线都与另一个平面平行。因此，如果我们能证明两个平面平行，就可以间接证明线面平行的关系。通过面面平行的性质定理证明线面平行的关键在于找到并证明过直线与已知平面平行的平面。 【题型五：面面平行中的动点探究】 例5．（23-24高二上·四川南充·月考）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，如下图所示： 因为平面平面，所以平面； 因为平面平面，所以平面； 又因为平面，，所以平面平面． 因此平面即为平面，即平面与正方形的交线即为． 所以． 变式5-1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，，，平面． （1）证明：． （2）点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；；证明见解析 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以. （2）存在，当点F满足时，平面平面. 证明如下：因为，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 由（1）知，， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以平面平面. 变式5-2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，为的中点 【解析】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面，所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 变式5-3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【解析】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【方法技巧与总结】 探究性问题主要分两类： （1）结论性：从承认结论入手，探索出命题成立的条件； （2）存在性：先假设“存在”，若通过推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存在”。 一、单选题 1．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知平面α∥平面β，直线a⊂α，b⊂β，那么直线a与直线b一定（    ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交 【答案】D 【解析】由平面α∥平面β，则两平面没有公共点， 那么直线a与直线b一定没有公共点，但可以是平行或异面.故选：D 2．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·月考）设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行 【答案】D 【解析】如图所示正方体中， 设平面为，平面为， 显然平面中有无数条直线与平面平行，但，故A、B错误； 又，但，故C错误； 由面面平行的判定定理和性质定理可知D正确.故选：D 3．（22-23高一下·四川巴中·期末）能使平面与平面平行的一个条件是（    ） A．与都平行于同一条直线 B．一条直线l分别与和所成的角相等 C．内有无数条直线都与平行 D．内的任何一条直线都与平行 【答案】D 【解析】对A， 若与都平行于同一条直线,则与可能平行，也可能相交，故A错误； 对B，若与相交，直线与和都平行， 则直线与平面和成的角相等，都是，而此时与不平行，故B错误； 对C，设与相交于直线，则，则， 则内所有与平行的直线（除外）都与平行， 即内有无数条直线都与平行,而此时与不平行，故C错误. 对D，若内的任何一条直线都与平行， 则与没有公共点，故与平行，故D正确.故选：D. 4．（23-24高一下·重庆·期中）设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确．故选：D. 5．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【解析】若，，则或，故A选项错误； 若，，，则或与相交，故B选项错误． 若，，则或，故C选项错误； 若，，，，则，正确， 证明如下：，，，， 又，且，，则，故D选项正确；故选：D． 6．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（    ） A． B．与异面 C．平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】如下图所示，连接， 根据题意，由可得，，且； 同理可得，且； 由，而，所以不可能平行于，即A错误； 易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确； 在长方体中， 所以，即四边形为平行四边形，所以， 又，所以； 平面，平面， 所以平面，即C正确； 由，平面，平面，所以平面； 又，平面，平面，所以平面； 又，且平面， 所以平面平面，即D正确.故选：A 7．（22-23高一下·河北石家庄·月考）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1， 则EFB1D1，B1D1BD，所以EFBD，故EF，BD在同一平面内， 连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以MEAB，且ME＝AB， 所以四边形ABEM是平行四边形，所以AMBE， 又因为平面BDFE，平面BDFE， 所以AM平面BDFE，同理AN平面BDFE， 因为，、平面， 所以平面平面BDFE，，，， 等腰梯形BDFE如图2， 过E，F作BD的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFGH为矩形， 所以， 故所得截面的面积为.故选：B. 8．（22-23高一下·河南焦作·期末）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱柱，所以，面面， 又因为面面，面面， 所以，显然为三棱台， 设，（），三棱柱的高为， 则， 所以三棱柱体积为， 三棱台的体积为， .①三棱台的体积占， 则，得，得或，均不符合题意； ②三棱台的体积占， 则，得，得或， 因为，所以.故选：C 二、多选题 9．（22-23高一下·湖南长沙·月考）下列说法不正确的是（    ） A．若直线，不共面，则，为异面直线 B．若直线平面，则与内无数条直线平行 C．若直线平面，平面平面，则 D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 【答案】CD 【解析】由异面直线的定义可得A正确； 若直线平面，则内与平行的直线有无数条，故B正确； 若直线平面，平面平面，则或，故C错误； 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故D错误．故选：CD． 10．（22-23高一下·吉林·期中）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误； 对于B，若，，，，不一定为相交直线， 只有当为相交直线时，才可得到，故B错误； 对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误； 对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，故选：ABC 11．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（    ） A．EG与为异面直线 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．平面平面EFG 【答案】ABD 【解析】对于A项，因平面，平面且, 平面， 故EG与为异面直线,故A项正确； 对于B项，组成几何体的棱有；； 共13条棱，故B项正确； 对于C项，几何体的顶点有共8个，故C项错误； 对于D项，如图，取中点，连接, 因,则是的中点， 又分别为所在棱的中点，故得, 因,则得,故, 则,又平面,而平面,故平面； 易证,且,故得,则,故, 又平面,而平面,故平面； 又,故得平面平面,故D项正确.故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【解析】∵平面∥平面，∴平面与平面没有公共点 ∵，∴直线没有公共点 ∴直线的位置关系是平行或异面 13．（22-23高一下·贵州贵阳·月考）如图，平面平面，平面，平面，，，，，，则 ． 【答案】/2.5 【解析】因平面平面，平面，平面，则， 因，则，则. 14．（23-24高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 【答案】/ 【解析】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为， 有，且，同理可得，， ，,所以与相似，， 又，所以. 四、解答题 15．（22-23高一下·四川成都·月考）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若中点为，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又是的中点，是正方形， 所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为的中点，是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 16．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面∥平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）连接，交于，连接， 在平行六面体中，为平行四边形，为中点， 为的中点， 平面平面，平面； （2）在平行六面体中，，， 为的中点，为的中点， ， 为平行四边形，从而， 平面平面，平面， 由（1）可知：平面， 平面平面，且，平面平面. 17．（22-23高一下·甘肃永昌·期末）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求线段的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，平面， 又因为，所以平面平面． （2）由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动， 在中，，，， 的最小值为R到线段的距离， 因为是等腰三角形，故的最小值为． 18．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； （1）求证：平面． （2）在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】（1）证明见解析；（2）点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【解析】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 19．（23-24高一下·福建福州·期中）正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为4，记的中点分别为． （1）要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积； （2）证明：面； （3）直线上是否存在一个点，使得面面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【解析】（1）取的中点，连接， 由于，又平面，平面， 所以平面，平面， 所以平面与平面的交线平行于， 而，所以， 则四边形即为所求截面， ， 等腰梯形的高为， 所以截面面积为； （2）取、的中点、，连接， 因为分别为的中点， ， 同理， 因为正六棱柱中，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面，所以面； （3）不存在这样的点，使得面面， 在正六棱柱中，所以为梯形， 连接延长交的延长线于点， 由于，且为的中点，则，所以， 因为， 所以与共面且不平行，即与相交，即与面相交， 故不存在这样的点，使得面面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$