第19章 一次函数（思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选真题难度分层练练 共80题）-2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第19章 一次函数 （思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 3 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：函数基本概念 5 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 6 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 6 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 7 易错知识点05：实际应用问题易错点 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：函数 7 重点考点讲练01：用表格表示变量间的关系 7 重点考点讲练02：用关系式表示变量间的关系 9 重点考点讲练03：用图象表示变量间的关系 10 重点考点讲练04：用描点法画函数图象 11 重点考点讲练05：动点问题的函数图象 13 重点考点讲练06：函数的三种表示方法 15 期末考向二：一次函数 17 重点考点讲练07：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 17 重点考点讲练08：比较一次函数值的大小 17 重点考点讲练09：一次函数的规律探究问题 18 重点考点讲练10：求一次函数解析式 19 重点考点讲练11：已知直线与坐标轴交点求方程的解 20 重点考点讲练12：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 21 重点考点讲练13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 23 重点考点讲练14：根据两条直线的交点求不等式的解集 25 重点考点讲练15：两直线的交点与二元一次方程组的解 26 期末考向三：课题学习 选择方案 28 重点考点讲练16：一次函数与几何综合 28 重点考点讲练17：分配方案问题(一次函数的实际应用) 30 重点考点讲练18：最大利润问题(一次函数的实际应用) 31 重点考点讲练19：行程问题(一次函数的实际应用) 33 重点考点讲练20：其他问题(一次函数的实际应用) 35 优选真题难度分层练 36 中档题—夯实基础能力 36 压轴题—强化解题技能 39 同学你好，本套讲义针对学校课本教材同步内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是2·常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 易错知识点01：函数基本概念 1. 常量与变量的混淆 在分析实际问题时，学生容易误判变化的量。例如：汽车以60 km/h匀速行驶，时间 t 和路程 s 是变量，而速度60 km/h是常量 关键点：明确“变化过程中”的数值是否改变。 2. 函数定义的三个条件 函数需满足：①两个变量；② x 每取一个值， y 有唯一对应值。 典型错误：将非唯一对应关系（如y²=x）误认为函数 3. 自变量取值范围 解析式为分式时，分母≠0（如，x=2）； 实际问题中需符合现实意义（如人数不能为负数）。 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 1. 待定系数法求解析式 正比例函数： y=kx （k≠0 ）；一次函数： y=kx+b （k≠0，b为常数）。 易错点：忽略k≠0的条件，或代入坐标时符号错误。 示例：已知直线过点(1,2) (1,2) (1,2)和(0,3) (0,3) (0,3)，正确解得 y=-x+3 ，但可能误代入导致符号错误。 2. 图像性质理解偏差 截距：直线 y=kx+b 与y轴交于(0,b)，与x轴交于(,0)； 增减性： k>0 时y随x增大而增大， k<0 时相反； 画图错误：未正确标出截距点或忽略直线延伸趋势。 3. 正比例函数与一次函数关系 正比例函数是 b=0 的特殊情况，但学生可能误认为“正比例函数不属于一次函数” 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 1. 图像法解方程与不等式 方程 kx+b=0 的解是直线与x轴交点的横坐标； 不等式 kx+b>0 的解集需根据图像判断区域（ k>0 时，解集为x>）。 易错点：混淆直线左右侧对应的解集方向，或未标注边界点是否包含46。 2. 两直线交点与方程组解的关系 联立方程组 y=k1x+b1和 y=k2+b2，交点的坐标即为解。 典型错误：直接通过图像估算坐标，未代数求解验证 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 1. 存在性问题中的分类讨论 等腰三角形：需分三种情况讨论（如两点固定，第三点坐标满足两边相等）； 平行四边形：需考虑不同边为对角线的情况。 示例：若点A(1,2) A(1,2) A(1,2)、B(3,4) B(3,4) B(3,4)，求点 C 使△ABC为等腰三角形，需分 AB=AC 、 AB=BC 、 AC=BC 三种情况。 2. 面积计算问题 坐标轴上三角形面积公式：S=×∣x轴截距∣×∣y轴截距∣； 易错点：忽略绝对值或参数问题中的符号变化（如动态直线与坐标轴围成的面积）45。 易错知识点05：实际应用问题易错点 1. 分段函数理解错误 如“阶梯电价”问题，需分段写出不同区间的函数表达式。 典型错误：未正确划分区间或忽略端点值的归属 2. 最值问题 利用一次函数的增减性求最值时，需结合自变量取值范围。 示例：若 y=2x+1 （1≤x≤5），最大值在 x=5 处，而非无限延伸 期末考向一：函数 重点考点讲练01：用表格表示变量间的关系 【母题精讲】（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【训练1】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）五月份正是杏大量上市的季节，小李将自家产的杏拿到集市上售卖，小李在卖杏之前，钱包内有零钱元，下表记录的是杏的销售额（元）随销售量（千克）变化的有关数据： 销量（千克） 销售额（元） 请根据表中数据回答下列问题： (1)直接写出，值； (2)求在小李售卖杏的过程中，钱包里的零钱（元）与（千克）的函数关系式； (3)求销量为千克时小李钱包中的零钱． 【训练2】（20-21七年级下·山东枣庄·期中）受疫情的影响，各类学校纷纷延迟开学时间，教育部提倡“停课不停教，停课不停学”的在线教学方式．寒假期间，线上教育的用户使用量猛增，现“钉钉”平台整理出“线上教学”项目投入资金及预计利润如表： 投入资金（亿元） 预计利润（千万元） (1)反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)预计获得千万元的利润，投入资金应为______亿元． (3)如果公司可以拿出亿元进行“线上教学”项目的投资，预计利润是多少？说说理由． 重点考点讲练02：用关系式表示变量间的关系 【母题精讲】（22-23八年级下·湖南郴州·期末）某水果商计划到果园基地购买一种优质水果，购买量在2000千克以上（含2000千克）．已知该水果定价为每千克10元，果园基地有两种优惠方案可以供水果商选择： 第一种方案：按水果定价的8折出售，商家负责送货上门； 第二种方案：按水果定价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元． (1)分别写出水果商按两种方案购买的付款额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系式，并写明自变量x的取值范围； (2)当购买量为5000千克时，选取哪种方案更优惠？ (3)当购买量x的范围为多少时，选择第一种方案购买付款少？ 【训练1】（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）某种商品的定价为每件20元，商场为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打7折． (1)求购买这种商品的货款y（元）与购买数量x（件）之间的函数关系； (2)当，时，货款分别为多少元？ 【训练2】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售． (1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利______元； (2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元． ①请求出获利润W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式； ②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？ 重点考点讲练03：用图象表示变量间的关系 【母题精讲】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　）    A．   B．     C．   D．   【训练2】（22-23八年级下·吉林·期末）已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．    根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min； (2)体育场离文具店__________km； (3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 重点考点讲练04：用描点法画函数图象 【母题精讲】（21-22八年级下·河南商丘·期末）问题：探究函数的图象与性质 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小华的探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 1 0 －1 －2 －1 0 m … 其中①m＝______；②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质． 【训练1】（21-22八年级下·河南信阳·期末）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题：①列表： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 5 1 1 3 … ②描点；③连线． (1)在函数中，自变量的取值范围为__________； (2)表格中，__________，__________． (3)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，当__________时，随的增大而减小；函数图像关于直线__________对称；若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为__________． 【训练2】（21-22八年级下·河南南阳·期末）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 … 2 3 4 5 … … 则表格中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质． 重点考点讲练05：动点问题的函数图象 【母题精讲】（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 【训练1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【训练2】（2023·河南·二模）如图1，点F从四条边都相等的平行四边形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为 ． 重点考点讲练06：函数的三种表示方法 【母题精讲】（22-23八年级下·河北沧州·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 【训练1】（22-23八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 期末考向二：一次函数 重点考点讲练07：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【母题精讲】（22-23八年级下·湖北随州·期末）关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与轴交点坐标为 C．图象是与平行的一条直线 D．当时，函数值有最小值3 【训练1】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 【训练2】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 重点考点讲练08：比较一次函数值的大小 【母题精讲】（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【训练1】（23-24八年级下·广东东莞·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 【训练2】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）． 重点考点讲练09：一次函数的规律探究问题 【母题精讲】（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形，，，按图中方式放置，点，，，和点，，，在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【训练1】．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 【训练2】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 重点考点讲练10：求一次函数解析式 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【训练1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【训练2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 重点考点讲练11：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【母题精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【训练1】（23-24八年级上·江西九江·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【训练2】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为中点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴正半轴上，直线与交于点E，若，求； (3)若点M在直线上，当时，求点M坐标. 重点考点讲练12：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【母题精讲】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线BC于点Q．若的面积为2，求点Q的坐标． 【训练1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E．    (1)求的长； (2)点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①当时，m的最大值是________； ②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案） 【训练2】（22-23八年级下·广东汕尾·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 重点考点讲练13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知一次函数的图象经过点与．    (1)求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期末）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点， 与轴交于点A ．    (1)求b的值和点A的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 观察图象， 当时，的取值范围为 ； (3)若C是轴上一点，的面积为3，求点C的坐标． 【训练2】（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 重点考点讲练14：根据两条直线的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【训练1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    重点考点讲练15：两直线的交点与二元一次方程组的解 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【训练1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 期末考向三：课题学习 选择方案 重点考点讲练16：一次函数与几何综合 【母题精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象经过点，并与直线：交于点，设直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式并画出直线； (2)若直线轴，且与直线，分别交于点，，点永远在点的上方，则的取值范围是______； (3)连接，求的面积； (4)若第一象限上的点在正比例函数的图象上，且点在的内部（包括边界），设点的横坐标为．请直接写出的取值范围． 【训练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求直线及的解析式； (2)若点为直线上一动点，当时，求点坐标． 【训练2】（24-25八年级上·四川·期中）如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求点C的坐标以及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 重点考点讲练17：分配方案问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动． 活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球筒． (1)写出每种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式． (2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案． 【训练1】（23-24八年级下·广东广州·期末）某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 【训练2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： (1)求A场馆和B场馆的门票价格； (2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 重点考点讲练18：最大利润问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【训练2】（24-25八年级上·四川成都·期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆， B车480元/辆． (1)求这两种货车各有多少辆？ (2)如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式(用含有a的代数式表示W)． (3)在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 重点考点讲练19：行程问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． (1)填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； (2)求线段所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【训练1】（24-25八年级上·重庆奉节·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费（元）与骑行时间之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40分钟，则需要向平台付费 元． 【训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 重点考点讲练20：其他问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【训练1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） (1)求与之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 【训练2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往、两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） 公司 1.8 1.6 公司 1.6 1.2 (1)若派往公司名技术员，余下的工作人员全部派往公司，求出这50名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)根据研发需要，50名工作人员派往公司40名，派往公司10名．请求出月工资总额的最小值． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 6．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）智慧学习小组成员共同编制如下一个数学问题：小敏从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，然后散步走回家．小敏离家的距离与她所用的时间的关系如图所示：解答下列问题： (1)小敏家离体育场的距离为_______，小敏跑步的平均速度为_______． (2)当时，请直接写出关于的函数表达式． 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 10．（24-25八年级上·河南焦作·期末）某校组织八年级师生开展以“寻根河南，生生不息”为主题，为期一天的“河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用W元与租用甲型客车数量a辆的函数关系式______． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（    ）    A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 15．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为 ． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 18．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． (1)，两地相距多少千米？ (2)和两条线段分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一条线段表示甲车？ (3)求两车相遇时距地多少千米？ 19．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 20．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第19章 一次函数 （思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 3 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：函数基本概念 5 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 6 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 6 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 7 易错知识点05：实际应用问题易错点 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：函数 7 重点考点讲练01：用表格表示变量间的关系 7 重点考点讲练02：用关系式表示变量间的关系 9 重点考点讲练03：用图象表示变量间的关系 11 重点考点讲练04：用描点法画函数图象 14 重点考点讲练05：动点问题的函数图象 19 重点考点讲练06：函数的三种表示方法 22 期末考向二：一次函数 26 重点考点讲练07：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 26 重点考点讲练08：比较一次函数值的大小 28 重点考点讲练09：一次函数的规律探究问题 30 重点考点讲练10：求一次函数解析式 34 重点考点讲练11：已知直线与坐标轴交点求方程的解 37 重点考点讲练12：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 40 重点考点讲练13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 45 重点考点讲练14：根据两条直线的交点求不等式的解集 50 重点考点讲练15：两直线的交点与二元一次方程组的解 53 期末考向三：课题学习 选择方案 56 重点考点讲练16：一次函数与几何综合 56 重点考点讲练17：分配方案问题(一次函数的实际应用) 62 重点考点讲练18：最大利润问题(一次函数的实际应用) 67 重点考点讲练19：行程问题(一次函数的实际应用) 70 重点考点讲练20：其他问题(一次函数的实际应用) 74 优选真题难度分层练 78 中档题—夯实基础能力 78 压轴题—强化解题技能 84 同学你好，本套讲义针对学校课本教材同步内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是2·常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 易错知识点01：函数基本概念 1. 常量与变量的混淆 在分析实际问题时，学生容易误判变化的量。例如：汽车以60 km/h匀速行驶，时间 t 和路程 s 是变量，而速度60 km/h是常量 关键点：明确“变化过程中”的数值是否改变。 2. 函数定义的三个条件 函数需满足：①两个变量；② x 每取一个值， y 有唯一对应值。 典型错误：将非唯一对应关系（如y²=x）误认为函数 3. 自变量取值范围 解析式为分式时，分母≠0（如，x=2）； 实际问题中需符合现实意义（如人数不能为负数）。 易错知识点02：一次函数解析式与图像性质 1. 待定系数法求解析式 正比例函数： y=kx （k≠0 ）；一次函数： y=kx+b （k≠0，b为常数）。 易错点：忽略k≠0的条件，或代入坐标时符号错误。 示例：已知直线过点(1,2) (1,2) (1,2)和(0,3) (0,3) (0,3)，正确解得 y=-x+3 ，但可能误代入导致符号错误。 2. 图像性质理解偏差 截距：直线 y=kx+b 与y轴交于(0,b)，与x轴交于(,0)； 增减性： k>0 时y随x增大而增大， k<0 时相反； 画图错误：未正确标出截距点或忽略直线延伸趋势。 3. 正比例函数与一次函数关系 正比例函数是 b=0 的特殊情况，但学生可能误认为“正比例函数不属于一次函数” 易错知识点03：函数与方程、不等式的综合应用易错点 1. 图像法解方程与不等式 方程 kx+b=0 的解是直线与x轴交点的横坐标； 不等式 kx+b>0 的解集需根据图像判断区域（ k>0 时，解集为x>）。 易错点：混淆直线左右侧对应的解集方向，或未标注边界点是否包含46。 2. 两直线交点与方程组解的关系 联立方程组 y=k1x+b1和 y=k2+b2，交点的坐标即为解。 典型错误：直接通过图像估算坐标，未代数求解验证 易错知识点04：分类讨论与几何结合问题 1. 存在性问题中的分类讨论 等腰三角形：需分三种情况讨论（如两点固定，第三点坐标满足两边相等）； 平行四边形：需考虑不同边为对角线的情况。 示例：若点A(1,2) A(1,2) A(1,2)、B(3,4) B(3,4) B(3,4)，求点 C 使△ABC为等腰三角形，需分 AB=AC 、 AB=BC 、 AC=BC 三种情况。 2. 面积计算问题 坐标轴上三角形面积公式：S=×∣x轴截距∣×∣y轴截距∣； 易错点：忽略绝对值或参数问题中的符号变化（如动态直线与坐标轴围成的面积）45。 易错知识点05：实际应用问题易错点 1. 分段函数理解错误 如“阶梯电价”问题，需分段写出不同区间的函数表达式。 典型错误：未正确划分区间或忽略端点值的归属 2. 最值问题 利用一次函数的增减性求最值时，需结合自变量取值范围。 示例：若 y=2x+1 （1≤x≤5），最大值在 x=5 处，而非无限延伸 期末考向一：函数 重点考点讲练01：用表格表示变量间的关系 【母题精讲】（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【思路点拨】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 【规范解答】解：根据条件，可列关系式为：． A、在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【训练1】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）五月份正是杏大量上市的季节，小李将自家产的杏拿到集市上售卖，小李在卖杏之前，钱包内有零钱元，下表记录的是杏的销售额（元）随销售量（千克）变化的有关数据： 销量（千克） 销售额（元） 请根据表中数据回答下列问题： (1)直接写出，值； (2)求在小李售卖杏的过程中，钱包里的零钱（元）与（千克）的函数关系式； (3)求销量为千克时小李钱包中的零钱． 【答案】(1)， (2) (3)元 【思路点拨】（1）观察表中数据可知，销量每增加千克，销售额就增加元，即可得出，的值； （2）根据表中的销售额和销售量的关系，即可得到关系式； （3）依据自变量的值，即可得到因变量的值． 【规范解答】（1）解：观察表中数据可知，销量每增加千克，销售额就增加元， ，， 故，； （2）小李在卖杏之前，钱包内有零钱元，观察表中数据可知，销量每增加千克，销售额就增加元， ； （3）当时， ． 销量为千克时小李钱包中的零钱为元． 【训练2】（20-21七年级下·山东枣庄·期中）受疫情的影响，各类学校纷纷延迟开学时间，教育部提倡“停课不停教，停课不停学”的在线教学方式．寒假期间，线上教育的用户使用量猛增，现“钉钉”平台整理出“线上教学”项目投入资金及预计利润如表： 投入资金（亿元） 预计利润（千万元） (1)反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)预计获得千万元的利润，投入资金应为______亿元． (3)如果公司可以拿出亿元进行“线上教学”项目的投资，预计利润是多少？说说理由． 【答案】(1)反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量 (2)5 (3)2.1千万元，理由见解析 【思路点拨】（1）根据函数的定义即可求解； （2）根据表格数据即可求解； （3）从表格数据看，与之间的关系为，进而求解． 【规范解答】（1）解：反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量； （2）解：从表格数据看，如果预计获得千万元的利润，投入资金应为亿元， 故答案为； （3）解：从表格数据看，与之间的关系为， 当时，， 故预计利润是千万元． 重点考点讲练02：用关系式表示变量间的关系 【母题精讲】（22-23八年级下·湖南郴州·期末）某水果商计划到果园基地购买一种优质水果，购买量在2000千克以上（含2000千克）．已知该水果定价为每千克10元，果园基地有两种优惠方案可以供水果商选择： 第一种方案：按水果定价的8折出售，商家负责送货上门； 第二种方案：按水果定价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元． (1)分别写出水果商按两种方案购买的付款额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系式，并写明自变量x的取值范围； (2)当购买量为5000千克时，选取哪种方案更优惠？ (3)当购买量x的范围为多少时，选择第一种方案购买付款少？ 【答案】(1)方案一：，方案二： (2)选取方案二更优惠 (3)当时，选择第一种方案付款少 【思路点拨】（1）根据所给的优惠方案求出两个方案对应的关系式即可； （2）把代入（1）中所求式子中分别求出两个方案的费用即可得到答案； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，方案一：； 方案二：； （2）解：当，方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴选取方案二更优惠； （3）解：由题意得， ， 解得， ∴ ∴当时，选择第一种方案付款少． 【训练1】（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）某种商品的定价为每件20元，商场为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打7折． (1)求购买这种商品的货款y（元）与购买数量x（件）之间的函数关系； (2)当，时，货款分别为多少元？ 【答案】(1)） (2)，时，货款分别为80元，170元 【思路点拨】（1）分和两种情况，根据所给的折扣情况进行求解即可； （2）把，分别代入（1）所求关系式中进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，当时，； 当时，； 综上所述， （2）解：把代入中得：； 把代入中得：； ∴，时，货款分别为80元，170元． 【训练2】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售． (1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利______元； (2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元． ①请求出获利润W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式； ②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？ 【答案】(1) (2)①；②此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售箱苹果 【思路点拨】（1）根据售价减去进价乘以数量即可求解； （2）①根据售价减去进价乘以数量列出函数关系式即可求解；②根据题意列出不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意（元）； 故答案为：． （2）解：设购进苹果m箱，则购进橙子箱，获得的利润为W元． ∴ ∴ ②依题意，， 解得：， 答：此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售箱苹果 重点考点讲练03：用图象表示变量间的关系 【母题精讲】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 【规范解答】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多； 第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 故选：C． 【训练1】（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　）    A．   B．     C．   D．   【答案】D 【思路点拨】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可． 【规范解答】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢， 选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意； 选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意， 故选：D． 【训练2】（22-23八年级下·吉林·期末）已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．    根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家_______km，张强从家到体育场用了________min； (2)体育场离文具店__________km； (3)张强在体育场锻炼了________min，在文具店停留了________min； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)，15； (2)1； (3)15，20； (4)． 【思路点拨】（1）根据图像直接作答即可． （2）根据图像可知体育场离张强家的距离和文具店离张强家的距离，由此可算出体育场离文具店的距离． （3）根据图像直接作答即可． （4）根据图像可知文具店离张强家的距离和张强从文具店到家所用的时间，由此可计算出张强从文具店回家的平均速度． 【规范解答】（1）解：根据图像可知体育场离张强家2.5km，张强从家到体育场用了15min． 故答案为：，15． （2）解：根据图像可知体育场离张强家的距离为2.5km， 文具店离张强家的距离为， ∴体育场离文具店的距离． 故答案为：1． （3）解：根据图像可知张强在体育场锻炼的时间为， 在文具店停留的时间为． 故答案为：15，20． （4）解：根据图像可知文具店离张强家的距离， 张强从文具店到家所用的时间为， ∴张强从文具店回家的平均速度为． 答：张强从文具店回家的平均速度是km/min． 重点考点讲练04：用描点法画函数图象 【母题精讲】（21-22八年级下·河南商丘·期末）问题：探究函数的图象与性质 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小华的探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 1 0 －1 －2 －1 0 m … 其中①m＝______；②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)①；②见解析 【思路点拨】（1）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，即可求出m； ②把y＝8代入y＝|x|﹣2，即可求出n； （2）画出该函数的图象即可： （3）①根据图象即可求得； ②由图象得到即可． 【规范解答】（1）解：①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝3﹣2＝1． 故答案为1； ②把y＝8代入y＝|x|﹣2，得8＝|x|﹣2， 解得x＝﹣10或10， ∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点， ∴n＝﹣10． 故答案为﹣10； （2）解：描点，画出函数的图象如图： （3）解：根据图象可知：①该函数的最小值为﹣2； 故答案为﹣2； ②由图象可知：函数y＝|x|﹣2的图象关于y轴对称：当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小． 【训练1】（21-22八年级下·河南信阳·期末）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题：①列表： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 5 1 1 3 … ②描点；③连线． (1)在函数中，自变量的取值范围为__________； (2)表格中，__________，__________． (3)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，当__________时，随的增大而减小；函数图像关于直线__________对称；若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】(1)全体实数 (2)3，5 (3)见解析 (4)，， 【思路点拨】（1）该函数的自变量没有任何要求，所以取值范围是全体实数； （2）分别代入x的值求出y的值，就可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据描点，画图即可； （4）根据函数图象得出它的增减性，以及对称轴，方程的解可以理解为函数图象的交点问题，函数图象与直线有两个交点，说明方程有两个不同的实数根． 【规范解答】（1）解：自变量x的取值范围为：全体实数， 故答案是：全体实数． （2）解：当时，， 当时，， ∴，， 故答案是：3，5． （3）解：根据表中数据，描点，连线如下图所示： （4）解：∵由（3）可知， ∴当时，y随x的增大而减小，函数图象关于直线对称， ∵要使关于x的方程有两个不同的实数根， ∴函数图象与直线有两个交点， ∴， 故答案是：，，． 【训练2】（21-22八年级下·河南南阳·期末）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 … 2 3 4 5 … … 则表格中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2) (3)见解析，函数图象关于点对称（答案不唯一） 【思路点拨】（1）根据分式的分母不能为0即可得； （2）将代入函数的解析式即可得； （3）先描点，再画出函数图象，然后写出函数图象的对称性即可得． 【规范解答】（1）解：由分式的分母不能为0得：， 解得， 即函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． （2）解：将代入函数得：， 即， 故答案为：． （3）解：在平面直角坐标系中，描出的点，并画出该函数的图象如下： 则函数图象关于点对称（答案不唯一）． 重点考点讲练05：动点问题的函数图象 【母题精讲】（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时，； (2)当的面积为7.5时，x的值为3或10． 【思路点拨】考查了动点问题的函数图象、矩形的有关知识，解决本题的关键是读懂图意，将矩形中的数据与梯形中各边之间的关系相对应，此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 分或或时，结合三角形面积公式求解即可； 根据题意可知或，分别代入函数解析式求解x即可． 【规范解答】（1）解：当时，点P在上，则， 即； 当时，点P在上，， 即； 当时，点P在上，， 即； （2）解：∵， ∴或， 当时，，解得； 当时，，解得：； 综上所述，当的面积为7.5时，x的值为3或10． 【训练1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理和直角三角形的性质；通过观察图可知，，，，由勾股定理可以求出的值，从而求出，，当点运动到的中点时，为的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此． 【规范解答】解：由图象可知，，，， 是， ， ， 解得， ，， 运动到的中点时， 故选：C． 【训练2】（2023·河南·二模）如图1，点F从四条边都相等的平行四边形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了从函数图象获取信息、勾股定理，从函数图象中正确获取信息是解题关键．先根据函数图象可得，，的面积为，从而可得，再过点作于点，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：由函数图象可知，，，的面积为， ∵平行四边形的四边都相等， ∴， 如图，过点作于点， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 故答案为：． 重点考点讲练06：函数的三种表示方法 【母题精讲】（22-23八年级下·河北沧州·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 【答案】12.5 【思路点拨】由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少8L，据此可得y与t的关系式． 【规范解答】解：由题意可得：y=100-8t， 当y=0时，0=100-8t 解得：t=12.5． 故答案为：12.5． 【训练1】（22-23八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【思路点拨】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性. 【规范解答】解：由表格可知：∵函数值不可能为负， ∴在x轴下方不会有图象， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①②③见详解 【思路点拨】（1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求 ，，，，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，      （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． ③证明：设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故当时，y随x的增大而增大． 期末考向二：一次函数 重点考点讲练07：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【母题精讲】（22-23八年级下·湖北随州·期末）关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与轴交点坐标为 C．图象是与平行的一条直线 D．当时，函数值有最小值3 【答案】C 【思路点拨】根据一次函数的图象与性质解答． 【规范解答】解：A、函数图象经过第一、二、四象限，错误； B、函数图象与轴交点坐标为，错误； C、原函数图象是与平行的一条直线，正确； D、由于原函数的函数值随着自变量的值增大而减小，所以当时，即x=1，函数值有最小值0，错误； 故选C． 【训练1】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】先根据直线经过点得到，再分，，三种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 【规范解答】解：∵直线经过点， ∴， 当时，则，则直线即为直线， 又∵当时，y的最大值为6， ∴此种情况不成立； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 联立①②得：； 当时，则y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 联立①③得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【训练2】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a b 1 … 则_________， _________． (2)描点并画出该函数的图像； (3)①请写出一条关于函数的性质：__________________； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是_________； ③观察图像，直接写出函数的最小值_________． 【答案】(1)，0 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②或；③ 【思路点拨】（1）直接将、分别代入函数中求解即可； （2）根据描点法画函数出图像即可； （3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可； ②根据图像的增减性可求解； ③根据图像的最低点可求得该函数的最小值． 【规范解答】（1）解：由表格知，当时，， 当时，， 故答案为：，0； （2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线， 则函数图像如图所示：    （3）解：①根据图像，当时，y随x的增大而增大，或函数关于直线对称，等， 故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②根据图像，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，由得或， 当时，由得或， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； ③由图像知，当时，函数取得最小值，最小值为， 故答案为：． 重点考点讲练08：比较一次函数值的大小 【母题精讲】（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和，是直线上的两个点，且，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【规范解答】解：直线， 随的增大而减小，当时，， ，是直线上的两个点，且， 若，则可能大于，也可能小于，故无法判断的正负，选项A、B均不符合题意； 若，则，故，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 【训练1】（23-24八年级下·广东东莞·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1)； (2)不在，理由见解析； (3)． 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）把代入，求出的值，比较即可得出答案； （3）根据一次函数的性质比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设函数解析式为． 由题意得． 解得． ∴函数解析式为； （2）解：把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图象上． （3）解：∵随的增大而减小， ∴当时，． 【训练2】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系——判断即可. 【规范解答】解：当时, ∴图象过定点, 故①正确, ∵一次函数 图象与函数 的图象平行， ， ，故②正确， ， ∴随的增大而减小， ， 故③错误， ∵函数图象与轴的交点在正半轴， 令，则 或， 或，故④正确， 故答案为：①②④. 重点考点讲练09：一次函数的规律探究问题 【母题精讲】（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形，，，按图中方式放置，点，，，和点，，，在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示，过点作轴于， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为1， 当时，， ∴点的坐标为, 同理，点的纵坐标为2， 同理，可知：点的坐标为， 点的纵坐标为4， ……， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 故选：B． 【训练1】．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【规范解答】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 重点考点讲练10：求一次函数解析式 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次方程的解法．因为函数和（是常数，且）的图象相交于点，把点的坐标代入一次函数的解析式中求出，再把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】解：函数和（是常数，且）的图象相交于点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 把代入方程， 可得：， 解得： 故答案为： ． 【训练1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 【训练2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 重点考点讲练11：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【母题精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【规范解答】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故错误，不符合题意； 方程的解是，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是，故错误，不符合题意； 故选：． 【训练1】（23-24八年级上·江西九江·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．先根据一次函数的图象交x轴交于点可知，当时函数图象在x轴上，代入即可得出结论． 【规范解答】解：直线与x轴交于点， 当时函数图象在x轴上，即， ∴的解是． 故答案为：． 【训练2】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为中点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴正半轴上，直线与交于点E，若，求； (3)若点M在直线上，当时，求点M坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路点拨】（1）先求得A、B的坐标，进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据求得，得到D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，与直线联立方程求得E的坐标，然后根据，求得即可； （3）分两种情况：当M在第一象限时；当M在第三象限时，分别讨论即可求得． 【规范解答】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，；当，，即， ∴，， ∵点C为中点． ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ， ， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴线的解析式为， ∵直线与交于点E， ∴联立方程组，解得， ∴， ∴， ． （3）解：∵，点C为中点， ，， ∵， 当M在第一象限时， ∴， ∴， ∴， 代入得， ， 当M在第三象限时，， 即， ∴， ∴， 代入得， ∴， 综上，M点的坐标为或． 重点考点讲练12：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【母题精讲】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线BC于点Q．若的面积为2，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为 【思路点拨】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，表示出的长，再由的面积为2列方程，求出m的值后即可求M点坐标； 【规范解答】（1）解：对于， 令，得，则点B的坐标为， 令，得，则点C的坐标为， ∵点C与点A关于y轴对称，∴点A的坐标为 设直线的解析式为 将，代入得：，解得： ∴直线的解析式为 （2）解：设，其中，则， 由图象可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：（舍）， 把代入直线的解析式，得 ∴点Q的坐标为 【训练1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E．    (1)求的长； (2)点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下， ①当时，m的最大值是________； ②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)①9，②或 【思路点拨】（1）将点代入求得的解析式，再求出点A的坐标根据两点间距离公式求得的长； （2）根据已知条件分别求，的解析式，由P点的坐标表示出M、N的坐标，得到的长度为底，根据C点到的距离作为三角形的高，注意有两种情况，根据三角形的面积公式求出关系式； （3）①根据t的范围即可求出最大值； ②根据和之间的位置关系和数量关系，建立方程即可求得t的值． 【规范解答】（1）∵过， ∴， 解得：， ∴， ∵交x轴于A点， 令， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵点P是x轴上一动点， 设， ∵与y轴交于点， ∴设且点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N， ∴，， ， 分两种情况： ∵， ①M、N在C点左侧时即时，    ∵， ∴， ②M、N在C点右侧时即时，    ∵， ∴， ∴综上所述； （3）①由（2）知， ∴当时，时S有最大值9， 故答案为：9； ②由（2）知， ∵轴，且， ， ∵轴， ∴， 当以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形时，只需即可， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． 【训练2】（22-23八年级下·广东汕尾·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 【答案】 【思路点拨】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可． 【规范解答】解：连接，交于点． ∵， ∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短． 当时，， 当时，，即， ∴， ∴． ∴， ∴点A在的角平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练13：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知一次函数的图象经过点与．    (1)求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查待定系数法求函数解析式，用图象法求函数值范围，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键，注意数形结合． （1）利用待定系数法，把A、B两点坐标代入可求得、的值，可求得一次函数解析式； （2）结合函数图象可知当时，即对应的函数图象在轴右侧的部分，可写出对应的的取值范围． 【规范解答】（1）解：函数图象过两点， 把A、B两点的坐标代入解析式可得，解得， 一次函数解析式为， 其图象如图所示：    （2）解：当时，对应的函数图象在轴的右侧，结合图象可知此时． 【训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期末）数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点， 与轴交于点A ．    (1)求b的值和点A的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 观察图象， 当时，的取值范围为 ； (3)若C是轴上一点，的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1)；A的坐标为 (2)画图见解析， (3)点C的坐标为或 【思路点拨】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标； （2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可，根据图象，即可确定x的取值范围； （3）先求出的值，根据三角形的面积公式求得的值，即可得出点C的坐标． 【规范解答】（1）解：∵的图像经过点， ∴， ∴ 令， 得， 解得， ∴点A的坐标为； （2）解：如图：    当时， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴， 解得或3, ∴点C的坐标为或； 【训练2】（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)，图象见解析 (2)①；②． (3)， (4)，理由见解析 【思路点拨】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，比较函数值大小，无理数的估算等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据两点法作直线即可得到一次函数的图象； （2）根据函数图象中的信息即可得到结论； （3）把点Q的坐标代入函数解析式，解方程即可得到a的值，即可得到点Q的坐标； （4）先由无理数估算得到，再根据一次函数的增减性得到答案即可 【规范解答】（1）∵一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． ∴一次函数经过点， ∴ 解得， ∴一次函数解析式为 根据题意可得直线与x轴和y轴的交点分别为和， 函数图像如图所示： （2）①当时，y的取值范围是； ②当时，x的取值范围是； 故答案为：①；②； （3）把点代入得到， ， 解得， ∴ ∴点Q的坐标是； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵中， ， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 重点考点讲练14：根据两条直线的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为10； (3)． 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键． （1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论； （2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论； （3）利用图象直接得出结论． 【规范解答】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：把代入，得： ，解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 过P点作轴于H，如下图所示： ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴由图象知：不等式的解集为． 【训练1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据两个一次函数图象交于点 ，可求出，进而可得到一次函数解析式为，即可求出点A的坐标； （2）先求出点A、C的坐标，画出函数图象，根据图象得一次函数的图象在一次函数的图象下方时，x的取值范围，即可得出答案； （3）先求出，然后分两种情况：点P在点B下方，点P在点B上方，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与一次函数相交于点 ∴B点即在上也在上， 由可得：， ∴； （2）解：∵； ∴B点的坐标为； 把点B代入可得即， ∴一次函数解析式为， 当时，，得， 即点A的坐标为， 当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示： 观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：∵，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为， 当点P在点B上方时， ∴ 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数与不等式，利用图象法确定不等式的解集即可． 【规范解答】解：， ∴， 由图象，可知，不等式的解集为：； 故答案为：． 重点考点讲练15：两直线的交点与二元一次方程组的解 【母题精讲】（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确． 【规范解答】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意； D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意； 故选：D． 【训练1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【规范解答】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 【训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【思路点拨】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【规范解答】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 期末考向三：课题学习 选择方案 重点考点讲练16：一次函数与几何综合 【母题精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象经过点，并与直线：交于点，设直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式并画出直线； (2)若直线轴，且与直线，分别交于点，，点永远在点的上方，则的取值范围是______； (3)连接，求的面积； (4)若第一象限上的点在正比例函数的图象上，且点在的内部（包括边界），设点的横坐标为．请直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线的函数表达式为，画图见解析 (2) (3) (4) 【思路点拨】（）利用待定系数法可求出直线的函数表达式，求出点坐标，即可画出直线的图象； （）求出直线与直线的交点的横坐标，再结合图象即可求解； （）求出直线与轴的交点坐标，再根据的面积即可求解； （）求出直线的解析式，进而求出直线与直线的交点横坐标，再根据点第一象限上的点在正比例函数的图象上即可求解． 【规范解答】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，, 解得， ∴， ∴直线的图象经过点，， 则直线的图象如图所示： （2）解：当时，解得， ∵直线轴，且与直线，分别交于点，，点永远在点的上方，即此时直线位于直线的上方， ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：设直线与轴相交于点， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积； （4）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴直线与直线的交点横坐标为， 又∵第一象限上的点在正比例函数的图象上， ∴的取值范围为． 【训练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求直线及的解析式； (2)若点为直线上一动点，当时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 【思路点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点，根据三角形面积公式得出，求解即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 【训练2】（24-25八年级上·四川·期中）如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求点C的坐标以及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点，直线AB的表达式为： (2)点或 (3)的坐标为或或或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数综合运用，等腰三角形的性质、面积的计算，勾股定理等知识点， （1）由待定系数法即可求解； （2）设点，由的面积，即可求解； （3）当时，则，即可求解；当或时，同理可得：或，求解即可； 熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键． 【规范解答】（1）将点C的坐标代入得：则， ∴点， 将点C的坐标代入的表达式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）如图，设点， 由题意知，的面积， 解得：或， 即点或； （3）设点， 由点B、C、Q的坐标得，，，， 当时，则， 解得：，即点Q的坐标为或， 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或0或， 即点Q的坐标为或， 综上，的坐标为或或或． 重点考点讲练17：分配方案问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动． 活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球筒． (1)写出每种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式． (2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)，； (2)当时，按活动甲付款更省钱；当时，两种活动付款一样；当时，按活动乙付款更省钱； (3)同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买． 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论的思想和函数的数学思想解决问题是解题的关键． （1）根据题意，即可列出（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式即可； （2）根据（1）得出的函数关系式，分三种情况讨论进行解答即可； （3）根据题意计算三种方案的花费，再比较大小即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ， 即，； （2）解：分三种情况讨论： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∵， ∴当时，按活动甲付款更省钱；当时，两种活动付款一样；当时，按活动乙付款更省钱； （3）解：由题意可知，购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒，即， ∴甲活动方案：（元）； 乙活动方案：（元）； 两种活动方案买：（元）， ∴同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买． 【训练1】（23-24八年级下·广东广州·期末）某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 【答案】(1)，随的增大而增大 (2)有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用与方案问题、一元一次不等式的应用，理解题意、正确列出一次函数、一元一次不等式求解是解题的关键． （1）根据租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元，则租用辆乙种客车，表示出，根据一次函数的性质，判定出随的增大而增大即可； （2）根据总费用元的限额内，得出求解，根据租用辆汽车送名师生集体外出活动，得出求解，根据应避免空车，得出求解，根据为正整数，综合得出有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，根据随的增大而增大，得出“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少即可． 【规范解答】（1）解：∵租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元， ∴租用辆乙种客车， ∴， ∵， ∴随的增大而增大； （2）解：∵总费用元的限额内， ∴， 解得：， ∵租用辆汽车送名师生集体外出活动， ∴， 解得：， 又∵应避免空车， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴，则， 或，则， ∴有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案， ∵随的增大而增大，， ∴“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少， 答：有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 【训练2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： (1)求A场馆和B场馆的门票价格； (2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元 (2)①此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；②购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票 【思路点拨】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）①购设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题．②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，可得．根据m、n为正整数，且让去A场馆的人数尽量的多，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意得： ， 解得． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元． （2）解：①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，依题意得： ，解得：． 设此次购买门票所需总金额为w元，则 ， ∵， ∴w随a的增大而减小 ． ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． ②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，依题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， 当时，，符合题意． 当时，，符合题意． 当时，，符合题意，舍去； ∵让去A场馆的人数尽量的多， ∴购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 重点考点讲练18：最大利润问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 【训练1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识： （1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，根据3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆，根据购中级型汽车的数量不低于25辆，得，再求出W关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【训练2】（24-25八年级上·四川成都·期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆， B车480元/辆． (1)求这两种货车各有多少辆？ (2)如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式(用含有a的代数式表示W)． (3)在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 【答案】(1)A车用20辆，B车用10辆． (2) (3)安排5辆A种车和3辆B种车前往甲地，安排15辆A种车和7辆B种车前往乙地，最少运费为16040元． 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用、．二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出不等式和函数关系式成为解题的关键． （1）首先设大货车x辆，小货车有y辆，根据等量关系“大、小两种货车共20辆”和“一次性装完330吨坚果”列方程组求解即可； （2）调往甲地的A种车有a辆，，则到甲地的B种车有辆，调往乙地的A种车辆，到乙地的B种车有辆，再结合运费即可得到W与a的关系式； （3）先确定a的取值范围，然后再根据函数的增减性确定a的值，然后确定方案即可． 【规范解答】（1）解：设A车x辆，B车有y辆， 根据题意得：，解得：， 答：A车用20辆．B车用10辆． （2）解：∵安排8辆货车前往甲地，调往甲地的A车有a辆， ∴调往甲地的B种车有辆， ∴调往乙地的A种车辆，到乙地的B种车有辆， ∴总运费为 ， 答：W与a的关系式为． （3）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴a的取值范围为，a为整数． 在函数表达式中， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴时，W最小，此时元． ∴应安排5辆A种车和3辆B种车前往甲地，安排15辆A种车和7辆B种车前往乙地，最少运费为16040元． 重点考点讲练19：行程问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． (1)填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； (2)求线段所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)70， (2) (3)该海巡船能接收到该信号的时间有 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据图象，由计算A、C两海岛间的距离；根据速度路程时间求出海巡船的速度，再由时间路程速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出线段所表示的函数关系式；将分别代入线段所表示的函数关系式、线段所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为； 海巡船的速度为， 海巡船从A岛到达C岛用时， ， 故答案为：70，． （2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为， 当时，解得：； 当，解得：； ， 答：该海巡船能接收到该信号的时间有． 【训练1】（24-25八年级上·重庆奉节·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费（元）与骑行时间之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40分钟，则需要向平台付费 元． 【答案】12 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．先求得时的函数关系式，再将时代入函数关系式中求解即可． 【规范解答】解：由图象得时，y与x满足一次函数关系， 设， 将、代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴小明从家到学校骑行40分钟，需要向平台付费12元， 故答案为：12． 【训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 【答案】(1)2，6 (2) (3)在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，速度、时间和路程的关系及待定系数法求一次函数的关系式． （1）根据两车相遇时，甲行驶的路程甲的速度列式计算出相遇的时间，即m的值，再由计算出n的值即可； （2）由直线经过和，利用待定系数法解答即可； （3）分别求出两车相遇前甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式及乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式；根据x不同的取值范围，当两车相距分别列关于x的方程并求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， 故答案为：2，6； （2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 由题意得经过和， ∴， 解得， ∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为； （3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 乙车的速度为， ∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 当时，两车相距时，得， 解得， 当，两车相距时，得， 解得． 答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距． 重点考点讲练20：其他问题(一次函数的实际应用) 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【答案】(1)30 (2) (3)见解析， 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据单价总价数量，即可解决问题． （2）函数表达式单价数量，与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （3）画出函数图象后，根据在下面即可解决问题． 【规范解答】（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克（元） 故答案为：30； （2）解：由题意知 由图可得，当时，； 当时，设， 将和代入， 得， 解得， ∴， ∴， （3）解：函数的图象如图所示， 由， 解得， ∴点的坐标为； 由， 解得， ∴点的坐标为； 由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围是． 【训练1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表． 纸杯个数（个） 纸杯高度（） (1)求与之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 【答案】(1) (2)最多能放个杯子 【思路点拨】（）由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加，据此列出函数表达式即可； （）由列出不等式解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数表达式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加， ∴， 即； （2）解：当时，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， ∴一摞最多能叠个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 【训练2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某科技研发中心有50名工作人员，其中技术员20名、操作员30名．现将这50名工作人员派往、两个公司去研发产品，两个公司的月工资情况如下： 技术员（万元/月） 操作员（万元/月） 公司 1.8 1.6 公司 1.6 1.2 (1)若派往公司名技术员，余下的工作人员全部派往公司，求出这50名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)根据研发需要，50名工作人员派往公司40名，派往公司10名．请求出月工资总额的最小值． 【答案】(1)，其中，且x为整数 (2)80万元 【思路点拨】本题考查一次函数的应用． （1）若派往公司名技术员，则派往公司名技术员，30名操作员，根据工资情况列函数关系式即可． （2）设月工资总额为W元，派往公司名技术员，名操作员，则派往公司名技术员，名操作员，列出W随m的一次函数，即可求解． 【规范解答】（1）解：若派往公司名技术员， 由题意知，，其中，， ，且x为整数， 即（万元）与（名）之间的函数表达式为，其中，且x为整数． （2）解：设派往公司名技术员，名操作员，则派往公司名技术员，名操作员， 设月工资总额为W元，则： ， ， W随m的增大而减小， ，且x为整数， 时，W取最小值， ． 即月工资总额的最小值为80万元． 中档题—夯实基础能力 1．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，把一次函数解析式变形为，则可得到当时，，则直线过定点，据此可得答案． 【规范解答】解：∵直线解析式为， ∴当，即时，， ∴直线过定点， ∴不论取什么值，该直线必定经过第四象限， 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与 的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的关系与二元一次方程组，理解点在图象上点的横纵坐标满足它的解析式，求图象交点的坐标常转化为求方程组的解是解答本题的关键．方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在第二象限，从而得到，的范围． 【规范解答】解：关于，的方程组的解即是一次函数和的交点坐标， 由图象可知，交点在第二象限， ，， 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【答案】甲 【思路点拨】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【规范解答】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 6．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了正比例函数的图象，“对于正比例函数（是常数，），当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限”，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．根据正比例函数的图象经过第一、三象限可得，由此即可得． 【规范解答】解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）智慧学习小组成员共同编制如下一个数学问题：小敏从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，然后散步走回家．小敏离家的距离与她所用的时间的关系如图所示：解答下列问题： (1)小敏家离体育场的距离为_______，小敏跑步的平均速度为_______． (2)当时，请直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查一次函数的应用．数形结合，读懂图意是解决本题的关键． （1）观察图象可得小敏分钟跑步到体育场，走了，那么小敏家离体育场的距离为，取路程除以时间即为小敏跑步的平均速度； （2）根据图示可得，当时，；当时，设，取，代入即可取得的的值，则可以得到相应的函数解析式． 【规范解答】（1）解：由题意得：小敏分钟跑步到体育场，走了， ∴小敏家离体育场的距离为，小敏跑步的平均速度为：． 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，设， ∴， 解得：， ∴， ∴关于的函数表达式为：． 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出点的坐标，是解题的关键： （1）联立两条直线解析式，进行求解即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：联立， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）过点A作轴， ∵点A的坐标为， ， 当时，， ， ∴点C的坐标为， ， ． 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值， （1）设这个一次函数的表达式为，利用待定系数法求解； （2）将代入计算即可． 【规范解答】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式是； （2）当时，． 10．（24-25八年级上·河南焦作·期末）某校组织八年级师生开展以“寻根河南，生生不息”为主题，为期一天的“河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用W元与租用甲型客车数量a辆的函数关系式______． 【答案】(1)甲型号的客车每辆乘坐45人，乙型号的客车每辆乘坐60人 (2) 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设每辆甲型客车可乘坐人，每辆乙型客车可乘坐人，根据＂3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人＂，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据总租车费用=每辆甲型客车的租车费用租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租车费用租用乙型客车的数量，即可得出关于的函数关系式； 【规范解答】（1）设每辆甲型客车可乘坐人，每辆乙型客车可乘坐人， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆甲型客车可乘坐45人，每辆乙型客车可乘坐60人． （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， 依题意，得： 故答案为：． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及最短路径问题，连接交直线于点C，此时最小，根据点A，B的坐标利用待定系数法可求出点A，B所在直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，解之即可得出当最小时，点C的坐标． 【规范解答】解：连接交直线于点C，此时最小，如图所示． 设点A，B所在直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴点A，B所在直线的解析式为， 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得：， ∴当最小时，点C的坐标为． 故选：A． 12．（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【思路点拨】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【规范解答】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 根据到的距离大于到的距离，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了8千米，乙2分钟距C还有9千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【规范解答】根据图中信息，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙2分钟距C还有9千米． 甲从A到用的时间：（分钟）， 乙从到的距离：（千米）， 故选：C． 14．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点，求出解析式，即可求出点P及距离即可得到答案． 【规范解答】解：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴点B关于x轴对称点的坐标为：， 连接交x轴于一点即为最小距离和点P， ， 设的解析式为：， ， 解得：， ∴， 当时， ， ∴， 此时最小，， 故答案为：，． 15．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出的值可得出点的坐标，即可得出答案．． 【规范解答】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，得：， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，甲，乙两车从A城出发匀速行驶到B城．在整个行驶过程中，甲，乙两车距离B城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，则甲乙两车相距时，的值为 ． 【答案】或或或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．先求出甲、乙两车行驶的路程与时间的关系式，然后分三种情况：甲、乙在行驶过程中，乙车出发前，乙车到达B城后，分别列式算出结果即可． 【规范解答】解：设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把，代入可得：， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得， 解得， ∴， 令，可得， 解得：或； 把代入得：， 解得： 即当时，甲车行驶了，此时乙车还没出发； 把代入得：， 解得：， 即当时，乙到达B城，甲车离B城还有； 综上，当甲、乙两车相距时， 或或或． 故答案为：或或或． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】(1)， (2)或； (3) 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：由图象可得不等式组的解集为：． 18．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地．如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． (1)，两地相距多少千米？ (2)和两条线段分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一条线段表示甲车？ (3)求两车相遇时距地多少千米？ 【答案】(1)400千米 (2)线段 (3)千米 【思路点拨】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）由函数图象可知，、两地相距400千米； （2）由于乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，据此结合函数图象可得答案； （3）设两车相遇时距A地千米， 由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，再根据时间路程速度列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，，两地相距400千米； （2）解：乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地， 乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离地的距离为0， 线段表示甲车距地的距离与行驶时间的关系； （3）解：设两车相遇时距地千米， 由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为， ，解得， 答：两车相遇时距地千米． 19．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了两直线交点，一次函数解析式． （1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可； （2）根据函数图象及交点坐标即可解答． 【规范解答】（1）解：将点代入，得， 解得：， ， 将点的坐标代入，得， 解得：； （2）解：由图象可知，当时，， 不等式的解集为． 20．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【思路点拨】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$